Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

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Rudolph Beck
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1 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Funktionentheorie Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 20 PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie -

2 Zusammenfassung Grundlagen Komplexe Funktion f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy = re iϕ Exponentialfunktion e z = e x (cos y + i sin y) Komplexer Logarithmus Ln z = ln r + i(ϕ + 2πk), k Z PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Grundlagen Zusammenfassung Grundlagen 2-

3 Zusammenfassung Differentiation Cauchy-Riemann Differentialgleichungen f komplex differenzierbar: f (z) = f x (z) = if y (z) u x = v y, u y = v x u = v = 0 Isotropie und Winkeltreue Abbildung z w(z) dreht Richtungen um Winkel arg f (z) streckt Längen um Faktor f (z) Orthogonalität krummliniger Gitter bleibt erhalten PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Differentiation Zusammenfassung Differentiation 3-

4 Zusammenfassung Integration Kurvenintegral f dz = b f (z(t)) z (t) dt, C : t z(t), t [a, b] C a Stammfunktion f im Gebiet D komplex differenzierbar, C ein in D verlaufender Weg von z 0 nach z : f dz = f (z ) f (z 0 ) = [f ] z z 0 C PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Integration Zusammenfassung Integration 4-

5 Cauchys Theorem f analytisch in D bis auf endlich viele schwache (hebbare) Singularitäten, C D geschlossene Kurve, homotop zu einem Punkt: f (z) dz = 0 C Cauchysche Integralformel f analytisch f (z) = 2πi Integralformel für Ableitungen f analytisch f (n) (z) = n! 2πi C f (w) w z dw C f (w) dw (w z) n+ PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Integration Zusammenfassung Integration 4-2

6 Mittelwerteigenschaft f (z) = 2π Maximumprinzip 2π 0 f (z + re it ) dt max f (z) max f (z) z D z D PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Integration Zusammenfassung Integration 4-3

7 Zusammenfassung Potenzreihen Taylor-Reihe f analytisch in D : z a < r f (z) = c n (z a) n, c n = f (n) (a) n! n=0 Konvergenzradius r: Abstand zur nächsten Singularität ( r = ) lim c n /n n Laurent-Reihe f analytisch in D : r < z a < r 2 f (z) = c n (z a) n, c n = 2πi n= C f (w) dw (w a) n+ Konvergenzgebiet: maximaler Kreisring um a ohne Singularitäten r, r 2 : Abstand der begrenzenden Singularitäten zu a ( ) r = lim c n /n, r 2 = lim c n /n n n PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Potenzreihen Zusammenfassung Potenzreihen 5-

8 Zusammenfassung Residuum Residuum f analytisch in D \ {a}, C D entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um a Res f (z) = f (z) dz a 2πi einfache Polstelle: Pol n-ter Ordnung: Res f = lim a z a (n )! Res a C f = lim z a (z a)f (z) ( ) d n ( (z a) n f (z)) dz Residuensatz C entgegen dem Uhrzeigersinn orientierter Rand eines beschränkten Gebietes D, a j Singularitäten von f in D: f (z) dz = 2πi Res f a j j C PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Zusammenfassung Residuum Zusammenfassung Residuum 6-

9 Klausuraufgabe Griesemer H09 Für welche α > 0 ist u(x, y) = 2 log(x 2 + αy 2 ) x < 0, y R Realteil einer analytischen Funktion f = u + iv? Bestimmen Sie für diese α die Funktion v in Abhängigkeit von x und y. PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Differenzierbarkeit Klausuraufgabe Griesemer H09 7-

10 Lösung Erinnerung Eine Funktion u : G C ist genau dann Realteil einer analytischen Funktion f = u + iv auf einem Gebiet G R 2, wenn u eine harmonische Funktion auf G ist, d.h. es gilt u = 2 x u + 2 y u = 0 für alle x, y G. u(x, y) = 2 log(x 2 + αy 2 ) Berechnung der Ableitungen: [ ] x 2 x u = x x 2 + αy 2 = x 2 + αy 2 2x 2 (x 2 + αy 2 ) 2 = x 2 + αy 2 (x 2 + αy 2 ) 2 [ ] y 2 αy u = y x 2 + αy 2 = αx 2 + α 2 y 2 2α 2 y 2 (x 2 + αy 2 ) 2 = αx 2 α 2 y 2 (x 2 + αy 2 ) 2 PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Differenzierbarkeit Lösung 8-

