Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung

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2 KAPITEL 7 Systeme von Differentialgleichungen. Ordnung. Grundsätzliches In vielen Anwendungen sind zeitlich variable Groen x t, x 2 t,..., x n t in der Weise gekoppelt, dass der " momentane Zuwachs\ ẋ i t nicht nur von x i t und t abhangt, sondern auch von den restlichen Funktionen besteht ein Zusammenhang der Form v i : R n+ D R ẋ i v i t, x,..., x n, i n. Dieses Dierentialgleichungssystem. Ordnung besitzt in vektorieller Schreibweise die Gestalt x vt, x. Definition 6. Eine auf dem oenen Intervall I R erklarte vektorwertige Funktion parametrisierte Kurve x : I R n heit Losung oder Losungskurve des Dierentialgleichungssystems, wenn t, xt D und x vt, xt fur alle t I gilt. Verlauft eine Losung zur " Zeit\ t t I durch den Punkt x R n, so ist sie eine Losung des Anfangswertproblems x vt, x, xt x. Wie im eindimensionalen Fall spricht man von einer allgemeinen Losung, wenn sie n freie Parameter enthalt und nennt eine allgemeine Losung vollstandig, wenn damit samtliche Losungen erfasst. Geometrische Deutung Eine Kurve besitzt in xt den Tangentenvektor xt. Ist v von t unabhangig autonome Systeme, so stellen die Losungen von x v x 9

3 92 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG genau die Feldlinien des Vektorfeldes v x dar. Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme von DGL. Ordnung Wir betrachten die explizite Dierentialgleichung n-ter Ordnung: Setzt man nun x n t ft, ẋ, ẍ,..., x n. 33 x : x, x 2 : ẋ,..., x n : x n, so lasst sich die explizite Dierentialgleichung in ein aquivalentes Dierentialgleichungssystem. Ordnung verwandeln: ẋ x 2, ẋ 2 x 3,. ẋ n x n, ẋ n ft, x, x 2,..., x n. Beispiel 38. Die lineare Dierentialgleichung n-ter Ordnung x n + a n tx n a tẋ + a tx bt ist aquivalent zum System. Ordnung: x..... x a a a 2... a n 2 a n Oenbar gilt:. bt, x : x ẋ ẍ. x n 2 x n Satz 26. xt ist Losung der Dierentialgleichung n-ter Ordnung 33 xt xt, ẋ, ẍ,..., x n T Losung des Dierentialgleichungssystems. Ordnung 34 ist. Beispiel 39. Van der Pol-Dierentialgleichung ẍ α βx 2 ẋ + x beschreibt die Anderung der Gittervorspannung in der Triodenschaltung. Das aquivalente Dierentialgleichungssystem lautet ẋ y, ẏ α βx 2 y x.

4 2. LINEARE DGL-SYSTEME 93 Die bekannten Satze uber die Existenz und Eindeutigkeit der Losung lassen sich auf Dierentialgleichungssysteme. Ordnung ubertragen: Satz 27. Satz von Peano Das AWP x vt, x, x x mit einem auf dem Gebiet G R n+ stetigen Vektorfeld v : G R n besitzt fur t, x G wenigstens eine Losung. Die Eindeutigkeit erhalt man wieder aus der Lipschitz-Bedingung: vt, x vt, x L x x, L. Satz 28. Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Systeme Ist das Vektorfeld vt, x R n fur a < t < b und x aus dem Gebiet D R n stetig partiell nach x, x 2,..., x n dierenzierbar, dann gibt es zu jedem t a, b und jedem x D genau eine maximale Losung des AWP x vt, x, xt x 36 Dabei heit die Losung x : I R n maximal, wenn sie sich nicht mehr zu einer Losung auf einem groeren Intervall fortsetzen lat. Satz 29. Erfullt das Vektorfeld vt, x R n auf dem " Streifen\ a t b, x R n eine globale Lipschitzbedingung, so hat das AWP 36 fur jedes x R n genau eine auf dem ganzen Intervall a t b denierte Losung. Bemerkung 5. Obige Satze gelten in angepasster Weise auch fur Dierentialgleichungen n-ter Ordnung. 2. Lineare DGL-Systeme Die einfachsten und zugleich wichtigsten DGL-Systeme sind linear, d.h. sie lassen sich in der Form x At x + bt 37

