Anleitung zu Blatt 5 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Univerität Hamburg WiSe / Dr. Hanna Peywand Kiani 4..2 Anleitung zu Blatt 5 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwienchaften Stabilität, Laplace-Tranformation Die in Netz getellten Kopien der Anleitungfolien ollen nur die Mitarbeit während der Verantaltung erleichtern. Ohne die in der Verantaltung gegebenen zuätzlichen Erläuterungen ind diee Unterlagen unvolltändig (z. Bp. fehlen oft weentliche Vorauetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Verantaltung angeagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieer Unterlagen an anderer Stelle it unteragt!

2 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 2 Stabilität, linearer Fall Phyikalich : Stationärer Punkt / Ruhelage : Punkt in dem ich nicht verändert! Mathematiche Modell : y =. Beipiel : y = ay, y(t ) = y = y(t) = y e a(t t ). Ruhelage : y = alo y = und damit y(t) =, t. Frage : It die Ruhelage tabil? Wa paiert, wenn man die Anfangdaten ein wenig tört? Alo hier tatt y = etwa y = ɛ > vorgibt. Löung de getörten Problem : y(t) = ɛe a(t t ) Löung de urprünglichen Problem : y(t) =. Für a > entfernt ich die Löung de getörten Problem immer weiter von der Ruhelage. Genauer lim y(t) = lim y e a(t t) = t t Die Ruhelage it intabil Für a = : Abtand der Löungen kontrollierbar y(t) = ɛ = Ruhelage tabil Für a < : nähert ich die Löung de getörten Problem für große t wieder der Ruhelage. Genauer lim y(t) = lim y e a(t t) = t t = Ruhelage aymptotich tabil.

3 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 3 Lineare Syteme mit Kontanten Koeffizienten y (t) = A y(t) A R n n Löungen ind Linearkombinationen von Bailöungen der Form e λt v e λt (tv + w) λ Eigenwert vona v, w,... : Eigenvektor/Hauptvektor ( t unabhängig) y (t) = (,,, ) T it eine tationäre Löung! Annahme : E gibt EW λ k = a + ib mit a = Re(λ k ) > Dann gilt c k e λ kt v [k] = c k e ibt e at v [k] (t ) Geringte Störungen de Anfangwerte Null der Ruhelage y = können dazu führen, da die Löung ich für große t beliebig weit von der Ruhelage entfernt. Dagegen gilt für EW λ m = a + ib mit a = Re(λ m ) < c m e λmt v [m] = c m e ibt e at v [m] (t ) Selbt wenn Hauptvektoren benötigt werden ändert ich diee Grenzverhalten nicht (exp wächt chneller al jede Potenz) c m e λmt (tv [m] + w [m]) = c m e ibt e at (tv [m] + w [m] ) Die zu dieen EW n gehörenden Löunganteile gehen alo für t gegen die Nulllöung. A : nur EWe mit Re(λ) < = Nulllöung it aymptotich tabil! Gibt e neben den EW n mit negativem Realteil auch EWe mit Realteil Null, o ind diee harmlo, olange die zugehörigen Löunganteile keine Hauptvektoren enthalten: λ p = ib mit a = Re(λ p ) = c p e λpt v [p] = c p e ibt v [p] = c p v [p] bechränkt, Ruhelage tabil It aber algebraiche Vielfachheit (λ p ) < geometriche Vielfachheit( λ p ), o gibt e Löungkomponenten der Form c p e λpt (tv [p] + w [p] = c p (tv [p] + w [p] (t ) Die Nulllöung it intabil!

4 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 4 Zuammenfaung: Gegeben DGL Sytem y = Ay A kontant. a) Realteile aller Eigenwerte negativ = Nulllöung trikt tabil. (trikt = glm + aympt.) b) Realteil von mindeten einem EW poitiv = Nulllöung intabil. c) Realteile aller EWe negativ oder Null und für die EWe mit Realteil Null g(λ) = a(λ) (d.h. keine Hauptvektoren in der Löungdartellung nötig) = Nulllöung tabil. Andernfall intabil. Beipiel : Löung vor Ort! 2 y = 3 α 4 α 5 β β y α, β R \ {}. Unteruchen Sie die Ruhelage auf Stabilität! Beipiel 2: Löung vor Ort! y = Unteruchen Sie die Ruhelage auf Stabilität 2 y 5 3 und klaifizieren Sie diee (Strudel, Wirbel, Knoten etc.)

