Hörsaalübung 6 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 28/29 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 6 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Autonome Systeme, Stabilität Die ins Netz gestellten Kopien der Unterlagen sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen. Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! Klausurberatung: Montag 28. von 2:3 Uhr bis ca. 3:5 Uhr

2 Autonome Systeme ẋt = fxt = fx x : R n R n Stationärer Punkt / Gleichgewichtspunkt / Ruhelage : Physikalisch: Punkt in dem sich nichts verändert! Mathematisches Modell : ẋ =. Beispiel : n =, a R, ẋ = ax, xt = x = xt = x e at t. Ruhelage : x = = xt = = ẋ = Frage : Ist die Ruhelage stabil? Was passiert, wenn die Anfangsdaten z.b. wg Messfehlern ein wenig stört sind? Also hier statt x = etwa x = ɛ > 2

3 Lösung des gestörten Problems : xt = ɛe at t Lösung des ursprünglichen Problems : xt =. 25 x'= ax, x =... 2 x =. a=2 x = a= x = a= -2 x = a beliebig x t 3

4 a > : Lösung des gestörten Problems entfernt sich immer weiter von der Ruhelage. Genauer lim xt = lim x e at t = t t Die Ruhelage ist instabil Für a =, ẋ = ax, xt = x = xt = x. Abstand der Lösungen kontrollierbar/beschränkt Ruhelage stabil Für a < : Lösung des gestörten Problems nähert sich für große t wieder der Ruhelage. Genauer lim xt = lim x e at t = t t = Ruhelage asymptotisch stabil. 4

5 Beispiel 2: n = 2, α, β R, ẋ = Ax, x = x x = ist ein stationärer Punkt i A = 2, β R β Allgemeine Lösung: xt = c e 2t + c 2 e βt Anfangsbedingung: x = ɛ = xt = ɛ e 2t Die Ruhelage ist instabil 5

6 ii A = α, α, β < β Allgemeine Lösung: xt = c e αt + c 2 e βt Anfangsbedingung: x = ɛ ɛ 2 = xt = ɛ e αt + ɛ 2 e βt lim xt = t Ruhelage asymptotisch stabil. 6

7 iii A = α, α < Allgemeine Lösung: xt = c e αt + c 2 e t Anfangsbedingung: x = ɛ = xt = ɛ Bei beliebiger Anfangsbedingung: lim xt = t Ruhelage stabil 7

8 iv A = = λ = λ 2 = Nur eine Eigenvektorrichtung: v =, Hauptvektor: w = Allgemeine Lösung: xt = c e t v + c 2 e t tv + w = c + c 2 t Anfangsbedingung: x = ɛ t = xt = ɛ Ruhelage instabil. 8

9 v Hat A komplexe Eigenwerte z.b. λ k = a + ib mit a, b R und Eigenvektor v [k], so gilt für den zugehörigen Lösungsanteil: lim t c k e a+ibt v [k] = 9

10 Lineare Systeme mit Konstanten Koeffizienten: ẋt = A xt A R n n Lösungen sind Linearkombinationen von Basislösungen der Form e λt v e λt tv + w λ Eigenwert vona v, w,... : Eigenvektor/Hauptvektor t unabhängig x t =,,, T ist eine stationäre Lösung zur Anfangsbedingung o.e.d.a: t = : x =,,, T Annahme : Eigenwert λ k = a + ib mit a = Reλ k >, und neue Anfangsbedingung: x = ɛ v [k] Dann ist die Lösung xt = ɛ e λkt v [k] und xt = ɛ e λ kt v [k] = ɛ e at e ibt v [k] = v [k] = Eigenvektor

11 Geringste Störungen der Ruhelage x = können dazu führen, dass die Lösung sich für große t beliebig weit von der Ruhelage entfernt.die Ruhelage ist instabil. Für Eigenwerte λ m = a + ib mit a = Reλ m < gilt dagegen c m e λ mt v [m] = c m e at e ibt v [m] = Wenn Hauptvektoren benötigt werden gilt immer noch z.b.: c m e λ mt tv [m] + w [m] = c m e at e ibt tv [m] + w [m] exp wächst schneller als jede Potenz Die zugehörigen Lösungsanteile gehen also für t gegen die Nulllösung. Hat A nur EWe mit Reλ < = so ist die Nulllösung asymptotisch stabil!