5 94 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG bringen, mit x R n, einer Koezientenmatrix At a ij t R n n und einer Stor- oder Steuerfunktion bt. Dabei sind die Funktionen a ij t und b j t uber einem gemeinsamen Intervall I R deniert. Das System heit homogen, wenn bt fur alle t I ist, ansonsten heit es inhomogen. x At x 38 ist das dem DGL-System zugeordnete homogene DGL-System. 2.. Lösungsstruktur. Die allgemeine Losung des inhomogenen DGL-Systems 37 hat die Gestalt xt x p t + x h t mit der partikularen Losung x p von 37 und der allgemeinen vollstandigen Losung x h t von Lösungsmenge des homogenen DGL-Systems. Die Losungsmenge L : { x : I R n ; xt At xt, t I} ist ein reeller Vektorraum, der sogenannte Losungsraum. Fur n nicht notwendig verschiedene Losungen x t, x 2 t,..., x n t von 37 bezeichnet Xt : x t, x 2,..., x n t W t : det Xt die Losungsmatrix, die Wronski-Determinante. Es ist nicht einfach die Losungsmatrix Xt aus At abzulesen, dagegen kann man W t leicht aus At ablesen. Satz 3. Fur beliebiges, aber festes t I ist t W t W t exp spur As ds. t Beweis: Fur W t ergibt sich eine trennbare Dierentialgleichung: d dt W t det x, x 2,..., x n +... det x, x 2,..., x n det A x, x 2,..., x n +... det x, x 2,..., A x n spur AtW t.

6 2. LINEARE DGL-SYSTEME 95 Wir begrunden zunachst den ersten Teil. Fur n 2 haben wir d x x 2 dt x 2 x 22 d dt x x 22 x 2 x 2 ẋ x 22 + x ẋ 22 ẋ 2 x 2 x 2 ẋ 2 ẋ x 2 ẋ 2 x 22 + x ẋ 2 x 2 ẋ 22. Fur eine n n-matrix gilt x x 2... x n d x 2 x x 2n d x X x 2 X 2 + x 3 X n x n X n dt dt x n x n2... x nn d ẋ X + x dt X d ẋ 2 X 2 x 2 dt X n ẋ n X n + n d x n dt X n ẋ x 2... x n x x 2... ẋ n ẋ 2 x x 2n x 2 x ẋ 2n , ẋ n x n2... x nn x n x n2... ẋ nn dabei sind die X ij die entsprechenden Unterdeterminanten. Die verbleibende Beziehung ergibt sich aus det [λe AX] det λe A det X [λ n λ n spur A n det A] det X nach dem Determinanten-Multiplikationssatz und der Berechnung der speziellen Determinante det λe A, und einem Koezientenvergleich mit det [λe AX] det λ x A x, λ x 2 A x 2,..., λ x n A x n λ n det X λ n [det A x, x 2,..., x n det x, x 2,..., A x n ] n det A det X, da die Determinante linear in Spalten ist. Folglich gen ugt W t der skalaren linearen Dierentialgleichung d W t spur AtW t dt und das Anfangswertproblem hat die Losung t W t W t exp spur As ds. # t Beispiel 4. Es sei x t 2t 2 x, x R 2, t >.

7 96 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Fur die beiden Losungen x t t und x 2 t 3 t ist Dasselbe ergibt sich mit und W t W t t 3 t spur t t2, falls t >. t t 3 t 2t 2 2 t t 2 t D.h. fur W t gilt d dt W t 2 W t, W t und ergibt die Losung W t K expln t 2 und K wird aus W bestimmt, d.h. W t t 2. Aus der Berechnung von W t folgt unmittelbar t. W t fur alle t I W t fur ein t I. Definition 7. Man nennt m Funktionen x k, k, 2,..., m, linear unabhangig auf I, wenn gilt α x + α 2 x α m x m fur alle t I α α 2... α m. Satz 3. Sind x t, x 2 t,..., x n t Losungen des homogenen DGL- Systems 38auf I, so gilt mit W t det x t, x 2 t,..., x n t der W-Test x, x 2,..., x n sind linear unabhangig auf I W t fur ein t I.

