Anleitung zu Blatt 1 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe /3 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung zu Blatt Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Funktionen f : R n R Höhenlinien, Gradienten, etc. Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! Organisation / Anleitung : Hanna Peywand Kiani Infos/ Lehrmaterial unter oder Vorlesungen > Analysis III bzw. DGL I wählen. Dort erscheint - Kontakt - Gruppen - Zeitplan - Lehrmaterial - Klausuren Unter Lehrmaterial findet man Vorlesung/Übung(slösungen)/Anleitung. ********************************************************************** Analysis III (ANA) / Differentialgleichungen I (DGL) Vorlesungen: wöchentlich Übungen: im wöchentl. Wechsel DGL/ANA Hausaufgaben im Netz, Beantwortung der Fragen zu den Hausaufgaben und Bearbeitung der Präsenzaufgaben in Kleingruppen Anleitungen: im wöchentl. Wechsel ANA/DGL : Brücke zwischen Vorlesung und Übung Klausur: modular DGL / ANA, Aufgaben wie Übungen Matlab: Sehr nützlich in Mathe III und später für Sie! Problem ANA III: Anleitung vor Vorlesung

2 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt f(x,y)=exp( x y ) surf(x,y,z).5 contour(x,y,z,3) Veranschaulichung von Funktionen f : R R Gegeben: Funktion f : D R, D R. Beispiele: Temperatur an einzelnen Punkten einer Herdplatte, für ein Stück der Erde (näherungsweise eben, also Erdkrümmung vernachlässigt) Höhe über dem Meeresspiegel oder Luftdruck. Veranschaulichung Als Fläche (x,y,f(x,y)) T R 3 (Modell einer Landschaft) oder Mit Hilfe von Höhenlinien = Kurven auf denen f konstant ist (Isobaren in der Wetterkarte, Äquipotentiallinien) Beispiel: z = f(x,y) = exp( (x + y )), Höhenlinien: exp( (x + y )) = K also Funktionswert konstant (x + y ) = ln(k) =: c. Also x + y konstant. x + y = Euklidischer Abstand (-Norm) des Punktes ( x y) von Null. Die Punkte einer Höhenlinie liegen also auf Kreisen um Null.

3 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt Ausgewählte MATLAB Befehle Achtung: in neueren MATLAB Versionen gibt es die sogenannten ez-befehle, zum Beispiel ezsurf, ezplot etc. Informieren Sie sich bei Bedarf mittels help ezsurf, help ezplot, etc. Ziel: Veranschaulichung bzw. Auswertung einer Funktion z = f(x, y) auf einem x, y Gitter mit x bzw. y Unterteilung : x : x,x +h,x +h,,x n hier x =, h =, x n = y : y,y +k,y +k,,y m hier y =, k =, y m = Beispiel : z = f(x,y) = 4x +9y. MATLAB Befehle: >> x=[- : : ] ; Hier wird ein x bzw. ein >> y=[- : : ] ; y-vektor erzeugt Die Funktionswerte sollen für jede Kombination der x, y Werte berechnet und geplottet werden. Das geht am einfachsten mit: >> [X,Y]=meshgrid(x,y); Hier wird ein Gitter von x,y-werten erzeugt (siehe Bild) Funktionsauswertung: >> z = 4*X.*X + 9*Y.*Y; Beachten Sie die Vektoroperation :. Die Operation wird in jedem Punkt des Gitters durchgeführt.

4 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt 4 Veranschaulichung als Netz Befehlsfolge: >> hold on x=[- :. : ]; ß y=[- :. : ]; [X,Y] = meshgrid(x,y); z=4*x.^ + 9*Y.^; mesh(x,y,z) Veranschaulichung als Fläche Befehlsfolge: >> hold on x=[- :. : ]; y=[- :. : ]; [X,Y] = meshgrid(x,y); z=4*x.^ + 9*Y.^; surf(x,y,z) Höhenlinien a) contour(x,y,z,3) : Es werden 3 Höhenlinien gezeichnet b) Die Befehlsfolge >>cs=contour(x,y,z,); >>clabel(cs, manual ); bewirkt das plotten von Höhenlinien, die man mit der Maus anfahren kann. An den angeklickten Höhenlinien werden die Werte von f angegeben. In unserem Beispiel bleibt zunächst der mittlere Bereich des Bildes leer. Die Höhenlinie zu wurde nachträglich eingefügt (s.unten).