12 Gibt es EW e mit negativem Realteil und EWe mit Realteil Null, so sind auch letztere harmlos, solange die zugehörigen Lösungsanteile keine Hauptvektoren enthalten: b R, λ p = ib = c p e λ pt v [p] = c p e ibt v [p] = c p v [p] beschränkt, Ruhelage stabil Ist aber algebraische Vielfachheit λ p > geometrische Vielfachheitλ p, so gibt es Lösungskomponenten der Form c p e λ pt tv [p] + w [p] = c p tv [p] + w [p] t Die Nulllösung ist instabil! 2

13 Zusammenfassung: Gegeben DGL System ẋ = Ax, A konstant. a Realteile aller Eigenwerte von A negativ = Ruhelage asymptotisch stabil. b Realteil von mindestens einem EW positiv = Ruhelage instabil. c Realteile aller EWe negativ oder Null und für die EWe mit Realteil Null gλ = aλ d.h. keine Hauptvektoren in der Lösungsdarstellung nötig = Ruhelage stabil. Andernfalls instabil. Beispiel 3: Untersuchen Sie die Ruhelage x = auf Stabilität! Lösung vor Ort! 2 ẋ = 3 α 4 α x β R \ {}. 5 β β 3

14 4

15 2 Beispiel 4: ẋ = x. Untersuchen Sie die Ruhelage x = auf 5 3 Stabilität. λ 2 deta λi = det = λ3 λ + =! 5 3 λ λ 2 4λ + 3 =

16 Stabilität: nichtlineare, autonome Gleichung ẋt =fxt, x : R n R n x Ruhelage :fx = Jfx := Jakobimatrix von f Linearisierung: wird möglichst auf den linearen Fall zurückgeführt! Stationäre/Gleichgewichtspunkte : ẋ = fx = asymptotisch stabil = Realteile aller EWe von Jfx negativ. instabil = Jfx hat mindestens einen EW mit positivem Realteil. keine Aussage mit Hilfe der Linearisierung: Re λ k, k und l mit Re λ l = Ljapunov 6

17 Beispiel 5: Die Differentialgleichung des gedämpften mathematischen Pendels: Φt = ω 2 sinφt 2 c Φt, ω, c >. DGL 2-ter / n-ter Ordnung: Äquivalent mit System y Φt yt := = y 2 Φt Φt ẏt = Φt 7

18 Da Reλ,2 <, ist der Punkt, T asymptotisch stabil. 8

19 Beispiel 6: Untersuchen Sie alle stationären Punkte des Systems x ẋt = fxt = 3 x 3 2 x + x 2 x 2 auf Stabilität. Lösung: Stationäre Punkte : ẋ = x 3 x 3 2 = = x = x 2 ẋ 2 = x + x 2 x 2 = = x 2 = oder x = x 2 Damit erhält man die zwei stationären Punkte P =, T und P =, T. Jfx, x 2 = 9

20 P = Jf, = P = Jf, = 2

21 Was wenn Realteil mindestens eines der Eigenwerte gleich Null ist? Sei x = ein stationärer Punkt des Systems ẋ = fx also f =. V heißt Ljapunov Funktion von f auf K R, wenn V : D R, K R D R n mit a V = und V x > für x, x D. b < V, fx > x : < x R. Existiert eine Ljapunov-Funktion, so ist x = stabiler Gleichgewichtspunkt. Steht in b < statt = asymptotisch stabil Steht in b > statt = instabil Motivation : Stabile Gleichgewichtszustände mechanischer Systeme sind Zustände minimaler potentieller Energie. V kann als verallgemeinerte Energie interpretiert werden. Längs einer stabilen Lösung also mit zunehmendem t nimmt diese Energie nicht zu, also muss d V xt =< V xt, ẋt > gelten. dt Umgekehrt: nimmt die verallgemeinerte Energie zu, so kann die Lösung nicht stabil sein! 2

22 Beispiel 7 Untersuchen Sie den Gleichgewichtspunkt, T des Systems ẋ = x 3 2x x 2 2 ẋ 2 = x 2 x 2 x 3 2 auf Stabilität. Nutzen Sie ggf. V x, x 2 = x 2 + ax 2 x x 4 2 mit geeignetem a. 3x 2 Lösung: Jfx, y 2 = 2x 2 2 4x x 2 2x x 2 x 2 3x 2 = Jf, = 2 Linearisierung liefert keine Aussage! Mit dem Ansatz V x, x 2 = x 2 + ax 2 x x 4 2 gilt sicher V, =. Also ist V x, x 2 > für alle x, x 2, und alle a R +. V = 2x + 2ax x 2 2, 2ax 2 x 2 + 4x 3 2 T 22

23 Mit V = 2x + 2ax x 2 2, 2ax 2 x 2 + 4x 3 2 T x 3 und fx, x 2 = 2x x 2 2 x 2 x 2 x 3 bleibt noch zu untersuchen: 2 Sx, x 2 :=< V, f >= V f + V 2 f 2 =2x + 2ax x 2 2 x 3 2x x ax 2 x 2 + 4x 3 2x 2 x 2 x 3 2 = 2x 4 4x 2 x 2 2 2ax 4 x 2 2 4ax 2 x ax 4 x 2 2 2ax 2 x x 2 x 4 2 4x 6 2 Im allgemeineren Fall z.b. Präsenzaufgabe 2b: Sorge dafür dass keine ungeraden Potenzen von x und/oder x 2 auftauchen, und die Koeffizienten der geraden Potenzen nicht positiv sind 23