Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 1: Zahlen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. Oktober 2007) Gliederung 2 Mengen Grundlegende Zahlbereiche Ungleichungen Intervalle Beträge Summen Kombinatorik Die komplexen Zahlen

2 Beispiele für Mengen A = {1, 2, 3} hat die Elemente 1,2 und 3 2 A ( 2 ist ein Element von A ) 4 A ( 4 ist kein Element von A ) B = {0, 2, 4, 6, 8,... } ist die unendlich große Menge aller geraden (nicht-negativen) Zahlen. Es gilt z.b.: 1024 B {n B n ist teilbar durch 5} = {0, 10, 20, 30, 40,... } ( Die Menge aller n in B, welche die Eigenschaft haben, durch 5 teilbar zu sein. ) sin {f Funktion f = f } : Die leere Menge (keine Elemente) 3 Teilmengen 4 Definition 1.1 A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Schreibweisen: A B B A A B B A Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn A B und B A gelten.

3 Mengenoperationen 5 Definition 1.2 Für zwei Mengen A und B definieren wir: A B := {x x A und x B} ( A geschnitten B, Schnittmenge, Durchschnitt ) A B := {x x A oder x B} ( Vereinigungsmenge ) A \ B := {x A x / B} ( Differenzmenge ) Illustration von Mengenoperationen 6

4 Operationen auf n Mengen 7 n i=1 A i := A 1 A n = {x x A i für alle i {1,..., n}} n i=1 A i := A 1 A n = {x x A i für wenigstens ein i {1,..., n}} Die reellen Zahlen 8 Definition 1.3 Eine reelle Zahl ist eine Zahl, die sich als Dezimalbruch (mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommastellen) darstellen lässt. Definition 1.4 Die Menge aller reellen Zahlen bezeichnen wir mit R.

5 Die ganzen Zahlen 9 Definition 1.5 Eine ganze Zahl ist eine reelle Zahl, die sich ohne Nachkommastelle schreiben lässt. Die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnen wir mit Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }. Definition 1.6 Die Menge der natürlichen Zahlen ist N := {x Z x 0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } (DIN 5473). Ansichtssache 10 Leopold Kronecker ( ) Die natürlichen Zahlen sind vom lieben Gott geschaffen, alles andere in der Mathematik ist nur Menschenwerk. Richard Dedekind ( ) Die natürlichen Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes.

6 Die rationalen Zahlen 11 Definition 1.7 Die Menge der rationalen Zahlen ist Q := {x R Es gibt p, q Z mit q 0 und x = p q }. Eine reelle Zahl ist genau dann (d. h. dann und nur dann ) rational, wenn sie sich als Dezimalbruch mit endlich vielen oder mit irgendwann periodisch werdenden Nachkommastellen schreiben lässt. Rechenoperationen in den Zahlbereichen 12 x + y x y x y x y (y 0) x(x 0) R Q Z N Division durch Null wird niemals erlaubt. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den komplexen Zahlen (später). Bei der Multiplikation lässt man oft den Punkt weg: xy := x y

7 Potenzen Definition 1.8 Für x R und n N, n 1 ist 13 x n := x x x }{{} n mal die n-te Potenz von x. Ist x 0, so definieren wir weiter x n := 1 x. n Insbesondere ist x 1 = 1 x (für x 0). Schließlich setzen wir x 0 := 1. Rechenregeln für Potenzen 14 Für alle n, m Z und x, y R gelten: x n x m = x n+m x n x m = x n m (falls x 0) (xy) n = x n y n (x n ) m = x mn

8 Ungleichheitszeichen Definition 1.9 Für x, y R schreiben wir: 15 x < y, falls x (echt) kleiner als y ist. x > y, falls x (echt) größer als y ist. x y, falls x < y oder x = y ist. x y, falls x > y oder x = y ist. x heißt positiv, falls x > 0 ist. x heißt negativ, falls x < 0 ist. R + := {x R x 0} (nicht-negative reelle Zahlen) Implikation und Äquivalenz 16 Definition 1.10 Für zwei Aussagen A und B bedeutet A B: Falls A gilt, dann gilt auch B ( Aus A folgt B, Implikation ) Definition 1.11 Gilt für zwei Aussagen A und B sowohl A B als auch B A, so schreiben wir A B. ( A und B sind äquivalent, A gilt genau dann, wenn B gilt ).

