9 Lineare Differentialgleichungen

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1 $Id: lineartex,v 3 //8 ::37 hk Exp hk $ 9 Lineare Differentialgleichungen 9 Homogene lineare Differentialgleichungen Wir beschäftigen uns gerade mit den homogenen linearen Differentialgleichungen, also expliziten Gleichungen erster Ordnung, die die Form y A(ty mit einer matrixwertigen Funktion A haben Im Beispiel y a(ty b(ty y b(ty + a(ty hatten wir auch zwei Lösungen gefunden, nämlich ( e u (t A(t cos B(t e A(t und u sin B(t (t ( e A(t sin B(t e A(t cos B(t wobei A(t a(t dt und B(t b(t dt Stammfunktionen von a beziehungsweise b waren Was ist nun die allgemeine Lösung dieser Gleichung, es wird ja sicherlich mehr als nur diese beiden Lösungen geben Für homogene lineare Differentialgleichungen gibt es das folgende sogenannte Superpositionsprinzip: Sind y,, y m Lösungen und c,, c m beliebige Skalare, so ist auch y(t : c y (t + + c m y m (t eine Lösung Dies ist eine einfache Beobachtung, es ist ja y c y + +c m y m c A(ty + +c m A(ty m A(t (c y + +c m y m A(ty Etwas abstrakter kann man auch sagen das die Menge aller Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung y A(ty einen Vektorraum bildet Wir können auch leicht feststellen welche Dimension dieser Vektorraum hat Dies liegt an einer einfachen Beobachtung Angenommen wir haben eine Lösung y der Gleichung y A(ty die eine Nullstelle hat, also y(a für ein a I Weil das Anfangswertproblem y A(ty, y(a eine eindeutige Lösung hat und andererseits die Funktion konstant gleich Null eine Lösung ist, muss somit y diese Nulllösung sein, also y Damit haben wir y ist nicht konstant gleich Null y(t für alle t I Eine Lösung von y A(ty ist also entweder konstant Null, oder sie hat überhaupt keine Nullstellen Sind nun y,, y m allesamt Lösungen und sind c,, c m beliebige 4-

2 Skalare, so ist nach dem Superpositionsprinzip auch c y + +c m y m eine Lösung, also konstant gleich Null oder nullstellenfrei Ist a I irgendein Punkt des Definitionsintervalls unserer Gleichung, so folgt damit y,, y m linear unabhängig y (a,, y m (a R n linear unabhängig y (t,, y m (t R n sind für jedes t I linear unabhängig Damit folgt schon der Hauptsatz über homogene lineare Gleichungssysteme: Satz 9 (Existenz von Fundamentalsystemen Seien I R ein Intervall und A : I M n (R eine stetige Abbildung Dabei bezeichnete M n (R die Menge aller reellen n n-matrizen Dann bilden die Lösungen des homogenen linearen Differentialgleichungssystems y A(ty einen n-dimensionalen Vektorraum Sind a I und v,, v n eine Basis des R n und bezeichnet y i : I R n für i,, n die Lösung des Anfangswertproblems y A(ty, y(a v i, so ist y,, y n eine Basis des Lösungsraums der Differentialgleichung Eine Basis y,, y n des Lösungsraums von y A(ty bezeichnet man auch als ein Fundamentalsystem dieser Gleichung Haben wir ein Fundamentalsystem y,, y n einer homogenen, linearen Differentialgleichung y A(ty, so bildet man weiter die sogenannte Fundamentalmatrix Y (t, die entsteht indem die Vektoren y (t,, y n (t als Spalten in eine Matrix geschrieben werden Für jedes i n und alle t I gilt dann y i(t A(ty i (t und somit folgt auch für jedes t I In unserem Beispiel Y (t A(tY (t y a(ty b(ty y b(ty + a(ty sind die beiden Lösungen u (t ( e A(t cos B(t e A(t sin B(t und u (t ( e A(t sin B(t e A(t cos B(t offenbar linear unabhängig und somit ein Fundamentalsystem Die Fundamentalmatrix ist gegeben durch ( cos B(t sin B(t Y (t e A(t sin B(t cos B(t Angenommen wir haben ein Fundamentalsystem y,, y n der homogenen Gleichung y A(ty gefunden Da dieses eine Basis des Lösungsraums der Gleichung ist, ist die allgemeine Lösung von y A(ty durch y(t c y (t+ +c n y n (t mit c,, c n R 4-