8 2. LINEARE DGL-SYSTEME 97 Satz 32. Lösungsraum Die Losungsmenge L { xt : I R n, ẋt At xt, t I} des homogenen linearen Dierentialgleichungssystems 38 ist ein n-dimensionaler Vektorraum. 2 n Losungen Xt x t, x 2 t,..., x n bilden genau dann eine Basis des Losungsraumes genannt Losungsbasis oder Fundamentalsystem, wenn W t fur ein und damit alle t I. In diesem Fall ist xt c x t + c 2 x 2 t c n x n t die allgemeine und vollstandige Losung des homogenen linearen Dierentialgleichungssystems 38. Beweis: Es sei a, b I, a < b. Die vektorwertige Funktion At xt ist auf a < t < b, x stetig und nimmt deshalb ihr Maximum und Minimum an. Also gilt At xt xt L, fur alle t [a, b], xt und es folgt At x y L x y. Deshalb garantiert der Existenz- und Eindeutigkeitssatz zu jedem t I und i n die Existenz genau einer Losung y i t mit y i t e i i-ter Basisvektor des R n. Nach dem W -Test sind diese Losungen aufgrund von W t det y t, y 2 t,..., y n t det E linear unabhangig. Ist nun xt irgendeine Losung mit x t a a, a 2,..., a n T, so ist auch yt : a y t+a 2 y 2 t+...+a n y n t eine Losung mit y t a. Aus der Eindeutigkeit folgt xt y t. Somit bilden die y i t, i n, eine Basis und die Dimension des Losungsraumes ist folglich n. Der Rest folgt aus dem W -Test und den allgemeinen Eigenschaften einer Basis. # Die Losungsbasis wird wird gleichzeitig als Matrix dargestellt: Xt x t, x 2 t,..., x n t, die Spalten von Xt sind gerade die Losungsvektoren eines Fundamentalsystems, deshalb nennt man Xt Fundamentalmatrix.

9 98 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG In kompakter Matrixschreibweise lautet die allgemeine Losung des homogenen Dierentialgleichungssystems und die eindeutige Losung des AWP xt Xt c, c R n, x At x xt x, besitzt die Darstellung xt XtX t x. Dabei verwendet man, dass die Fundamentalmatrix f ur alle t I invertierbar ist. Bemerkung 6. Bisher wurde nur die Existenz einer Fundamentalmatrix nachgewiesen. Die explizite Berechnung gelingt leider nur in Sonderfallen, z.b. wenn At const ist. Die Variation der Konstanten ist eine Methode, partikulare Losungen des inhomogenen Dierentialgleichungssystems 37 zu bestimmen, falls man eine Fundamentallosung Xt des zugeordneten homogenen Systems 38 kennt. Variation der Konstanten Ansatz: x p t Xt ct fuhrt auf AXt ct + bt x p t Ẋt ct + Xt ct AXt ct + Xt ct 39 bt Xt ct ct X t bt dt, 4 wobei das Integral komponentenweise zu bestimmen ist. Satz 33. Die vollstandige allgemeine Losung von x At x + bt lautet [ t ] xt Xt X τ bτ dτ + c, c R n. t Dabei ist Xt eine Fundamentalmatrix von x At x und t I beides beliebig, aber fest. Fur c X t x erfullt xt das AWP xt x.

10 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 99 Grundprinzipien fur lineare Dierentialgleichungssysteme: homogen x At x A : I R n n stetig Alle Losungen sind auf dem oenen Intervall I R deniert. 2 Der Losungsraum ist n dimensional. 3 Real- und Imaginarteil einer komplexen Losung sind ebenfalls Losungen. 4 Existenz des Fundamentalsystems: Zu jeder Basis B v,..., v n des R n und t I gibt es ein Fundamentalsystem Xt x t, x 2 t,..., x n t mit Xt B. 5 Die vollstandige allgemeine Losug lautet: xt Xt c. 6 Das AWP mit xt x hat die eindeutig bestimmte Losung xt XtX t x. 7 W -Test: Xt x t, x 2 t,..., x n t Fundamentalsystem W t det Xt fur ein t I und damit alle t I. inhomogen x At x + bt A : I R n n, b : I R n stetig Alle Losungen sind auf dem Intervall I R deniert. 2 Die Losungsstruktur ist xt x p t + x h t. 3 Es gilt das Superpositionsprinzip. 4 Variation der Konstanten: Ansatz x p t Xt ct. 5 In Spezialfallen gibt es bestimmte Ansatze fur x p t. 3. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten Fur lineare Dierentialgleichugssysteme mit konstanten Koezienten x A x + bt ist die Koezientenmatrix A a ij n i,j nicht von der Zeit t abhangig. In diesem Fall ist es leicht moglich ein Fundamentalsystem des zugehorigen homogenen Dierentialgleihcungssystems x A x anzugeben, dazu bedarf es aber einiger Kenntnisse aus der Matrizenrechnung. 3.. Hauptvektoren. Ziel ist die Bestimmung eines Fundamentalsystems.

