Aufgabe 1 Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes: e z a) f(z) dz = 2πi Res(f, 1) = eπi. Res(f, 1) = (z 1)f(z) =

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 3 Institut für Analysis 73 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuning Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Übungsblatt Aufgabe Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensates: e a) ( )( + 3) d e b) 9 ( )( + 3) d c) e i d ( ) d) exp d e) d mit G : { C : 3 < Re <, < Im < 3} ( )( + )( + i) G e a) Der Integrand f() : besitt in eine einfache und in 3 eine doppelte ( )(+3) Polstelle und ist holomorph auf C \ {, 3} Da innerhalb des Integrationsweges nur die Polstelle liegt, liefert der Residuensat f() d πi Res(f, ) eπi 8, denn für das Residuum von f in gilt Res(f, ) ( )f() e ( + 3) e 6 b) Nun liegen die beiden Polstellen 3 und von f innerhalb des Integrationsweges 9 Deswegen gilt nach dem Residuensat ( ) ( e f() d πi Res(f, ) + Res(f, 3) πi 6 5e 3 ) (e 5e 3 )πi, 6 8 da 9 Res(f, 3) ( d ( ( + 3) f() )) ( ( d e d 3 d )) 3 5e 3 6 ( e ( ) e ) ( ) 3

2 c) Schreibe f() : Der Nenner von f() wird genau dann, wenn kπ mit e i einem k Z gilt Von diesen Punkten liegt nur im Inneren des Kreises Daher ist f() d πi Res(f, ) Nun sieht man anhand der Darstellung f() e i ( + i + (i) + ) i + i +, dass in eine hebbare Singularität von f vorliegt Deshalb gilt Res(f, ) und das Integral hat den Wert d) Sei f() : e Hier liefert der Residuensat f() d πi Res(f, ) Um das Residuum Res(f, ) u berechnen, betrachten wir die Laurententwicklung von f um ( ) ( f() exp exp + ) e e /( ) e k ( ) k ( ) k ; k! der Koeffiient von ( ) lautet e Also ist Res(f, ) e und damit ( ) exp d πi e e) Der Integrand f() : ( )(+)(+i) besitt in,, i jeweils einen Pol erster Ordnung und ist holomorph auf C \ {,, i} Da sich alle Polstellen im Inneren von G befinden, ergibt sich nach dem Residuensat G ( ) f() d πi Res(f, ) + Res(f, ) + Res(f, i) Wir berechnen nun die Residuen von f in den (einfachen) Polstellen Res(f, ) ( )f() ( + )( + i) 3( + i) ( i), 3 Res(f, ) ( + )f() ( )( + i) 3( + i) ( + i), 5 i Res(f, i) ( + i)f() i ( )( + ) i (i + )( i + ) ( + 3i) 5 Hiermit ist G ( f() d πi ( i) 3 5 ( + i) + ) 5 ( + 3i)

3 Aufgabe Zeigen Sie: a) b) x (x +a ) dx π a (a > fest) cos x dx 7π (+x ) 3 6e a) Für C gilt f() : ( + a ) ( + ia) ( ia) Also ist ia ein Pol weiter Ordnung Sei nun r > Sei weiter die Strecke [ r, r] und der Halbkreisbogen auf B r () auf der oberen Halbebene von r nach r Schließlich sei der geschlossene Weg von und nach r, der durch Verbindung von und gegeben ist Nach Blatt, Aufgabe 3 a) gilt d Res(f, ia) lim ia d ( + ia) lim ia ( + ia) ( + ia) ( + ia) ia Der Weg umschließt für r > a den Pol ia Aus dem Residuensat folgt f() d πi Res(f, ia) π a Ferner gilt f() d πr r für r Mit r erhalten wir b) Wir berechnen unächst g() : x (x + a ) dx π a e ix (+x ) 3 dx Für C gilt e i ( + ) 3 e i ( + i) 3 ( i) 3

