Anleitung 1 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Department Mathematik der Universität Hamburg SoSe 009 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung 1 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Komplexe Zahlenebene, Elementare Funktionen Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Komplexe Zahlenebene z C : z := x + iy, x, y R, i = imaginäre Einheit x =: Re z, y =: Im (z) z := Abstand zu 0 + i 0 = Länge des Ortsvektors = r := x + y. Polarkoordinaten: x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ), z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = re iϕ Denn wegen i 4 = (i ) = ( 1) = 1 gilt i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+ = 1, i 4k+3 = i. Damit erhält man

3 exp(iy) = = = k=0 k=0 l=0 (iy) l l! ( y 4k (4k)! = (( 1) k yk l=0 i l y l l! y4k+ (4k + )! (k)! ) ) + i + i k=0 ( ) y 4k+1 (4k + 1)! y4k+3 (4k + 3)! k=0 (( 1) k yk+1 (k + 1)! = cos(y) + i sin(y). bekannte Taylorreihen aus Analysis I Die Funktion e iφ, φ R ist also periodisch! Einheitskreis: K 1 := {z C : z = re iϕ, r = 1 } = {z C : z = e iϕ, ϕ [0, π)} Beispiele: i = e iπ = i = e iπ = 1. ) 3

4 Konjugiertkomplexe Zahl, Betrag: z := x iy Geometrisch : Spiegelung an der reellen (x)-achse z = x + y = (x + iy)(x iy) = z z. Geometrisch : Abstände Beispiele: z 5 = 1, z + + i = 3, z i = z 1 Kreis mit Radius 1 um 5, Kreis mit Radius 3 um --i, Mittelsenkrechte auf die Verbindung von i un 1. 4

5 Argument z = re iϕ = ϕ =: Argument von z. z = x + iy : Argument nur bis auf Vielfache von π bestimmt, denn re iϕ = re i(ϕ+kπ) k Z {arg z} := Menge aller Argumente von z arg(z) := irgendein Argumente von z Arg (z) := Hauptwert von Argument z, festgelegt durch zusätzliche Bedingung i.d.r. ϕ ] π, π[ (Hauptwert) arg(0) ist nicht definiert! 5

6 Multiplikation im R C Im R gibt es keine Multiplikation v,w R,v w R, nur w.v :=< w,v > R, Av R, A R In der komplexen Zahlenebene (a+ib)(x+iy) = ax+iay+ibx+i by = (ax by)+ i(ay+bx) C Division: z 1 z := z 1 z z z 6

7 Geometrische Interpretation der Multiplikation: 1. Fall: a R +, z := re iϕ C z az = are iϕ : Streckung (Stauchung) um Faktor a.. Fall: c = e iα C, z := re iϕ C z cz = re i(ϕ + α) : Drehung um Winkel α. 3. Fall: c = ae iα C, z := re iϕ C i(ϕ + α) z cz = are : Drehstreckung. Beträge werden multipliziert. Argumente werden addiert. Beispiel: Geometrische Lösung von Re ((1 + i) z ) = 0 (Klausur 005) 7

8 Geometrische Interpretation der linearen Funktion f(z) = cz + d Drehstreckung + anschliessender Verschiebung Streckung ist in alle Richtungen gleich! Unterschied zu linearen Abbildungen im R : zum Beispiel : v ( 1 ) v Streckung um 1/ in x-richtung und um 3 in y-richtung 8

9 A = ( ) = A ( ) 0 1 = ( ) 1 1 A ( ) 1 0 = ( ) 1 0 Winkel zwischen Urbildern = π, Winkel zwischen Bildern = π 4. Bei der komplexen Multiplikation c z wird nur gedreht und gestreckt. Winkel bleiben erhalten! Lineare Funktionen in C können viel weniger als lineare Funktionen in R Zur Erinnerung: Differenzierbarkeit= hinreichend gute Approximierbarkeit durch lineare Funktionen Differenzierbarkeit in C : viel mehr als Differezierbarkeit im R! 9

10 Lokal: f(z) az + b =: u(x,y) + iv(x,y) Im R : f ( ) x y Drehstreckung im R : A = = ( ) u(x,y) v(x, y) ( ) x y A = J f(x,y) = ( ) x y mit ( ) k cos(α) k sin(α) k sin(α) k cos(α) ( ) ux u y v x v y Später: Diffbarkeit in C : u x = v y, v x = u y (Cauchy-Riemannsche DGL n). 10