11 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Definition 8. Ein Vektor v C n heit Hauptvektor der Stufe l N zum Eigenwert λ der Matrix A, wenn A λe l v und A λe l v. Beispiel 4. Jeder Eigenvektor u von A ist Hauptvektor der Stufe, da Beispiel 42. Die Matrix A λe u und u A λe u. A besitzt den Eigenwert λ mit der algebraischen Vielfachheit 3 Bestimmung der Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms: λ det A λe λ λ 3 λ und Bestimmung der Eigenvektoren zu λ und des dazugehorigen Eigenraumes: x y + z A λe y z y z und x R, z d.h. der Eigenraum ist V t, t R und hat die Dimension. Somit ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ gleich. Weiterhin gilt A E e, A E e 2 e, A E 2 e 2, A E e 3 e + e 2, A E 2 e 3 e, A E 3 e 3. Deshalb ist e ein Eigenvektor Hauptvektor der Stufe, e 2 Hauptvektor der Stufe 2 und e 3 Hauptvektor der Stufe 3. Die drei Hauptvektoren { e, e 2, e 3 } bilden eine Basis des R 3. Bemerkung 7. Ist v ein Hauptvektor der Stufe l zum Eigenwert λ, so sind v, A λe v, A λe 2 v,..., A λe l v, stets l linear unabhangige Hauptvektoren der Stufen l, l,...,. Man nennt sie die durch v bestimmte Hauptvektor-Kette.

12 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN Satz 34. Zu jedem k-fachen Eigenwert λ der Matrix A gibt es k linear unabhangige Hauptvektoren, d.h. Dim { x : A λe k x } k. r Hauptvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten der Matrix A sind linear unabhangig. Folgerungen: Zu jeder komplexen oder reellen n n-matrix gibt es eine Basis des C n bzw. R n aus Hauptvektoren von A. 2 Jede Matrix genugt ihrer eigenen charakteristischen Gleichung, d.h. ist pλ det A λe a n λ n + a n λ n a λ + a das chrakteristische Polynom der Matrix A, dann gilt a n A n + a n A n a A + a E Berechnung von Hauptvektoren. Hauptvektoren mussen nur dann bestimmt werden, wenn es keine n linear unabhangigen Eigenvektoren zur MAtrix A gibt. Das ist dann der Fall, wenn es mindestens einen Eigenwert gibt dessen geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit ist. In diesem Fall geht man wie folgt vor Bilde A λe 2 und bestimme den Kern dieses Operators, d.h. den Unterraum der Losungen des Gleichungssystems A λe 2 v. Dieser Unterraum wird aufgespannt von den Eigenvektoren zum Eigenwert λ und den Hauptvektoren der Stufe 2 zum Eigenwert λ. Die Bedingung A λe v schliet die Eigenvektoren wieder aus. 2 Hat man immer noch nicht genug Hauptvektoren, so bilde man den Kern von A λe 3 und erganze die Basis des Kerns von A λe 2 zu einer des Kerns von A λe 3. Diese erganzenden Vektoren sind die Hauptvektoren der Stufe 3. 3 Hat man immer noch nicht genugend Hauptvektoren so werden sukzessive weitere Hauptvektoren bestimmt. Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab. Beispiel 43. Wir betrachten wieder die Matrix A.

