Fourier Transformation

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1 Fourier Transformation Frank Essenberger FU Berlin 8.Dezember 006 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Periodenlänge 1 Unendlich Periodenlänge 4 3 Die δ F unktion 4 4 Beispiele Endliche Periodenlänge Unendliche Periodenlänge Endliche Periodenlänge Sei f(xeine periodische Funktion in x. Das heißt f(x +. Dann lässt sich f(x als inearkombination von Sinus und Cosinus Funktionen darstellen: a 0 + ( a n cos( πn x + b n sin( πn x n1 mit n N. (1 Im weiteren ist es praktisch dies als komplexe e-funktion zu schreiben. Wie sich dann die Koefizienten ergeben sehen wir dann später. Damit ergibt sich verkürzt ( bis um auch gleiche Anzahl koefizienten zu haben c 0 a0 : n c n exp( πn xi. ( Nun sollen die Koefizienten bestimmt werden. Dazu multilpizeren wir die Gleichung ( mit exp( πn xi : exp( πn xi exp( πn xi n c n exp( πn xi. 1

2 Nun wird auf beiden Seiten über x integriert: + + dx exp( πn xi + dx exp( πn xi n dx n c n + c n exp( π(n n xi (3 dx exp( π(n n xi Nun muss eine Fallunterscheidung stattfinden. Wir nehem an n n dann lässt sich die Stammfunktion leicht bilden: dx exp( π(n n xi dx exp( π(n n xi π(n n i exp(π(n ] + n xi c n π(n n i n ] (4 e πi(n n e πi(n n (5 n c n π(n n sin(π (n n 0 (6 }{{} N dx exp( π(n n xi 0 (7 Nun ist der Fall n n an der Reihe. Dabei setzen wir bei Gleichung (4 an und entwickel die e-funktion und lassen dann(n n 0 n n : dx exp( π(n n xi dx exp( π(n n xi πi(n n ] k π(n n πi(n n ] k ] i k! k! k0 πi(n n ] k 1 ( 1k πi(n n ] k 1 ] k! k! k0 In der Summe überlebt aber nur der Term fürk 1, da k 0 sich weghebt und für die hoheren Terme ein (n n k 1 stehen bleibt, das bei Grenzübergang 0

3 wird. Damit ergibt sich: lim n n dx exp( π(n n xi dx exp( π(n n xi lim n n dx exp( π(n n xi dx exp( π(n n xi dx exp( π(n n xi πi(n n ] k 1 ( 1 k πi(n n ] ] k 1 k! k! k0 k 0 πi(n n ] k 1 ( 1 k πi(n n ] ] k 1 k! k! k1 πi0] k 1 k! k1 k 1 ( 1 k πi0] k 1 k 1 πi0] k 1 δ 1k k! k1 ] k! ( 1 k πi0] k 1 k 1 dx exp( π(n n xi (8 Das Integral ist also mit Gleichung (7 und (8 zusammen: + δ nn. Wenn wir damit in Gleichung (3 eigehen, folgt sofort: Wir bilden nun f(x: n n ( (c n cos( πn c 0 + c n 1 c n exp( πn xi k! dx exp( π(n n xi dxf(x exp( πn xi (9 n1 c n exp( πn xi n1 n1 xi + i sin(πn xi ( c n exp( πn xi + c n exp( πn xi + c 0 + c n ( cos( πn xi i sin(πn ( (c n + c n cos( πn xi + (c n c n i sin( πn xi xi Ein Koefizientenvergleich mit Gleichung (1 ergibt sofort: a 0 c 0 a n (c n + c n und b n i(c n c n Durch Anwenden von Gleichung (9 kann a n und b n die Koefizienten der reellen Fouriereihe ausrechnen: a n dxf(x cos( πn x δ 1k + c 0 3

4 b n dxf(x sin( πn x Unendlich Periodenlänge Nun soll der Fall einer nicht periodische Funktion betrachtet werden. Das heißt wir lassen gehen. Dann wird aus unserer Gleichung (; n c n exp( πn xi c n exp( πn xidn (10 Nun tuen wir so also n eine kuntinuierlich Größe wäre un substituieren wie folgt: y πn Damit ergibt sich für Gleichung (10: dy dn π. (11 c n π exp(yxidy. (1 Nun führen wir noch eine weitere Umbenennung ein. Aus der Definition von y folgt sofort: c n πn y c n (F unktion von y g(y : c n Damit ergibt sich für Gleichung (9 und (1durch ersetzen von g(y c n : 1 π g(y dyg(y exp(yxi. dxf(x exp( yxi Die gewohnten Formen für die Fouriertransfprmation. 3 Die δ F unktion Wir schauen uns nun einmal die die Transformierte für g(y exp( yx 0 i an: dy exp((x x 0 yi 4