11 Natürliche Potenzen/Wurzeln Beispiel 1: z = re iϕ = z n = r n e inϕ n z = n r e i ϕ n? VORSICHT!! z = i z = i = e iπ z = r e iϕ = 1 e iπ r = 1 ϕ = π + kπ Anschaulich: z liegt auf dem Einheitskreis und wenn man den Winkel zu z verdoppelt landet man in i. ϕ = π 4, π 4 + π,, π 4 + kπ, Die ersten beiden werte von ϕ liefern zwei verschiedene Punkte der komplexen Zahlenebene. 11

12 ( ) ( ) 1 Beispiel : + i 3 z 4 = i 3 ( ) 1 Kartesisch: z 4 + i 3 = 16 ( ) 1 + i 3 ( ) ( ) 1 z 4 = 16 z 4 = i 3 ( 1 + i 3 i 3 )( 1 i 3 ( ) i i ( ) 3 = 16 spätestens hier : Übergang zu Polarkoordinaten ) ( ) 1 + i 3 1

13 Besser: gleich polar: ( ) i z 4 = }{{} cos( π 3 )+isin(π 3 ) ( 1 ) 3 + i 16 }{{} cos( π 3 )+isin(π 3 ) e iπ 3 z 4 = 16e iπ 3 z 4 = 16e iπ 3 z 4 = z 4 = 16 z = {arg (z)} = { π 1, π 1 + π 4, π 1 + 4π 4, π 1 + 6π 4, } Vier verschiedene Punkte der komplexen Zahlenebene. 13

14 Beispiel 3: w := z 1 6, z = re iφ Für z = 1 gilt sicher 1 6 = 1 also 1 = Aber auch ( e iπ 3) 6 = e i 6π 3 = e πi = 1 und analog ( e iπ 3 ) 6 = ( e i3π 3 ) 6 = ( e i4π 3 ) 6 = ( e i5π 3 ) 6 = 1. Es gibt 6 verschiedene Punkte der Kopmlexen Ebene mit z 6 = 1. Eindeutigkeit erreicht man mit dem Hauptzweig: w := z 1 6,= w e iα, α ] π 6, π 6 [. 14

15 Allgemein: n N, z = re iφ, w := z 1 n w = z 1 n e i(φ n +kπ n ) k = 0,1,,,n 1 n paarweise verschiedene Punkte der C Ebene Hauptwert : π < φ < π, z 1 n = z 1 n e i(φ n ) 15

16 Hinweise zu Aufg. : Re (z) = 1 (z + z), Im (z) = 1 i (z z). Für c C und R R; R 0 gilt Kreis: z c = R (z c)(z c) = R (z c)(z c) = R zz zc cz + cc = R Bestimmung von Bildmengen: f : D C; f(z) = w Oft hilft: in die D beschreibende Formel für z den Ausdruck f 1 (w) zu setzen. 16

17 Beispiel: w = f(z) := z 1, D := {z C : z i = } 1 w i = ( ) ( ) 1 1 w i w i = ( ) ( ) 1 1 w i w + i = 1 w w i w + i w + 1 = w w iw + iw + 1 = w w w w + iw iw 1 = 0 w w + iw iw + 1 = D.h. w liegt auf Kreis um i mit Radius. Vorsicht: hier haben wir es mit einer besonderen Konstellation zu tun. I. d. R. werden Kreise durch die Abbildung 1 z nicht auf sich selbst 17

18 abgebildet. Wir suchen also w mit w i =. w i ( = w i ) (w i) = ( ) ( ) w e iπ w e iπ ( ) ( )( ) ( ) = w e iπ 4 w + e iπ 4 w e iπ 4 w + e iπ 4 ( ) ( ) ( ) = w e iπ 4 w e iπ 4 )(w ( e iπ 4 ) w ( e iπ 4 ) ( (w ) = w e 4) ( ) iπ e i (w π 4 w ( e iπ 4 ) ( e i π 4) ) = w e iπ 4 w ( e iπ 4 ) = 18

19 Abbildung 1: Bild von z i = unter f(z) = 1 z 19

20 Exponentialfunktion: z = x + iy = re iϕ exp(z) := k=0 z k k! = ex+iy = e x e iy = e x (cos(y) + isin(y)) e z = e Re (z), arg (e z ) = Im (z) Beispiel: Lösungen von (e z ) = 5i (e z ) = e z = e x+iy = 5i! (e z ) = e x = 5 e x = 5 x = ln(5). arg ((e z ) ) = y = arg ( i) y = 1 ( ) kπ π 0