4 Also ist i ein Pol dritter Ordnung Nach Blatt, Aufgabe 3 a) gilt d ( ) e i Res(g, i) lim i d ( + i) 3 ( ) d (i )e i lim i d ( + i) (ie i + i(i )e i )( + i) (i )e i lim i ( + i) 5 (i e + i( ) e )(i) ( ) e 3i 7 6ie e Seien, und wie in Teil a) Es gilt lim i r d (für einen Beweis (+ ) 3 dau siehe bspw Fischer-Lieb, Funktionentheorie) Nach dem Residuensat gilt also cos x ( + x ) 3 dx πi 7 6ie 7π 6e Dabei wurde in der weiten Zeile verwendet, dass das Integral darüber also verschwindet cos x ( + x ) 3 dx cos x + i sin x ( + x ) 3 dx e ix ( + x ) 3 dx i sin x (+x ) 3 eine ungerade Funktion ist, Aufgabe 3 Sei < a < Berechnen Sie das Integral a) Durch geeignete Substitution b) Mit Hilfe des Residuensates a) Wegen cos t cos(π t) gilt π π a cos t + a dt a cos t+a dt auf wei unterschiedliche Weisen: π a cos t + a dt

5 Für t < π substituieren wir x tan ( ) t Dann ist dt dx und cos t x Es +x +x folgt π a cos t + a dt b) Wegen cos t (eit + e it ) gilt ( a) a x + a +x + x dx ( + a) x + ( a) dx ( a) a + a (+a) x ( a) + dx a lim [arctan s y]s ( π ) a π a y + dy π a cos t + a dt π a(e it + e it ) + a dt a ( + ) + a i d i/a ( a)( /a) d, wobei in der weiten Zeile die Definition des komplexen Kurvenintegrales verwendet wurde Der Integrand hat genau eine Singularität im Einheitskreis, nämlich a Wir beeichnen den Integranden mit f() Da a ein Pol erster Ordnung ist, gilt nach Blatt, Aufgabe 3 a) Res(f, a) lim a ( a)f() lim a Aus dem Residuensat folgt nun Aufgabe π i/a /a i a π dt πi Res(f, a) a cos t + a a a) Sei n gerade Berechnen Sie das Integral b) Sei n 3 ungerade Berechnen Sie abermals dx +x n dx +x n

6 Wir berechnen unächst das Integral für gerade n Anschließend geben wir eine alternative Rechnung an, die sowohl für gerades, als auch für ungerades n ur Lösung führt Sei n gerade Wir seten f() + n Die Singularitäten von f sind die Pole erster Ordnung ζ k+ für k n, wobei ζ : e i π n Wir berechnen die Residuen mit Hilfe von Aufgabe 3 b) von Blatt Res(f, ζ k+ ) n(ζ k+ ) n ζk+ n(ζ k+ ) n n ζk+ Sei r > Sei weiter die Strecke [ r, r] und der Halbkreisbogen auf B r () auf der oberen Halbebene von r nach r Schließlich sei der geschlossene Weg von und nach r, der durch Verbindung von und gegeben ist Die Kurve umrandet ein Gebiet mit den Polen ζ k+ für k n berechnen mit Hilfe des Residuensates n f() d πi Res(f, ζ k+ ) k n n πiζ k ζ k ζn πiζ n ζ n πi ζ ζ n πi i Im(ζ ) ( n π sin π n) Wir Damit ist ferner r r f(x) dx f() d n π ( sin π n f() d ) f() d, f() d πr r für r

7 Mit r erhalten wir f(x) dx n π ( sin π n) Da f auf R eine gerade Funktion ist, erhalten wir schließlich dx + x n π ( sin π n n) Sei nun n N mit n Sete ζ : e iπ/n Es folgt (xζ ) n x n Sei [, r], re iφ für φ π/n und 3 die Strecke von rζ nach Ferner sei + + 3, also die Verbindung der drei Wege Die Funktion + n hat die n Pole erster Ordnung e i(k+)π/n, k n Von diesen Polen liegt nur ζ e iπ/n innerhalb von Mit Aufgabe 3 b) von Blatt berechnen wir für f() + n Res(f, e iπ/n eiπ/n ) neiπ(n )/n ne iπ n eiπ/n Für r > folgt mit dem Residuensat + n d n πiζ Wegen (xζ ) n x n und nach Definition von 3 gilt d ζ 3 + n + n d Lassen wir r gegen gehen, so verschwindet das Integral über und wir erhalten also wie oben ( ζ ) + x n dx n πiζ, + x n dx n πi ζ ζ π ( sin π n n)