3 gegeben Ist Y die zugehörige Fundamentalmatrix, so können wir die allgemeine Lösung auch als y(t c y (t + + c n y n (t Y (tc mit c schreiben Das Fundamentalsystem und damit auch die Fundamentalmatrix einer homogenen linearen Differentialgleichung sind natürlich nicht eindeutig bestimmt Ist ỹ,, ỹ n ein weiteres Fundamentalsystem mit Fundamentalmatrix Ỹ, so können wir ỹ i n j t jiy j für i,, n mit geeigneten t ij R ( i, j n schreiben, dh die Matrix T : (t ij i,j n ist die Transformationsmatrix von der Basis ỹ,, ỹ n zur Basis y,, y n (siehe 73 aus dem ersten Semester In Matrixform ist dann Ỹ (t Y (tt für alle t im Definitionsbereich der Gleichung Ist die homogene lineare Differentialgleichung y A(ty auf einem Intervall I R definiert, und ist a I irgendein Startzeitpunkt, so gibt es bezüglich dieses gewählten a ein besonders ausgezeichnetes Fundamentalsystem, nämlich dasjenige für das y (a,, y n (a die Standardbasis des R n ist, also y i (a e i für i,, n Dieses Fundamentalsystem bezeichnen wir als das Standardfundamentalsystem zum Startpunkt a I Die zugehörige Fundamentalmatrix Y bezeichnen wir dann auch als die Standardfundamentalmatrix zum Startpunkt a Konkret ist diese durch Y (a gegeben Wie bereits bemerkt sind die Spalten einer Fundamentalmatrix Y (t zu jedem Zeitpunkt t linear unabhängig, dh die Fundamentalmatrix Y (t ist invertierbar und ihre Determinante W (t : det Y (t (Wronski Determinante bezeichnet man als die Wronski Determinante des Fundamentalsystem Ist Ỹ eine weitere Fundamentalmatrix, so wissen wir bereits Ỹ (t Y (tt mit einer invertierbaren Matrix T, und für die Wronski Determinanten der beiden Fundamentalsysteme folgt W (t det Ỹ (t det(y (tt det(t det Y (t (det T W (t, die Wronski Determinante ist also bis auf eine multiplikative Konstante unabhängig vom gewählten Fundamentalsystem Tatsächlich kann man die Wronski Determinante berechnen ohne die Lösung zu kennen Satz 93 (Bestimmung der Wronski Determinante Sei y A(ty eine auf einem Intervall I R definierte, homogene, lineare Differentialgleichung und bezeichne W die Wronski Determinante bezüglich eines Fundamentalsystems der Gleichung Dann gilt W (t (tr A(t W (t für alle t I Ist a I, so ist die Wronski Determinante gegeben als W (t W (a e R t a tr A(s ds 4-3 c c n

4 Ist insbesondere W die Wronski Determinante bezüglich des Standardfundamentalsystems zum Startpunkt a, so ist Y (a die Einheitsmatrix und somit W (a det Y (a und W (t e R t a tr A(s ds für jedes t I In unserem schon mehrfach verwendeten Beispiel hatten wir ( cos B(t sin B(t Y (t e A(t sin B(t cos B(t W (t e A(t cos B(t sin B(t sin B(t cos B(t ea(t In diesem Beispiel ist die Spur der Koeffizientenmatrix gleich a(t, das Ergebnis deckt sich also mit der Formel des Satzes Im allgemeinen ist die Berechnung eines Fundamentalsystems durch geschlossene Formeln nicht möglich In Einzelfällen ist dies aber doch möglich und wir wollen nun eine Rechentechnik besprechen, die in solchen Situationen gelegentlich hilfreich, die sogenannte Reduktionsmethode, manchmal auch D Alembertsches Reduktionsverfahren genannt Gegeben: Eine homogene lineare Differentialgleichung y A(ty bestehend aus n N Gleichungen und eine schon bekannte Lösung x(t Gesucht: Weitere (n Lösungen die x(t zu einem Fundamentalsystem ergänzen Die Reduktionsmethode erlaubt es diese noch fehlenden Lösungen durch Lösen eines homogenen linearen Gleichungssystems aus n Gleichungen zu bestimmen, die Aufgabe wird also um eine Dimension reduziert Wir nehmen an das die erste Komponente der bekannten Lösung x nicht Null ist, also x (a in einem Punkt a I im Definitionsbereich I der Gleichung Diese Annahme dient nur der bequemeren Notation, auf jeden Fall ist ja x i (a für irgendeine Komponente i n, und wir können das gesamte noch zu schildernde Verfahren entsprechend bezüglich der i-ten statt der ersten Komponente durchführen Schreibe jetzt x(t ( x (t x(t v(t und A(t Ã(t wobei die Einträge für uns nicht interessierende Werte stehen, v(t und x(t Vektoren mit n Einträgen sind und Ã(t eine (n (n -Matrix ist Wir machen jetzt den Ansatz z (t y(t λ(tx(t + z(t mit z(t z(t, z n (t 4-4,