9 Regeln für Rechnen mit Ungleichungen x < y und y < z x < z x y und y < z x < z x < y und y z x < z x y und y z x z x < y und a < b x + a < y + b x y und a < b x + a < y + b x < y und a b x + a < y + b x y und a b x + a y + b... Regeln für Rechnen mit Ungleichungen 18 x < y x < y x y x < y x < y x y Achtung: und a > 0 ax < ay und a 0 ax ay und a 0 ax ay und a < 0 ax > ay und a 0 ax ay und a 0 ax ay Bei Multiplikation mit negativen Zahlen kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.

10 Weitere Regeln Für alle x R gilt 19 x 2 0, falls x 0 sogar x 2 > 0 Für x, y 0 gelten: x y x < y x y x < y Beschränkte Intervalle Definition 1.12 Für a, b R mit a b definieren wir die folgenden beschränkten Intervalle: 20 [a, b] := {x R a x b} ( kompakt ) [a, b [ := {x R a x < b} ( halb offen ) ] a, b ] := {x R a < x b} ( halb offen ) ] a, b [ := {x R a < x < b} ( offen ) Alternative Schreibweisen: (a, b) = ] a, b [ [a, b) = [a, b [ (a, b ] = ] a, b ]

11 Beispiele für beschränkte Intervalle 21 Unbeschränkte Intervalle Definition 1.13 Für a R definieren wir die folgenden unbeschränkten Intervalle: 22 [a, [ := {x R a x} ( halb offen ) ] a, [ := {x R a < x} ( offen ) ], a ] := {x R x a} ( halb offen ) ], a [ := {x R x < a} ( offen ) Alternative Schreibweisen: (a, ) = ] a, [ [a, ) = [a, [...

12 Beispiele für unbeschränkte Intervalle 23 Bemerkungen 24 Bemerkung Die Symbole und sind keine Zahlen. Man darf nicht mit ihnen rechnen. Bemerkung Entscheidende Eigenschaft eines Intervalls I R: Wenn x, y I, dann gilt für alle z R mit x z y auch z I.

13 Definition des Betrags 25 Definition 1.14 Für x R heißt x := { x, falls x 0 x, falls x < 0 der Betrag (auch Absolutbetrag) von x. Illustration des Betrags 26

14 Regeln für Beträge 27 x 0 x = Abstand von x zu 0 auf der Zahlengeraden x a = Abstand von x zu a auf der Zahlengeraden x = x x = 0 x = 0 x x x x 2 = x (Wurzeln sind nie negativ) Die Dreiecksungleichung 28 Satz 1.15 Für alle x, y R gilt die Dreiecksungleichung x + y x + y. Sind x 1,..., x n R n reelle Zahlen, so gilt x 1 + x x n x 1 + x x n. Außerdem gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y.

15 Das Summenzeichen 29 Definition 1.16 Seien m, n N mit m n, und x m,..., x n Zahlen (oder andere mathematische Objekte, die man addieren kann). Wir definieren n x i := x m + x m+1 + x m x n i=m ( i kann auch k, µ,... sein) n Falls m > n setzen wir x i := 0. i=m Rechenregeln für Summen n i=m n i=m n x i + n y i = n (x i + y i ) i=m i=m ( ax i = n n ) (ax i ) = a x i = a n q x i i=m j=p n i=m n i=m x i = x i = i=m y j = p n q i=m j=p x i + n i=m i=p+1 n 1 x i+1 i=m 1 x i y j i=m = q n j=p i=m x i y j =: x i i=m i=m,...,n j=p,...,q x i (für m p n) ( Indexverschiebung ) x i y j 30

16 Die geometrische Summe 31 Satz 1.17 Für a R und n N gilt: n a k = k=0 { 1 a n+1 1 a, falls a 1 n + 1, falls a = 1 ( geometrische Summe ) Beispiel Sparplan 32 läuft n Jahre Anfang jeden Jahres: Einzahlung von B e Ende jeden Jahres: Erhöhung des bisher gesparten Betrags um p%, d. h. Multiplikation mit q = ( ) p. Einzahlung B aus Jahr 1 wächst an auf: Einzahlung B aus Jahr 2 wächst an auf:. Einzahlung B aus Jahr n wächst an auf: Insgesamt erhält man nach n Jahren: B q 1 qn 1 q e (falls p > 0) q n B e q n 1 B e q B e