5 Falls x x 0 ergibt sich die Stammfunktion leicht. Wir haben noch im Hinterkopf, dass y y(. Außerdem wird durch Gleichung (11 klar, dass lim y( 0 da das n ja fixiert ist. Damit ergibt sich: dx exp((x x 0 yi 1 π lim i exp((x x 0 yi x x 0 i π(x x 0 lim 0y(i exp( (x x 0 y(i] 0. Und für x x 0 ergibt sich: 1 π dx exp((yi 1 π dx Wenn man nun mit der Funktion f(xin Rücktransformation eingeht ergibt sich: g(y exp( yx 0 i ( 1 dx π dy exp((x x 0 yi exp( yxi } {{ } f(xδ(x x 0 dxδ(x x 0 exp( xyi Die Funktion ist also überall 0 von der Stelle x x 0 einmal abgesehen an der sie unendlich ist. Außerdem gilt, dass h(x 0 dxδ(x x 0 h(x. Im Speziellen h(x 1 und wenn die Grenzen die Singularität von f(x beinhalten, was bei ± immer der Fall ist: 1 dxδ(x x 0 Wir haben alle Eigenschaften der δ F unktion welche definiert ist durch: δ(x x 0 dy exp((x x 0 yi Damit wird auch sofot klar, dass die Fouriertransformierten eines cos(ωy oder sin(ωy gleich der Summer zweiter δ F unktionen sind. Wie man leicht sieht (für sin(ωy analog g(y dx 1 (δ(x ω + δ(x + ω exp( yxi cos(ωy ] 5

6 4 Beispiele 4.1 Endliche Periodenlänge Wir betrachten als erstes Beispiel eine Rechteckfunktion. Die Periodenlänge sei. Mit der Funktionsvorschrift: 0 x x + n, x + (n + 1 ] n ±1, ±3, ±5, ±7... f 0 x x + n, x + (n + 1 ] n ±0, ±, ±4, ±6... Wir wollen jetzt die Koefizienten bestimmen: a n 1 dxf(x cos( πn 1 0 dx0 cos( πn f 0 πn sin(πn x x x + 1 ] dxf 0 cos( πn x Für n 0 ergibt sich a 0 f0, da dann cos(0 1 ist. Und nun die b n: b n b n f 0 πn 0 dxf(x sin( πn x dx0 sin( πn x + ] πn cos(πn x n 1, 3, 5, Wenn man die Reihe aufstellt ergibt sich insgesamt: f 0 + n0 f 0 + f 0 0 dxf 0 sin( πn x f 0 (1 cos(πnx πn f sin(π(n x π(n + 1 ( 1 π sin(π x + 1 3π sin(6π x + 1 5π sin(10π x... Hier nun einige Bilder. Es wurde f 0 1und 4 gewählt. Erstaunlich ist wie wenige schritte schon ausreichen um eine gute Nährung zu erzielen. 6

7 Abbildung 1: n 3 Abbildung : n 10 Abbildung 3: n 100 7

8 4. Unendliche Periodenlänge Wir betrachten eine Funktion die aus einem Recheck besteht. Diese ist nicht periodisch bzw. ihre Periodendauer ist beliebig lang. Die Fouriertransformierte ist gleich: f 0 x a, a] 0 sonst g(y dxf(x exp( yxi f 0 yi exp( yxi ] +a a f 0 y +a a dxf 0 exp( yxi sin( ay f 0 y sin(ay Hier noch ein kleiner Plot mit f 0 1 und a.um so breiter das Rechteck ist um so größer wird das Maximum der Transformierten Funktion. Dementsprechend nimmt die Breite bei halber Maximumshöhe ab. Wenn man nun sich x als Ortsraum und p als Impulsraum vorstellt sieht man sofort, dass x y const. ist. Wobei x y die Breiten bei halben maximum sind. Abbildung 4: Funktion f(x 8

9 Abbildung 5: Transformiertes f(x 9