5 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 5 Stabilität: nichtlineare, autonome Gleichung y (t) = f(y(t)), y : R n R n Jf(y) = Jakobimatrix von f wird (möglicht) auf den linearen Fall zurückgeführt! Stationäre/Gleichgewichtpunkte : ( y ) = f(y ) = aymptotich tabil = Realteile aller EWe von Jf( y ) negativ. intabil = Jf( y ) hat mindeten einen EW mit poitivem Realteil. keine Auage mit Hilfe der Lineariierung: Re (λ k ) k und l mit Re (λ l ) = Ljapunov Beipiel 3: Seien a, b R \ {} und u = au u 2 uv v = bv v 2 uv Veruchen Sie die tationären Punkte de Sytem mit Hilfe der Lineariierung auf Stabilität zu unteruchen. au u Löung: f(u, v) = 2 uv bv v 2 uv a 2u v u Jf(u, v) =. v b 2v u { u(a u v) = und f(u, v) = v(b v u) = { u = oder (a u v) = v = oder (b v u) = und P = Jf(, ) = = vier Kandidaten! a. b Aymptotich (Strikt) tabil für a, b < ont intabil. P : u = und b v u = = v = b a b P = Jf(, b) =. b b b für a < b und b > Aymptotich tabil für a = b und b > keine Auage möglich ont intabil. P 2 : v = und a v u = = u = a

6 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 6 P 2 = a Jf(a, ) = a a. b a für a > b und a > Aymptotich tabil für a = b und a > keine Auage möglich ont intabil. P 3 : b u v = und a v u = geht nur, wenn a = b. Im Fall a = b : einzige Bedingung a = b = u + v u u u P 3 = Jf(P a u 3 ) =. u a u a Keine Auage möglich! Abhilfe : evtl. Ljapunov Funktion Sei y = ein tationärer Punkt de Sytem y = f(y) alo f() =. Exitiert eine Ljapunov Funktion V : D R, K R () D R n mit a) V () = und V (y) > für y, y D. b) < V, f(y) > y : < y R. o it y = glm. tabiler Gleichgewichtpunkt. In b < tatt = aymptotich tabil In b > tatt = intabil Motivation : Stabile Gleichgewichtzutände mechanicher Syteme ind Zutände minimaler potentieller Energie. V kann al verallgemeinerte Energie interpretiert werden. Läng einer tabilen Löung (alo mit zunehmendem t ) nimmt diee Energie nicht zu, alo mu d dt V (y(t)) =< V (y(t)), y (t) > gelten. Umgekehrt: nimmt die verallgemeinerte Energie zu, o kann die Löung nicht tabil ein!

7 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 7 Beipiel 4) Unteruchen Sie den Gleichgewichtpunkt (, ) T de Sytem y = 2y 3 2 4y y 2 2 y 2 = 3y y 2 2 y 3 2 auf Stabilität. Verwenden Sie ggf. V (y) = ay 2 + by2 2. Löung: Jf(, ) = Mit dem Anatz V (y, v) = ay 2 + bv 2 gilt icher V (, ) =. Außerdem it V (y, y 2 ) > für alle (y, y 2 ) (, ). Mit V = (2ay, 2by 2 ) T und f(y, y 2 ) = ( 2y 3 2 4y y 2 2 3y y 2 2 y 3 2 ) folgt S(y, y 2 ) :=< V, f >= (4a 6b)y y 3 2 8ay 2 y 2 2 2by 4 2. Wählt man nun a, b > mit a = 3b/2, o it S(u, v) für alle (u, v). Damit it eine Ljapunov Funktion gefunden und der Punkt (, ) it gleichmäßig tabiler Gleichgewichtpunkt. DGL 2-ter / n-ter Ordnung: Ert auf Sytem umchreiben Dann it da zugehörige Sytem: y y y + y 2 = etze y = y, y 2 = y y = y 2, y 2 = y y 2 y 2