11 Bestimmung von α: 0! = 2 x u + 2 y u = (α )x 2 + (α α 2 )y 2 (x 2 + αy 2 ) 2 α = Bestimmung von v für α =. Cauchy-Riemann-DGL: v y! = v = z:= y x = x u = x x 2 + y 2 u x = x x 2 + y 2 x x 0 x 2 dy = + y 2 x + ( ) y 2 dy x ( y ) + z 2 dz = arctan z + C = arctan + C(x) x PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Differenzierbarkeit Lösung 8-2

12 2. Cauchy-Riemann-DGL zur Bestimmung von C(x): v x = + ( y ) y 2 x 2 + C (x) = Insgesamt ergibt sich x y x 2 + y 2 + C (x) =! u y = y x 2 + y 2 C (x) = 0 C(x) = c R v(x, y) = arctan ( y x ) + c, c R. PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Differenzierbarkeit Lösung 8-3

13 Interaktive Aufgabe 465 a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung der Funktion f (z) = z 2 + z. b) Zum Entwicklungspunkt z = gibt es zwei Laurent-Reihen. Bestimmen Sie die beiden Laurent-Reihen und ihr jeweiliges Konvergenzgebiet. PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Laurent-Reihen Interaktive Aufgabe

14 Lösung I465 a) Partialbruchzerlegung f (z) = z(z + ) = A z + B z + = A(z + ) + Bz Konvergenzmethode: Mit z = folgt B =, z = 0 liefert A = f (z) = z z + b) nächste Singularität: z = 0 Konvergenzgebiete: 0 < z + < bzw. < z + <. Gebiet : 0 < z + < : z = (z + ) = (z + ) = (z + ) n n=0 PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Laurent-Reihen Lösung I465 0-

15 f (z) = z + + z = z + (z + ) n = Gebiet 2: < z + < : n=0 (z + ) n n= z = = (z + ) = n= ( ) n z + z + z+ = z + n=0 ( ) n z + f (z) = z + + ( ) n = z + n= 2 n= (z + ) n PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Laurent-Reihen Lösung I

16 Aufgabe 806 Berechnen Sie mit Hilfe komplexer Integration. dx (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ), a, b > 0, PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Reelles Integral Aufgabe 806 -

17 Lösung A806 f (z) = (z 2 + a 2 )(z 2 + b 2 ) hat Pole bei z,2 = ± ai, z 3,4 = ± bi Integrationswege Residuensatz C (t) = t, t [ R, R), C 2 (t) = Re it, t [0, π) C C 2 f (z) dz = 2πi Im z k >0 Abschätzung des komplexen Kurvenintegrals f (z) dz L(C 2 ) max f t [0,π) (Reit ) C 2 Res z k f. = πr max t [0,π) R 2 e 2it + a 2 R 2 e 2it + b 2 πr (R 2 a 2 )(R 2 b 2 ) 0 R PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Reelles Integral Lösung A806 2-

18 Somit f (x) dx = 2πi Im z k >0 Res f z k. Fall: a b z,..., z 4 sind einfache Polstellen ( Residuen f (x) dx = 2πi Res f = lim (z ai)f (z) = lim ai z ai Res f = bi f (x) dx = 2πi i 2b(b 2 a 2 ) i 2(a 2 b 2 ) Res ai z ai ( a ) = b ) f + Res f bi (z + ai)(z 2 + b 2 ) = i 2a(a 2 b 2 ) π(a b) ab(a 2 b 2 ) = π ab(a + b) PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Reelles Integral Lösung A

19 2. Fall: a = b z,2 = ± ai sind Pole 2. Ordnung Residuum Res f = lim ai z ai f (x) dx = 2πi Res f ai d dz [(z ai)2 f (z)] = lim z ai 2 (z + ai) 3 = 2 (2ai) 3 = 4a 3 i Insgesamt f (x) dx = 2πi 4a 3 i = π 2a 3 PV-Kurs HM 3 Funktionentheorie Reelles Integral Lösung A

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