17 Arithmetische Summe Satz 1.18 Für alle n N, n 1 gilt: 33 n i = i=1 n(n + 1) 2 ( arithmetische Summe ) Carl Friedrich Gauss ( ) (in der Dorfschule): 100 i=1 i = ( ) + (2 + 99) + + ( ) = = 5050 Die Türme von Hanoi 34 Bemerkung Man kann durch sukzessives Bewegen je einer Scheibe den Stapel auf eine andere Stange bringen, ohne eine größere auf eine kleinere Scheibe zu legen.

18 Das Produktzeichen 35 Definition 1.19 Seien m, n N, m n. Für n m + 1 Zahlen x m,..., x n definieren wir n x i := x m x m+1 x n i=m und für m > n: n x i := 1 i=m Fakultät Definition 1.20 Für n N bezeichnen wir mit n! ( n Fakultät ) die Anzahl der möglichen Reihenfolgen ( Permutationen ) von n Objekten. 36 Satz 1.21 Für alle n N gilt n! = n i = n (n 1) (n 2) i=1 Isbsondere: 0! = 1

19 Binomialkoeffizienten Definition 1.22 Für n, k N bezeichnen wir mit ( ) n k ( Binomialkoeffizient n über k ) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. 37 Satz 1.23 Für alle n, k N mit k n gilt: ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) = = k k!(n k) k! Gleichungen für Binomialkoeffizienten Satz 1.24 Für n, k N mit n, k 1 gilt: ( ) ( ) n n 1 = + k k 1 ( ) n 1 k 38 Satz 1.25 Für n, k N gilt: ( ) n k = ( n ) n k

20 Das Pascalsche Dreieck (Blaise Pascal, ) 39 Der Binomische Satz 40 Satz 1.26 Für n N und a, b R gilt: (a + b) n = ( binomischer Satz ) n k=0 ( ) n a k b n k k

21 Definition Definition 1.27 Die Menge der komplexen Zahlen ist 41 C := {x + y i x, y R}. Dabei ist i ein Symbol mit i 2 = 1. Es gilt R = {x + 0 i x R} C. Die Menge der imaginären Zahlen ist C \ R = {x + yi x, y R, y 0}. Bemerkungen Bemerkung Wichtig: In C gibt es keine Ordnungsrelation <. 42 Bemerkung In C rechnet man wie von R gewohnt (insbesondere sind Addition und Multiplikation kommutativ) und ersetzt wann immer möglich i 2 durch 1. (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 )i (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i

22 Real- und Imaginärteil Definition 1.28 Für z C mit z = x + yi (x, y R) ist 43 Re(z) := x R der Realteil und Im(z) := y R der Imaginärteil von z. Für z, z C gilt: z = z (Re(z) = Re(z ) und Im(z) = Im(z )) Die Gaußsche Zahlenebene 44

23 Addition in der Gaußschen Zahlenebene 45 Konjugierte und Absolutbetrag Definition 1.29 Für z = x + yi C (x, y R) ist 46 z := x yi die komplex konjugierte Zahl zu z und z := x 2 + y 2 ist der (Absolut)-Betrag von z. z ist die Spiegelung von z an der reellen Achse. z ist der (Euklidische) Abstand von z zu 0.

24 Rechenregeln für komplexe Zahlen Re(z) = Re(z), Im(z) = Im(z) Re(z) = 1 2 (z + z), Im(z) = 1 2i (z z) (z) = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2... Rechenregeln für komplexe Zahlen 48 zz = Re(z) 2 + Im(z) 2 z = zz = z 1 z = z z 2 ( 1 z ) = 1 z z, z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2

25 Die Dreiecksungleichung Satz 1.30 Für alle z 1, z 2 C gilt die Dreiecksungleichung z 1 + z 2 z 1 + z Winkel und Betrag 50

26 Bogenmaß eines Winkels 51 Definition 1.31 Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des von ihm aus der Einheitskreislinie ausgeschnittenen Segments. Es liegt im Intervall [0, 2π]. Bogenmaß und Gradmaß 52 Bogenmaß Gradmaß 0 0 π 4 45 π 2 90 π 180 3π π 360