8 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 8 Laplace Tranformation Ziel: Führe die Löung von Anfangwertaufgaben auf die Löung algebraicher Gleichungen zurück. Originalfunktionen: f : R R oder C heißt Originalfunktion, wenn f und die Ableitungen von f bi auf Sprungtellen tetig ind, wobei in jedem endlichen Intervall höchten endlich viele Sprungtellen auftauchen, f(t) Me σt t : Wachtumkoeffizient σ f(t) = t <. Vorgehen: Problem im Originalraum Problem im Bildraum Laplace Tranf. Rücktranf. Löung im Originalraum Löung im Bildraum y Y Laplace Tranformation: f(t) e t f(t)dt = : F () für R() > σ f F Anwendung auf Differentialgleichungen: heißt Korrepondenz DGL algebr. Gleichung löen y = Löung der DGL Y Geucht Löung y. Wir nehmen an, da y eine Originalfunktion it und nennen die Laplacetranformierte Y. E gilt alo y Y. Dann it y Y y() y 2 Y y() y () y 3 Y 2 y() y () y () Beim gewöhnlichen Integrieren it man darauf angewieen möglicht viele elementare Integrale zu kennen bzw. nachchlagen zu können. Bei der Laplace Tranformation mu man viele Korrepondenzen kennen bzw. gute Tabellen haben. Die Tabellen beziehen ich immer auf Originalfunktionen. D.h. f(t) =, t <.

9 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) 9 f F σ d.h. h (t) h a (t) e a t n, n N e at, a C in(ωt), ω R co(ωt), ω R n! n+ a R(a) ω 2 + ω ω 2 δ(t) einige wichtige Rechenregeln: E gelten f F, g G owie { t a h a (t) = t < a Dann gilt I) αf + βg αf + βg Linearität II) f(αt) α > ( ) α F α Streckung im O Raum III) h a (t)f(t a) e a F () Verchiebung im O Raum a > IV ) e at f(t) F ( a) Verchiebung im a C Bildraum/ Mult. mit exp-fkt im O Raum V ) f (n) (t) n F () n f() Ableitungen im O-Raum n 2 f () f (n ) () V I) ( t) n f(t) F (n) () Ableitungen im Bildraum n N Mult. mit t n im O Raum V II) t f(τ)dτ F () Integration im O Raum V III) f(t) t f(µ)dµ Integration im Bildraum

10 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) Beipiel : (Klauur 23, Str./Ki) Löen Sie die AWA y y 6y = e 2t, y() =, y () =, mit Hilfe der Laplace Tranformation. Wir bezeichnen mit Y () die Bildfunktion der noch unbekannten Löung y(t). Schritt ) Laplace-Tranformation der einzelnen Terme der AWA : y Y y() = Y y (Y ) y () = 2 Y e 2t Tranformation der AWA ergibt alo 2 Y Y 6Y = ( + 2) ( + 2) ( 2 6 ) Y = + 3 ( + 2) Schritt 2) Löung der algebraichen Gleichung : ( 3)( + 2)Y = + 3 ( + 2) Y () = + 3 ( 3)( + 2) 2 Schritt 3) Rücktranformation : bekannt it : tn eat ( a) n+ n! alo machen wir eine PBZ: + 3 ( 3)( + 2) = a b ( + 2) + c = a( + 2) 2 + b( 3) + c( 3)( + 2) a = c = 6/25, b = 5/25 Y () = 25 Damit erhält man ( ( + 2) 6 ) y(t) = 25 (6e3t 6e 2t 5te 2t )

11 Differentialgleichungen I, WiSe 2/, Anleitung 4, ( Kiani) Beipiel 2 : Zu Löen ei da Sytem: ẋ = y + x() = ẏ = x + t y() = Da Sytem kann auf eine DGL zweiter Ordnung + einer Integrationaufgabe zurückgeführt werden oder wie unten direkt gerechnet werden. Schritt ) Laplacetranformation der AWA : x X, ẋ X x() = X y Y ẏ Y y() = Y t 2 Neue algebraiche Sytem: X = Y + Y = X + 2 Schritt 2) Löung der algebraichen Gleichung : Au der erten Gleichung : Y = X Die eingeetzt in die zweite Gleichung : X 2 = X + 2 Auflöen nach X und Partialbruchzerlegung ergibt und damit X = ( 2 ) = = Y = X = 3 2 Schritt 3) Rücktranformation : + = x(t) = 3 2 et t 2 e t Y = 3 2 ( + ) = ( + + ) + + y(t) = 3 2 et e t