13 2 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Wie wir bereits ermittelt hatten, besitzt sie den Eigenwert λ mit der algebrischen Vielfachheit 3 und der geometrischen Vielfachheit. Der zum Eigenwert λ gehorige Eigenvektor Hauptvektor der Stufe ist e. Wir benotigen also Hauptvektoren 2. Stufe. Hierzu bilden wir A E 2 A EA E A E 2 v die Losung v t s. Dann besitzt das Gleichungssystem t + s, s, t R, da e Eigenvektor ist, ist e 2 Hauptvektor der Stufe 2. Anaolog ndet man, dass e 3 Hauptvektor der Stufe 3 ist. Einfacher erscheint zumindest mir das folgende Vorgehen. Wir hatten geshen, dass jeder Hauptvektor der Stufe l eine Hauptvektor-Kette erzeugt: v, A λe v,..., A λe l v von Hauptvektoren der Stufe l, l,...,. Nun sieht das zunachst nicht konstruktiv aus, da man " nur herunter zahlen kann\. Geht man aber davon aus, dass es eine Basis von Hauptvektoren geben muss, so heit das, dass wenn es nicht genugend Eigenvektoren gibt, die " Lucke\ mit Hauptvektoren gefullt wird und diese folglich existieren. Schaut man sich die Hauptvektor-Kette nun vom Eigenvektor u A λe l v aus an, so berechnet sich der Hauptvektor der Stufe 2 w A λe l 2 v aus der Gleichung A λe w A λe l v u, der Hauptvektor der Stufe 3 berechnet sich analog aus dem Hauptvektor der Stufe 2, usw. usf. Beispiel 44. In obigem Beispiel ist der Eigenvektor gerade e Der Hauptvektor der Stufe 2 ist nun die Losung von A E w e w w 2 w 3 { w 2 + w 3 w 3.

14 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 3 und wir erhalten als Losung t + und damit als Hauptvektor der Stufe 2 den Vektor e 2. Analog erhalt man als Hauptvektor der Stufe 3 den Vektor e 3. Bemerkung 8. Die so berechneten Hauptvektoren sind Losungen inhomogener GLeichungssysteme, deshalb muss jede meist unnotige Normierung in der gesamten Kette vorgenommen werden. Bemerkung 9. Man beachte, dass ein Hauptvektor k-ter Stufe nicht eindeutig bestimmt sind, sondern sich um Linearkombinationen von Hauptvektoren mit Stufen kleiner k unterscheiden Matrix-Exponentialfunktion. Ersetzt man in der Partialsumme r k a k x k a k R einer Potenzreihe die Potenzen x k durch die Potenzen A k einer festen reellen Matrix A, so erhalt man fur jedes r N eine n n-matrix r a k A k a E + a A a r A r. 4 k Der Grenzubergang r wird genauso wie fur Vektoren komponentenweise erklart: Die Matrizenreihe k a k A k heit konvergent mit der Summe dem Grenzwert S s ij n i,j, wenn die i, j-te Komponente von 4 fur r gegen s ij konvergiert i, j n. Mit der Exponentialreihe e x x k k erhalt man auf diese Weise k! Satz 35. Matrix-Exponentialfunktion Es sei A eine reelle n n- Matrix, t R, dann konvergiert 2 e A : e ta : k k k! Ak E + A + 2 A2 + 3! A3 +..., t k k! Ak E + ta + t2 2 A2 + t3 3! A3 +..., dabei ist die konvergenz in jedem beschrankten Intervall fur t gleichmaig.

15 4 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Beispiel 45. Ist A eine Diagonalmatrix λ... λ 2... A λ n dann sind alle Potenzen A k ebenfalls Diagonalmatrizen λ k... A k λ k λ k n und wie man leicht sieht ist e λ... e A e λ e λn und Beispiel 46. Ist A nilpotent, d.h. A k+, also A n fur n > k, dann ist e A E + A k! Ak. Beispiel 47. Es sei A dann ist A 2, A 3, A 4 e ta t2 2! 4! t + t3... 3! + t t3 3! t2 + t4 2! 4! cos t sin t,... sin t. cos t Rechenregeln fur die Matrix-Exponentialfunktion: Fur fur reelle n n- Matrizen A, B gilt Spezialfall e E, Nullmatrix, E Einheitsmatrix, 2 Funktionalgleichung: Gilt AB BA, sind A und B also vertauschbar, was i. Allg. fur Matrizen nicht gilt, dann ist e A e B e B e A e A+B, 3 Inverse: e A e A, 4 Ableitungsregel: d dt eta A e ta e ta A, t R.