27 Polarkoordinaten komplexer Zahlen Definition 1.32 Sei z C \ {0} eine komplexe Zahl und sei Φ [0, 2π [ der Winkel, den die Verbindungsstrecke von 0 zu 1 gegen den Uhrzeigersinn mit der Verbindungsstrecke von 0 zu z einschließt. Dann sind (r, Φ) R + [0, 2π[ mit r = z, Φ = arg(z) die Polarkoordinaten von z. Das Argument von z ist arg(z) := Φ. 53 z = z ( cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) ) Periodizität von sin(t) und cos(t) 54 Graph von sin(t): Graph von cos(t):

28 Berechnung der Polarkoordinaten 55 Sei z = x + yi C (mit x, y R). Dann gilt für die Polarkoordinaten (r, Φ) von z: r = z = x 2 + y 2 [0, [ mit Φ = arg(z) [0, 2π[ tan(φ) = y x Der Tangens 56 tan(t) = sin(t) cos(t) für t { π 2 + kπ k Z}

29 Graph der Tangensfunktion Die Arcustangensfunktion Für q R ist 58 arctan(q) ] π 2, π 2 [ die Zahl t ] π 2, π 2 [ mit tan(t) = q

30 Arcussinus und -cosinus von q [ 1, 1] 59 arcsin(q) [ π 2, π 2 ] mit sin(arcsin(q)) = q arccos(q) [0, π] mit cos(arccos(q)) = q Formeln für arg(z) Falls x, y 0: 60 arg(z) = arctan y x [0, π 2 ] Falls x 0: arg(z) = arctan y x + π [π 2, 3π 2 ] Falls x 0, y < 0: arg(z) = arctan y x + 2π [3π 2, 2π[

31 Multiplikation in Polarkoordinaten 61 Bemerkung Bei der Multiplikation komplexer Zahlen multipliziert man die Beträge und addiert die Argumente (anschließend Subtraktion von 2π, falls Summe größer oder gleich 2π). Geometrische Interpretation der Multiplikation mit z C: Rotation gegen den Uhrzeigersinn um arg(z) und Streckung bzw. Stauchung um den Faktor z Division in Polarkoordinaten 62 Bemerkung Bei der Division komplexer Zahlen teilt man den Betrag des Zählers durch den Betrag des Nenners und subtrahiert das Argument des Nenners vom Argument des Zählers (anschließend Addition von 2π, falls Differenz kleiner als 0). Geometrische Interpretation der Division durch z C \ {0}: Rotation um arg(z) im Uhrzeigersinn und Streckung bzw. Stauchung um Faktor 1 z

32 Beispiel 63 Geometrische Interpretation von z 64 arg( z) = 1 2 arg(z) (halber Winkel) z = z (Wurzel aus Abstand zu 0)

33 Die Euler-Identität 65 Definition 1.33 Für z = x + yi (x, y R) definieren wir e z := e x (cos(y) + sin(y) i) (e x ist dabei die reelle Exponentialfunktion) Geometrische Interpretation 66 e yi = e 0+yi = e 0 (cos(y) + sin(y) i) = cos(y) + sin(y) i ist also die komplexe Zahl, zu der man in der Gaußschen Ebene kommt, wenn man von 1 startend auf der Einheitskreislinie y Einheiten gegen die Uhr (falls y 0) bzw. mit der Uhr (falls y < 0) läuft.

34 Beispiele 67 Rechenregeln 68 Für alle z 1, z 2 C: e z 1 ez 2 = ez 1+z 2 Insbesondere: e x+yi = e x e yi Außerdem: z = z e arg(z)i Für m Z gilt e 2πmi = 1 (e yi ) m = e myi Also für alle n N: ( e 2kπ n i ) n = 1 ( für alle k Z)

35 Die n-ten Einheitswurzeln 69 Definition 1.34 Für n N, n 2 heißen die n komplexen Zahlen e 2kπ n i (k = 0, 1,..., n 1) die n-ten Einheitswurzeln. Bemerkung Die Gleichung z n = 1 hat in C genau die n-ten Einheitswurzeln als Lösungen. Die dritten Einheitswurzeln 70

36 Die achten Einheitswurzeln 71