5 wobei λ und z noch zu bestimmende Funktionen sind Wir müssen jetzt bestimmen wann diese Funktion y eine Lösung von y A(ty ist Hierzu rechnen wir und andererseits y (t λ (tx(t + λ(tx (t + z (t λ (tx(t + λ(ta(tx(t + z (t also haben wir die Bedingung A(ty(t λ(ta(tx(t + A(tz(t! y (t, A(tz(t λ (tx(t + z (t Aufgeteilt in Komponenten wird dies zu ( ( ( v(t v(t z(t A(tz(t Ã(t z(t Ã(t z(t! λ (tx(t + z (t ( λ (tx (t λ (t x(t + z (t Beachte das der wagerechte Strich hier jeweils kein Bruchstrich ist, sondern für die Aufteilung des Vektors in die erste und die restlichen Komponenten steht Die erste Komponente dieser Gleichung erlaubt es uns λ (t durch λ (t v(t z(t x (t λ (t x(t x(tλ (t x(t x(tv(t v(t z(t x (t x (t z(t zu eliminieren Dabei ist x(tv(t das Produkt eines Spalten- und eines Zeilenvektors ist, also eine (n (n -Matrix Die unteren Komponenten unserer Gleichung werden zu Ã(t z(t x(tv(t x (t z(t + z (t, und dies ergibt eine homogene lineare Differentialgleichung ( z Ã(t x(tv(t x(tv(t z B(t z mit B(t : Ã(t x (t x (t Damit können wir z als Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung in der um Eins reduzierten Dimension n erhalten Können wir dann ein Fundamentalsystem z,, z n der reduzierten Gleichung berechnen, so berechnen wir für i,, n die Funktion λ i durch v(t zi (t λ i (t dt x (t und setzen y i+ (t : λ i (tx(t+z i (t gemäß dem obigen Ansatz Ist dann noch y : x, so ist y,, y n das gesuchte Fundamentalsystem Wir wollen dies einmal am Beispiel 4-5

6 der für t > definierten homogenen linearen Differentialgleichung x t x y, y t x + t y vorführen Zunächst brauchen wir irgendeine von Null verschiedene Lösung Mit der zweiten Gleichung schreiben wir die Funktion x in Termen von y als x t y ty, also auch x ty + t y y ty t y y, und die erste Gleichung wird zu t y y x! t x y ty 3y t y ty + y Es ist naheliegend ein Polynom als Lösung für y anzusetzen, da ja immer mit derselben t-potenz multipliziert wird mit der auch abgeleitet wird Konstante Polynom sind außer Null nicht möglich, also schauen wir was mit y(t at + b ist Dann ist t y (t ty (t + y(t at + at + b b, also ist y(t : t eine Lösung Für x erhalten wir x(t t y (t ty(t t t, und damit haben wir eine erste Lösung y (t ( x(t y(t ( t Für ein Fundamentalsystem brauchen wir jetzt noch eine zweite Lösung für unser zu berechnendes Fundamentalsystem Weitere Lösungen der Gleichung mit Polynomen von höheren Grad gibt es leider nicht, daher wollen wir die fehlende Lösung über die Reduktionsmethode gewinnen, die für n besonders einfach wird Der Ansatz nach dem D Alembertschen Reduktionsverfahren ist ( ( λ(tt y (t λ(ty (t + z(t λ(tt + z(t mit noch zu bestimmenden Funktionen z und λ Eigentlich müßten wir wie oben z statt z schreiben, aber hier scheint das unnötig aufwändig zu sein Wegen n sind v(t und Ã(t einfache Zahlen nämlich v(t und Ã(t /t Es wird B(t Ã(t x(tv(t x (t und als Differentialgleichung für z ergibt sich damit t t ( t t t, z z t z(t er dt t e ln t t und weiter ist damit λ(t dt dt t 4-6 ln t

