Anleitung 3 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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Claus Braun
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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung 3 Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Elementare Funktionen.Teil stereographische Projektion und Möbius-Transformation Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) Beispielaufgabe: Geben Sie eine Funktionsvorschrift f : M S, z f(z) an, die M := {z C; z < R, Re(z) > } für ein festes R R + so auf den Halbstreifen S := {z C; < Re(z) <, Im(z) > } abbildet, dass die Symmetrie des Urbildes bzgl. der reellen Achse in eine Symmetrie des Bildes bzgl. der imaginären Achse übergeht und f(r) = i gilt. Zur Erinnerung: wir können bereits Schieben : Addition Drehen / Strecken : Multiplikation Sektoren vergrößern/verkleinern : Potenzieren Streifen Ring : exp bzw. Log Streifen Sektor : exp bzw. Log exp(z) = e x+iy = e x (cos(y)+isin(y)), e z = e Re(z), arg(e z ) = Im(z) lnz = ln z + i(ϕ), z = re iϕ C \ {}, ϕ ],[ Abbildung : Streifen parallel zur y Achse Ring

3 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) Abbildung : Streifen parallel zur x Achse Sektor Zurück zur Aufgabe: M := {z C; z < R, Re(z) > } S := {z C; < Re(z) <, Im(z) > }. Schritt) Log. bildet Kreis auf Streifen Definiere f (z) := ln(z) = ln( z )+iarg(z). f : M S, S = {w C : < Re(w) < ln(r),} < Im(z) < } Damit haben wir schon einen Halbstreifen. Dieser muss noch gedreht, gestaucht und verschoben werden.. Schritt) Drehung um f (z) := e i f (z) = i f (z). f : M S, S = {w C : ln(r) Im(z) <,} < Re(z) < } 3. Schritt) Stauchen um Faktor f 3 (z) := f (z). f 3 : M S 3, S 3 = {w C : } ln(r) Im(z) <, < Re(z) < Der Halbstreifen hat jetzt die richtige Orientierung und die richtige Breite. Wir schieben

4 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 4 ihn noch in die Richtige Position: Im(z) >. 4. Schritt) Schieben ( ) f 4 (z) : = f 3 (z) + ln(r)+ i ( = ln(r) ) ln(z) + i. = ( ln(r) (ln( z )+i arg(z)) +)i ( = ln(r) ) ln( z )+ i+ arg(z) f 4 : M S. Symmetrie: gefordert Ref( z) = Ref(z), Imf( z) = Imf(z). f 4 (z) = ( ln(r) ln( z )+)i+ arg(z). f 4 ( z) = ( ln(r) ln( z )+)i+ arg( z). also Re (f 4 ( z)) = Re (f 4 (z)) und Im (f 4 ( z)) = Im (f 4 (z)). Vorgegebener Funktionswert: f 4 (R) = ( ln(r) ) ln(z) + i.

5 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 5 Möbius-Transformation: T : z az +b, ad bc, c cz +d Zur Untersuchung dieser Funktionen betrachte die stereographische Projektion: S := die Oberfläche der Einheitskugel im R 3 = Riemannsche Zahlenkugel S := X = (X, X, X 3, ) R 3 : X = wird auf die Ebene (X, X ) abgebildet und diese wiederum wird mit C := C identifiziert. Nordpol der Kugel =: N = (,,) T.5 N Abbildungsvorschrift: bestimme den Schnittpunkt (x,y) T der Geraden durch X und N mit der X, X Ebene bzw. mit C. Identifiziere X mit x+iy. Bijektive Abbildung P : C S \{N} Durch die Festlegung P (N) =: erhält man eine bijektive Abbildung P : C S. Rechenvorschrift: z = x+iy = X + i, X 3 X 3 ( ) x y X = +x +y +x +y, +x +y, = +x +y Gerade in C Kreis auf S der durch N geht. Ebene durch N geschnitten mit Kugeloberfläche S Kreis in C Kreis auf S der nicht durch N geht. Kegel mit Spitze in N geschnitten mit Kugeloberfläche S X ( z + z + z, i ) z z z + z, + z Verallgemeinerte Kreise (= Kreise oder Geraden )werden auf verallgemeinerte Kreise abgebildet.

