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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 17 Dr. Hanna Peywand Kiani Klausurberatung Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten Dateien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen können diese Unterlagen irreführend sein. Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Die Aufzählung wichtiger Themen bedeutet NICHT den Ausschluss anderer Themen für die Klausur. Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! 24 Punkte!

2 Häufigste Themen der letzten Klausuren Komplexe Differenzierbarkeit Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Kartesisch Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen polar Passende Aufgaben: B3-P1, B3-H1, H2, Isolierte Singularitäten, Residuen bestimmen (meist Nennernullstellen) Klassifikation (hebbar/pol/wesentlich) Residuen berechnen Passende Aufgaben: B5-P1,P2, B5-H1, B6-P1, 2

3 Kurvenintegrale direkt oder mit Stammfunktion, B4-P1a, Cauchy-Integralsatz (CIS), Cauchy-Integralformel (CIF) B4-P1b, B4-P2, B4-H1)a)i, H1)b) Residuensatz, B6-P2, B6-H1,H2 Laurent-Reihen/PBZ über geometrische Reihen über PBZ und geometrische Reihen über Reihen elementarer Funktionen Passende Aufgaben: B4-H2)a), B5-P1,P2, B5-H2 3

4 Uneigentliche reelle Integrale : B6-P2: Funktion h, B6-H1 Bilder gegebener Teilmengen von C z.b. Ringe, Streifen, Sektoren, Rechtecke, etc. unter gegebenen elementare Funktionen z.b. az + b, 1 z, zk, exp(z), ln(z). Skizzen Passende Aufgaben: B1-P1,P2, B1-H1 (aber mit gegebener Funktion), B2-H1 4

5 Möbius-Transformation Bilder von Geraden und Kreisen Kreissymmetrie! Bilder von Teilmengen, die von Kreisen/Geraden begrenzt werden Passende Aufgaben: B2-P1,P2, B2-H2, B3-P2 5

6 Blatt 0: P1, P2 : polar kartesisch P3, P4: Geometrische Bedeutung von Betrag, konjugiert, Real- und Imaginärteil. Blatt 1: P1: Beschreibung geometrischer Gebilde Geometrische Bedeutung von Multiplikation, 1/z Potenzen, Bilder von Mengen P2: Bild eines Rechtecks unter gegebener Funktion, exp H1: Streifen auf Keil abbilden, f gesucht H2a: cosh 6

7 H2b: Elementare Gleichungen lösen Blatt 2: P1: Standard Möbius-Transformation P2: Dreipunktformel, Kreissymmetrie H1: Bild gegebener Menge bei gegebenem f (ln, 2, Drehung) H2: Möbius Blatt 3: P1: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Kartesisch, Konjugiert harmonische Funktionen P2: Möbius-Transformation: 2 Kreise auf Ring, Symmetrie zu 2 Kreisen, 7

8 H1: Cauchy-Riemannsche-DGL polar H2: Bild gegebener Menge unter gegebnen Funktionen, Differenzierbarkeit prüfen Blatt 4: P1a: Kurvenintegrale direkt oder mit Stammfunktion P1b und P2: CIS, CIF inzwischen: ggf. Residuensatz verwenden H1a,c: CIS/CIF bzw. inzwischen Residuensatz H1b: Maximumprinzip H2a: Geometrische Reihe! H2b: Konvergenzradien von Taylor-Reihen 8

9 Blatt 5: P1, P2: isolierte Singularitäten, Klassifikation, Laurent-Reihe über geometrische Reihen H1: isolierte Singularitäten, Klassifikation, H2: Laurent-Reihen Blatt 6: P1: isolierte Singularitäten, Klassifikation, Residuen, P2: Integrale über Residuensatz über geschlossene Kurven uneigentliches Integral rationale Funktion. H1: uneigentliches Integral rationale Funktion sin(ωx) H2: rationale Funktion in cos, sin über [0, 2π]. 9

10 Aufbau der Klausur/ 20/ 24 Punkte 10

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