7 Als zweite Lösung ergibt sich y (t ( ln t t( + ln t Die beiden Lösungen y, y bilden ein Fundamentalsystem und wir haben damit auch die Fundamentalmatrix ( Y (t ln t t t( + ln t mit Wronski-Determinante W (t ln t t t( + ln t 3 ( + ln t + t 3 ln t 3 9 Inhomogene lineare Differentialgleichungen Nachdem wir nun eine recht gute Übersicht über homogene lineare Differentialgleichungen haben, kommen wir nun zum allgemeinen Fall also zu Gleichungen der Form y A(ty + b(t Wir nehmen an wir können das zugehörige homogene System y A(ty lösen und haben bereits ein Fundamentalsystem y,, y n, beziehungsweise eine Fundamentalmatrix Y, gefunden Wir bei linearen Gleichungssystemen reicht es eine einzige spezielle Lösung des inhomogenen Systems zu finden Ist y eine beliebige Lösung von y A(ty + b(t, so ist die allgemeine Lösung als y(t y (t + c y (t + + c n y n (t gegeben, dh alle Lösungen entstehen durch Addition einer Lösung des homogenen Systems y A(ty mit der speziellen Lösung y Wir müssen also nur eine Lösung finden Im Fall einer einzelnen inhomogenen, linearen Differentialgleichung haben wir das Problem eine Lösung zu finden bereits in 73 gelöst, und zwar durch die sogenannte Variation der Konstanten Im Fall eines Gleichungssystems haben wir nicht nur eine sondern gleich n Konstanten, und diese werden alle gleichzeitig variiert, dh wir machen den Ansatz Variation der Konstanten y(t c (ty (t + + c n (ty n (t Y (tc(t mit c(t c (t c n (t Die Fundamentalmatrix Y erfüllte die Differentialgleichung Y A(tY, und Ableiten mit der Produktregel ergibt somit y (t Y (tc(t + Y (tc (t A(tY (tc(t + Y (tc (t A(ty(t + Y (tc (t! A(ty(t + b(t, 4-7

8 dh die Konstantenfunktion c muss mit Y (tc (t b(t gewählt werden Da wir bereits eingesehen haben, dass die Fundamentalmatrix Y (t für jedes t im Definitionsintervall der Gleichung invertierbar ist, können wir diese Bedingung moch etwas umschreiben c (t Y (t b(t c(t Y (t b(t dt Wollen wir ein Anfangswertproblem y(a v R n lösen, so brauchen wir noch y(a Y (ac(a! v c(a Y (a v also c(t Y (a v + Die Lösung y wird damit zu y(t Y (tc(t Y (ty (a v + Y (t Damit haben wir den folgenden Satz hergeleitet: a Y (s (sb(s ds Y (ty (a v + a a Y (s b(s ds Y (ty (s b(s ds Satz 94 (Variation der Konstanten Seien n N, I R ein Intervall und A : I M n (R, b : I R n zwei stetige Funktionen Weiter bezeichne Y eine Fundamentalmatrix des homogenen linearen Differentialgleichungssystems y A(ty Für jedes a I und jeden Vektor v R n hat das Anfangswertproblem y A(ty + b(t, y(a v die eindeutige Lösung y : I R n ; t Y (ty (a v + a Y (ty (s b(s ds Als ein Beispiel wollen wir die auf I R > definierte, lineare Differentialgleichung x t x y + t y t x + t y t behandeln Hierzu müssen wir zunächst eine Fundamentalmatrix Y des zugehörigen homogenen Systems x t x y, y t x + t y bestimmen Dies haben wir bereits im letzten Abschnitt getan und als Ergebnis die Fundamentalmatrix ( Y (t ln t t t( + ln t 4-8

9 erhalten Zur Anwendung unserer Formel brauchen wir noch die Inverse dieser Matrix, die sich zu ( Y (t t( + ln t t ln t det Y (t ( ( + ln t ln t t t berechnet Dabei wurde det Y (t W (t 3 verwendet Wir wollen das Anfangswertproblem y( lösen, in unserer Formel sind also ( ( t a, v und b(t, und wir berechnen ( Y (s +ln s b(s s ln s s s s Damit haben wir wegen s ln s ds s ln s auch ( s s ( s ln s ln s s s s s ds s ln s 4 s und s ln s s ds ln s ( Y (s b(s ds s ln s 4 s ln s ln s t ln s s und insgesamt ergibt sich die Lösung ( t ln t 4 t ln t ln t 4 t + ln t, y(t Y (t Y (s b(s ds ( ( ln t t ln t 4 t ln t ln t 4 t t( + ln t t + ln t ( t (t ln t + ln t + 4 t ( 3t + ln t + ln t + 4-9