6 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 6 Beispielaufgaben: A)Essei X dassphärischebildvon z = x+iy.bestimmensiedassphärischebildvon z. B) Bestimmen Sie das Bild des Großkreises X + X 3 = unter der stereographische Projektion. (Klausur 4 Struckmeier/Rothe) Zu A) Es gilt: X = Wir suchen also: ( + z z +, i z z z z +, z z ( z + z ) + z, i z z z + z, + z ) z z + z z = Zu B) Sowohl N als auch der Großkreis X +X 3 = liegen in der Ebene X =. Das Bild ist die reelle Achse. Rechnerisch: z = x+iy = X X + i = X. X 3 X 3 X

7 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 7 Möbius-Transformation T : z az +b, ad bc, c cz +d C := C, T( ) = a c, T( d c ) =. Verallgemeinerte Kreise : Kreise oder Geraden Kreistreue: d,,kreis = T(,,Kreis ) = Gerade c d c /,,Kreis = T(,,Kreis ) = echter Kreis Kreissymmetrie : Symmetrien bzgl.,,kreise bleiben erhalten Symmetrie bzgl. einer Gerade : klar (Spiegelung) z, z symmetrisch bzgl. Kreis mit Radius R und Mittelpunkt M z, z liegen auf einem von M ausgehenden Strahl und z M z M = R (z M) ( z M) = R Mittelpunkt M und sind symmetr. bzgl. Kreis Denn: z z M z M Für jede Möbius-Transf- T gilt daher: T(M), T( ) sind symmetrisch bzgl. Bild,,kreis Beispiel: a) Bestimmen Sie eine Möbius Tranformation T : z w mit T(i) =, T(i) =, T() =. b) Welches sind die Bilder von (i) ir, (ii) R, (iii) K := {z C : z = }, (iv) g := {z C : Rez = } (v) Q := {z C : z = x+iy, x,y > } (vi) z 8?

8 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 8 Lösung: a) Aus T(i) =, T(i) = folgt T(z) = k z i z +i b) Damit ist T() = k bzw. k = und T(z) = i z i+z (i) Bild von ir : Gerade, da T(i) =. T() = und T(i) = = T(iR) = R (ii) Bild von R : echter Kreis, symmetrisch zum Bild von ir also symmetrisch zur reelle Achse. Wegen T() = und T( ) = handelt es sich um den Einheitskreis. (iii) Bild des Kreises z = : Der Punkt i liegt auf dem Kreis, also ist dasbildeinegerade.siegehtwegen T(i) = durch und ist symmetrisch zu T(iR) = R. Das Bild ist die imaginäre Achse. Alternativ : T() = i: Also Bild Gerade durch und i. (iv) Die Nullstelle des Nenners i liegt nicht auf der GeradeN Rez =. Das Bild ist ein echter Kreis. Im Bildraum sind und der Mittelpunkt M des Bildkreises symmetrisch bzgl. des Bildkreises. Es gilt T ( ) = i = T (M) ist symmetrisch zu i bzgl. der Geraden Rez =. T (M) = i = M = T(i) = i++i = M = i Zum Beispiel aus T( i) = 4i oder T( ) = folgt, dass der Bildkreis den Radius R = hat.

9 Komplexe Funktionen, SoSe, Anleitung 3, 9.4., ( Kiani) 9 (v) Bild von Q := {z C : z = x+iy, x,y > }: Das Bild von ir ist R. Die linke Halbebene wird wegen T(i) = i aufdieoberehalbebene abgebildet. Das Bild von R ist der Einheitskreis. Die obere Halbebene wird wegen T(i) = auf das Innere des Kreises abgebildet. Damit ist das Bild von Q die obere Hälfte des Inneren des Einheitskreises (ohne Rand). (vi) Bild von z 8 : Das Bild von z = 8 ist ein echter Kreis symmetrisch zu R, da Urbild symmetrisch zu ir. Mit T(8i) = 3 5, T( 8i) = 5 3 erhält man den Mittelpunkt M und den Radius R: ( ) M = R = ( ) 3 = 7 5, = 8 5. Wegen T() = wird das Innere des Kreises z 8 auf das Äußere des obigen Kreises abgebildet.

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