5 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt c) Der Befehl >> contour(x,y,z,[.5.5]); Bewirkt das Zeichnen der Höhenlinie C := { (x y ) } : f(x,y) =. Stetigkeit und Differenzierbarkeit Frage: Wie ändern sich die Funktionswerte, wenn ich an einer oder an mehreren Variablen wackle? Gegeben: Funktion f : D R, D R n f heißt stetig in x D für jede Folge (x k ) k N aus D lim x k = x = lim f(x k ) = f(x). k k f heißt stetig (in D) f stetig in jedem Punkt aus D. f heißt partiell differenzierbar nach x j in x D, wenn x x. f(x +he j ) f(x) x lim = lim f j f h h h h x j +h x j+. x n x x. x j x j x j+. x n

6 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt 6 existiert. Im Falle der Existenz heißt der obige Wert partielle Ableitung von f nach x j =: f x j (x) =: f xj (x) f heißt partiell diff.bar, wenn f nach allen Komponenten x,...,x n part. diff.bar ist. f heißt stetig partiell diff.bar, wenn alle f xj, j =,...,n stetig sind. Beispiel f(x,y,z) := xy cos(z) = f x (x,y,z) = y cos(z), f y (x,y,z) = xycos(z), f z (x,y,z) = xy ( sin(z)) Im Falle der Existenz wird der Vektor der part. Ableitungen Gradient von f genannt. Oder mit HIlfe des Differentialoperators In unserem Beispiel also grad f(x) := (f x (x),,f xn (x)) T = f(x,...,x n ). grad f(x) = (y cos(z), xycos(z), xy ( sin(z)) T. und z. B. grad f(,,) = (,, ) T. Und was heißt das? Wenn ich vom Punkt (,,) T ausgehend den Wert von y = um y verändere, ändert sich der Funktionswert in erster Näherung um y, während eine Veränderung von x = auf x = + x in erster Näherung zu einer Veränderung der Größe x in dem Funktionswert führt. ACHTUNG: Die partiellen Ableitungen sagen etwas darüber aus, wie sich die Funktionswerte in einem Punkt ändern, wenn man an einer Koordinate dieses Punktes wackelt. Sie sagen nichts darüber aus, was passiert wenn man an mehreren Koordinaten gleichzeitig wackelt. Beispiele: Wirkstoffe in Medikamenten: auch wenn leichte Veränderungen der Dosierung jedes einzelnen Wirkstoffes keine gravierenden Änderungen im Wohlbefinden der Patienten ergeben, kann eine gleichzeitige Änderung mehrere Wirkstoffe katastrophale Folgen haben. Oder: Wenn man an einer Konstruktion mit vielen Schrauben jede einzelne Schraube etwas lockern kann, ohne dass etwas passiert, heißt das noch lange nicht, dass ich alle Schrauben gleichzeitig lockern kann, und es passiert immer noch nichts. Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt nicht einmal die Stetigkeit! (siehe Vorlesung)

7 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt 7 Veranschaulichung bei m=: Hefte an Punkten (x, y) Vektoren in Richtung und Länge von gradf(x,y) an. ) Beispiel: f(x,y) = exp(xy) = e xy = f(x,y) = e xy (y Veranschaulichung mit Matlab x hold off x=[-. :.5 :.9]; y=[-. :.5 :.9]; [X,Y] = meshgrid(x,y); % x-vektor % y-vektor % x-y-gitter z= exp(x.*y); % Funktionsauswertung contour(x,y,z,3) % 3 Höhenlinien erzeugen hold on [px,py] = gradient(z); % Berechnung des Gradienten quiver(x,y,px,py) % In (X,Y) wird der Vektor % (px,py) angeheftet..5 Höhenlinien und Gradientenfeld von e xy

8 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt 8 Tangentialebene an f in x. Sei f jetzt eine beliebige in (x,y ) D differenzierbare Funktion f : D R, D R. Dann wird durch z(x,y) : = f(x,y )+ gradf(x,y ) (x x ) = f(x,y )+f x (x,y )(x x )+f y (x,y )(y y ) eine Ebene im R 3 definiert. Diese schmiegt sich an die Fläche (x,y,f(x,y)) T an und heißt Tangentialebene an f in x. Wie im eindimesionalen Fall ist eine Funktion genau dann diff.bar, wenn sie lokal hinreichend gut durch eine Lineare Funktion approximiert werden kann x=[- :. : ]; t=[- :. : ]; [X,Y] = meshgrid(x,t); z=4-x.*x-y.*y; % f(x,y)= 4-x^-y^ hold on tz=-*(x-)-*(y-); %Tangentialebene im Punkt (,,) mesh(x,y,tz) surf(x,y,z)

9 Anleitung Analysis III, Hanna Peywand Kiani, WiSe /3, Blatt 9 Ableitungen höherer Ordnung Ist f partiell diffbar. auf einer offenen Menge D, so kann man versuchen die partiellen Ableitungen erneut partiell abzuleiten. Beispiel: f(x,y,z) := xy cos(z). Mit f x (x,y,z) = y cos(z), f z (x,y,z) = xy ( sin(z)), f y (x,y,z) = xycos(z) Damit erhalten wir zum Beispiel x f y(x,y,z) =: f yx (x,y,z) = ycos(z) y f y(x,y,z) =: f yy (x,y,z) = xcos(z) z f y(x,y,z) =: f yz (x,y,z) = xysin(z) Insgesamt erhält man 9 sogenannte zweite Ableitungen, die man zur Hessematrix von f zusammenfasst: f xx f xy f xz gradf x (x) T Hf(x) := f yx f yy f yz (x) = gradf y (x) T f zx f zy f zz gradf z (x) T f -mal stetig diff.bar = Hf symmetrisch. Schreibweise : f xx = x f xy = y x f = x f = y x f ( ) f = f x x