21 Veranschaulichung: Bild vom Koordinatennetz A) z = x 0 + iy mit x 0 fest y R e x 0+iy = e x0 e iy : Betrag fest, Argument läuft Bild: unendlich oft durchlaufener Kreis mit Radius R x0 = e x 0 Streifen parallel zur y Achse Ring Abbildung : Exponentialfunktion 1

22 B) z = x + iy 0 mit y 0 fest x R e x+iy 0 = e x e iy 0 : Betrag läuft, Argument fest Bild: Strahl mit Winkel α = y 0 Streifen parallel zur x Achse Sektor Abbildung 3: Exponentialfunktion

23 Umkehrung der Exponentialfunktion: z = x + iy = z e iϕ, w = exp(z) = e z e z = w = u + iv = e x e iy = w = e x, = x = ln( w ) reeller Logarithmus y {arg (w)} arg (w) = y nicht eindeutig, für 0 nicht definiert Definiere z C \ {0} den komplexen Logarithmus log w = {ln w + i(α + kπ) : k Z, α {arg (w)}} Beispiel: log(1) = log(e 0 i ) = {ln 1 + i(0 + kπ) : k Z } = {ikπ : k Z} 3

24 Hauptzweig/Hauptwert der Logarithmus Funktion z = re iφ, π < φ < π Log (z) = Ln(z) = ln z + iφ definiert auf C ohne R ohne Null : geschlitzte komplexe Zahlenebene Bemerkung: naive Anwendung der Rechenregeln aus R liefert: Log (re iφ ) = Log (r) + Log (e iφ ) = ln(r) + iφ. 4

25 VORSICHT: a := e i 3 π, b := e i3 4 π = a b = e i17 1 π = e i 7 1 π Log (a) = ln() + i 3 π Log(b) = ln(1) + i 3 4 π Log (a) + Log (b) = ln() + i 17 1 π Log (a b) = ln() i 7 1 π Im Allg. also Log (a b) Log (a) + Log (b) 5

26 Allgemeine Potenzen: Seien a := a e iα 0, b C, α ( π, π) Definiere a b = {(e log(a) ) b } = {e b(ln a +iα+ikπ ) } Hauptwert : π < α < π a b b(ln a +iα) = e b C Speziell für n N: und für a R + a n = e n(ln a +iα) = a n e inα a b = e b(ln a +i 0) = a b e 0 = a b wie gehabt 6

27 Beispiel: Gegeben sei die Funktion f : z z i (Hauptwert) und der Kreisringsektor: [ z = re iφ ; φ 0, π ] ], r [e π,1. 4 Bestimen Sie die Bilder a) der Strahlabschnitte z = re iφ 0,φ 0 fest, b) der Kreisabschnitte z = r 0 e iφ,r 0 fest, c) des ganzen Sektors, d) der vier Eckpunkte des Sektors? 7

28 Skizzieren Sie jeweils Bild und Urbildbereiche. [ z z i z = re iϕ ϕ 0, π ] r [ e π 1 ] 4 z i = e Log (z) i = e (Log z +iarg z)i = e arg (z) Log z i e arg (w) = Log z, arg (z) w = e a) arg (z) = φ 0 = w = e φ 0 fest (Kreisabschnitt) arg (w) [ Log ( e π/),0 ] = [ π,0] b) z fest = arg (w) = Log z fest (Strahlabschnitt) w = e arg z [ e π/,1 ] 8

29 c) Nach b) arg (w) [ π,0] Nach a) w [ e π/,1 ] Bild ist ein Halbring mit Innenradius e π/ und Außenradius 1. d) f ( e π/) = e iπ = 1 f(1) = e 0 = 1 f ( e π/ e iπ/4) = e π/ e i( π/) f ( 1 e iπ/4) = e π/ e 0 9

30 Potenzreihen: mit r := lim bzw. r := ( lim sup k k Konvergenz für Divergenz für a k (z z 0 ) k a k R, z 0 =Entwickl.pkt. (falls dies existiert) 1 ak ) k=0 a k a k+1 keine Aussage für Geometrische Reihe k z z 0 < r z z 0 > r z z 0 = r k=0 z k konvergent genau dann, wenn z < 1. 30

31 Beispiele: z = (z i) k k=0 k=0 k (z + 1 i)3k k + 31