16 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 5 Bemerkung 2. Ist AB BA, so ist i. Allg. e A e B e B e A e A+B. Beispiel 48. Gegenbeispiel: Es sei A und B dann ist AB BA und e A e e e, sowie B 2, also e B E + B Damit errechnet man e A e B e e e, e B e A e e und beide Matrizen sind voneinander verschieden. Weiterhin ist A + B + : C.. Es ist auerdem C 2 und damit C k A + B k C e A+B E+ k k! Ck E+ k k! C Folglich haben wir e A e B e B e A e A+B., fur alle k. Damit ist + e e e e. Beispiel 49. Es sei a A b b a a a + b b à + B.

17 6 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Da die beiden Matrizen in der Summe vertauschbar sind, kann man benutzen, dass e A eãe B e a cos b sin b e a sin b cos b Anwendung von Beispiel 47 ist, also e A e a cos t sin t sin t cos t. ist Beispiel 5. Jordan-Kästchen. Es sei A λe +N, N k+, k N. Dann e A e λe+n e λe e N e λ e N e λ E + N k! N k Allgemeine Lösung und Fundamentalsysteme. Satz 36. Das homogene lineare Dierentialgleichngssystem mit konstanten Koezienten besitzt die vollstandige allgemeine Losung x A x, A R n n, 42 xt e ta c, c R n, sie ist fur alle t R deniert. Mit jeder invertierbaren Matrix C R n n ist Xt e ta C eine Fundamentalmatrix des Dierentialgleichungssystems 42. Die Losung des Anfangswertproblems lautet x A x, xt x R n xt e t t A x. Beweis: ist C c c 2... c n eine Basis des R n und gleichzeitig eine invertierbare Matrix, dann sind xt e ta c i, i n, n linear unabhangige Losungen, denn durch Dierentation nach t sieht man sofort, dass sie Losungen sind und der W-Test ergibt mit t det e ta c e ta c 2... e ta c n t det c c 2... c n, da C eine Basis bzw. invertierbare Matrix ist.

18 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 7 Bemerkung 2. Anwendung: Wir hatten bereits festgestellt, dass sich die Wronski-Determinante sehr leicht aus dem gegebenen Dierentialgliehcungssystem berechnen lat, es ist siehe Satz 3: t W t W t exp spur Asds. t Fur Systeme mit konstanten Koezienten und t, t ist und damit ist W W exp spur A ds W e spur A det e ta C t det e A C det C det e A W det e A det e A e spur A. Stellt t die Zeit dar, so beschreibt x A x einen Entwicklungsproze, der im R n wirkt: Eine Figur D R n wird im Laufe der Zeit t in {e ta x; x D} transformiert. Die Abbildung x e ta x ist linear, sie besitzt den Volumenverzerrungsfaktor e t spur A. Ist insbesondere spur A, dann ist die Abbildung volumentreu fur alle t. Bemerkung 22. Obwohl damit die Losung vollstandig beschrieben ist, bereitet es Schwierigkeiten die Losung zu berechnen, da man e ta benotigt Lösungsbasis. Wir hatten bereits erhalten, dass es zu jeder komplexen oder reellen n n-matrix eine Basis des C n bzw. R n aus Hauptvektoren von A gibt. Fur den Fall der reellen Matrix A benotigen wir fplgenden Hilfssatz: Lemma. Ist A R n n und v ein Hauptvektor von A zum nicht reellen komplexen Eigenwert λ, so sind Re v und Im v linear unabhangig. Nach Satz 36 hat man fur Dierentialgleichungssysteme stets eine Fundamentalmatrix e ta C, wenn nur die n n-matrix C invertierbar ist. Wahlt man C v v 2... v n mit einer Basis aus Hauptvektoren und Eigenvektoren von A, so ergeben sich in den Spalten die Fundamentallosungen x i t e ta v i in Form von endlichen Summen:

19 8 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG Satz 37. Fundamentallösungen von x A x : Fur jeden Eigenvektor u zum Eigenwert λ xt e λt u, 2 fur jeden Hauptvektor v der Stufe l zum Eigenwert µ xt e µt v + ta µe v + t2 2! A µe2 v tl l! A µel v. 43 Beweis: Aus A u λ u folgt e ta u E + ta + 2 t2 A u u + ta u + 2 t2 A 2 u +... u + λt u + 2 λ2 t 2 u +... e tλ u und aus A µe l v folgt mit e ta e tµe+ta µe e tµ e ta µe, d.h. e ta v e tµ v + ta µe v Bemerkung 23. l! tl A µe l v. # Gibt es zu A eine Basis aus Eigenvektoren u u 2... u n, z.b. fur symmetrische Matrizen dann ist das Fundamentalsystem besonders einfach: Xt e λ t u, e λ 2t u 2,..., e λnt u n. 2 Synchronlösungen nennt man die Losungen vom Typ zum Eigenwert λ, ihre Komponenten andern sich " synchron\ mit der Zeit t. Fall. λ reell, dann liegt die Bahn der Synchronlosung e λt u auf dem Strahl von aus in Richtung u. Fall 2. λ α + iβ C, β, dann sind x t Re e λt u e αt cos βt a sin βt b, x 2 t Im e λt u e αt sin βt a + cos βt b mit a Re u und b Im u zwei linear unabhangige reelle Losungen. Ihre Bahnen sind Ellipsen α oder logarithmische Spiralen in der von a und b in R n aufgespannten Ebene durch.

20 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 9 Losungsverfahren fur x A x, A R n n.. Eigenwerte mit Vielfachheiten berechnen: 2. Die Einzelbasen von det A λe n λ λ k λ λ 2 k2 λ λ r kr. A λ i E k i x, i, 2,..., r bestimmen. Zu Hauptvektor-Basis v, v 2,..., v n zusammenfugen. 3. Fur jedes v i mit 43 den Vektor x i e At v i berechnen. Fundamentalmatrix ist: Allg. komplexe Losung ist Xt x t, x 2 t,..., x n. xt Xt c, c C n. 4. Reelle Losungsbasis: Ist xt Losung zu λ R, so sind Re xt und Im xt Basislosungen zu λ, λ. Bemerkung 24. Zur Bestimmung der Einzelbasen 2. berechnet man zunachst alle Eigenvektoren und hat damit die Sychronlosungen. Fur mehrfache Eigenwerte bestimmt man dann zu jedem Eigenvektor u linear unabhangige Hauptvektoren der Stufe 2 aus A λe v u, anschliessend Hauptvektoren der Stufe 3 usw. bis man n Basisvektoren vorliegen hat. Man beachte: Die Hauptvektoren v, w usw. sind Losungen eines inhomogenen Gleichungssystems. Jede in der Regel unnotige Normierung ist stets mit dem gleichen Faktor an der ganzen Kette v, w,..., vorzunehmen. 2 Die Hauptvektoren v, w,..., sind nicht eindeutig bestimmt, da rang A λe < n ist. Zwei Losungen unterscheiden sich stets um einen Eigenvektor. Bei Paaren konjugiert komplexer Eigenwerte ist die Rechnung nur fur einen der beiden durchzufuhren. Ist A reell, so sind Real- und Imaginarteil einer Losung stets linear unabhangig. Beispiel 5. x 2 3 x.

21 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG. det A λe λ 2 3 λ λ λ3 λ λ λ λ + 2 λ λ 3 + 4λ 2 3λ λ λ 3 + 4λ 2 5λ + 2 λ 2 λ 2 + 2λ Eigenwerte: λ 2 und λ 2 doppelt. 2. Einzelbasen bestimmen, zunachst werden Eigenvektoren berechnet: 2 λ 2 : A 2E v 2 v. Man erhalt v,, T. Man erhalt v 2, T. λ 2 : A E v Bestimmung des Hauptvektors 2. Stufe: A E v 3 v 2 Man erhalt v 3,, T v 2. v 3 λ 2λ Zunachst fur die Eigenvektoren: x t e 2t v, x 2 t e t v 2 und fur den Hauptvektor der Stufe 2: x 3 t e At v 3 e t v 3 + ta E v 3 e t + t. Damit erhalt man die allgemeine Losung xt c x + c 2 x 2 + c 3 x 3 c e 2t + c 2 e t + c 3 e t. + t. Beispiel 52. x 2 2 x.

22 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN λ 2. det A λe λ 2 λ λ λ 3 + 2λ 4. λ Nun ist λ 3 + 2λ 4 λ + 2λ 2 + 2λ + 2 λ 2λ iλ + i und damit sind λ 2/3 ± i. 2. Bestimmung der Eigenvektoren dabei muss von λ 2 und λ 3 nur ein Eingenwert berucksichtigt werden, da die Matrix A reell ist. 2 2 λ 2 : A + 2E v 2 2 v 2 und man erhalt v,, T. λ + i : A + ie v und man erhalt v 2 2i, 2, + i T. i 2 i 2 i 3. Komplexe Losungsbasis: x t e 2t, x 2 t x 3 t e +it 4. Reelle Losungsbasis ist: x t e 2t und sowie x 2 t Realteil e t cos t x 3 t Imaginarteil e t sin t 2 2 sin t i 2 + i 2 + cos t 2 v 2.. Beispiel 53. Die gewohnliche Dierentialgleichung 2. Ordnung ẍ + pẋ + qx ist aquivalent zu autonomen System. Ordnung ẋ x ẏ q p y,

23 2 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG xt das die Losung xt e ta c, c R 2 besitzt. Jede dieser Losungen yt stellt eine ebene Kurve dar Phasenbahn. Die Gesamtheit der Phasenbahnen wird als Phasenportrait bezeichnet. Die Eigenwerte ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung mit den Losungen λ /2 p 2 ± p 2 λ 2 + pλ + q 4 q p 2 ± 2 p2 4q. In Abhangigkeit von p 2 4q gibt es foglich 2 voneinander verschiedene reellwertige Losungen, eine doppelte reelle Losung oder ein Paar konjgiert komplexer Nullstellen. Damit ergeben sich verschiedene Fundamentalsysteme Eigenvektoren, die wiederum die folgenden typischen Verlaufe der Phasenbahnen Trajektorien in Abhangigkeit von den Eigenwerten bzw. p 2 4q ergeben.

24 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 3

25 4 7. SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. ORDNUNG 3.6. Das inhomogene lineare DGL-System. x A x + bt mit konstanter Koezientenmatrix A R n n und Storfunktion bt. Ein Fundamentalsystem Xt der zugehorigen homogenen DGL bestimmen. 2 Eine partikulare Losung des inhomogenen Systems x p mittels eines Ansatz vom Typ der rechten Seite\ oder durch Variation der Konstanten bestimmen. " 3 Allgemeine Losung ist xt x p t + Xt c, c R n. 4 AWP xt x. Vektor c Xt [ x x p t ] ausrechnen. Beispiel 54. x 2 3 x + e 5t. Bestimmung von Xt siehe Beispiel 5. 2 ; x 2. Mittels Ansatz: Der Faktor 5 im Exponenten von bt ist kein Eigenwert von A, daher der Ansatz Einsetzen ergibt 5e 5t d Ae 5t d + e 5t und damit d,, T. 3. Allgemeine Losung ist: xt e 5t + c e 2t 4. AWP: x + c 2 + c + c 2 + c + c 3 x p t e 5t d, d R c 2 e t + c 5E A d + c 2 c c 2 c 3 + c 3 e t + c , + t. 2 2

26 3. LINEARE DGL-SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 5 Die Losung des Gleichungssystems ist c, c 2, c 3 2 und damit ist Losung des AWP. xt 2te t, e 5t 2te t, 2e t T 3.7. Eliminationsmethode. Ist fur kleine n gut geeignet, fur groere n kann sie genutzt werden, wenn nur eine Komponente von x gefragt ist. Wir beschranken uns auf den Fall n 2 : Es sei das folgende System gegeben: ẋ αx + βy + b t, ẏ γx + δy + b 2 t. Durch Dierentation und Elimination entsteht: Dierentation der ersten Gleichung nach t: Einsetzen der zweiten Gleichung fur ẏ: ẍ αẋ + βẏ + ḃt αẋ + βγx + δy + b 2 t + ḃt erste Gleichung nach βy auosen und einsetzen: αẋ + βγx + δẋ αx b t + βb 2 t + ḃt und man erhalt die Dierentialgleichung 2. Ordnung fur x : Analog erhalt man fur y : ẍ α + δẋ + αδ βγx βb 2 t δb t + ḃt. ÿ α + δẏ + αδ βγy γb t αb 2 t + ḃ2t. Lost man z.b. die Dierentialgleichung fur x so ergibt sich im Fall β fur y : yt β ẋt αx b t. Ist dagegen β, so ist das Dierentialgleichungssystem entkoppelt, da in der ersten Gleichung y gar nicht vorkommt.