Analyse zeitkontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich

Transkript

1 Übung 3 Analye zeitkontinuierlicher Syteme im Frequenzbereich Diee Übung bechäftigt ich mit der Analye von Sytemen im Frequenzbereich. Die beinhaltet da Rechnen mit Übertragungfunktionen, den Begriff der BIB-Stabilität und die Antwort auf harmoniche Signale im eingechwungenen Zutand. Au der letzteren Betrachtung lät ich für ein LZI-Sytem die rtkurve und da Bode-Diagramm gewinnen. Diee Diagramme werden im Weiteren noch für die Stabilitätanalye und Reglerynthee von Bedeutung ein. 3.1 Rechnen mit Übertragungfunktionen Die Grundlagen de Rechnen mit Übertragungfunktionen werden nochmal kurz wiederholt. iehe Bild 3.1) Betrachtet werden die Serien- und Parallelchaltung von Übertragungfunktionen. Für die Serienchaltung gilt und für die Parallelchaltung ŷ 1 ) = G 1 )û 1 ) = û 2 ) ŷ 2 ) = G 2 )û 2 ) = G 2 )G 1 ) û }{{} 1 ) G) û 1 ) = û 2 ) = û) ŷ 1 ) = G 1 )û) ŷ 2 ) = G 2 )û) und omit ŷ) = ŷ 1 )+ŷ 2 ) = G 1 )+G 2 )) û). }{{} G) 20

2 @ Übung 3. Analye im Frequenzbereich 3.2. Der gechloene Regelkrei / I / I a) Serienchaltung / I / I b) Parallelchaltung Bild 3.1: Rechnen mit Übertragungfunktionen 3.2 Der gechloene Regelkrei Die Übertragungfunktionen bieten gegenüber der Zutandraumdartellung den Vorteil einer einfacheren Analye von zuammengechalteten Sytemen Regelkrei mit zwei Freiheitgraden Ein allgemeiner Regelkrei mit zwei Freiheitgraden it dem Bild 3.2 zu entnehmen. Al. I H 8 I / I 4 I Bild 3.2: Regelkrei mit zwei Freiheitgraden. Einganggrößen in den Regelkrei treten hier da Führungignal r, da Störignal d und der Mefehler n auf. Die Größe y wird al Meignal und u wird al Stellignal bezeichnet. Beipiel 3.1 Berechnen Sie die Führungübertragungfunktion T y/r ) = ŷ) ˆr) n=d=0 21

3 Übung 3. Analye im Frequenzbereich Regelkrei mit einem Freiheitgrad und die Störübertragungfunktion T y/d ) = ŷ) ˆd) de Regelkreie mit 2 Freiheitgraden. n=r= Regelkrei mit einem Freiheitgrad. I H 4 I / I Bild 3.3: Regelkrei mit einem Freiheitgrad. Ein allgemeiner Regelkrei mit einem Freiheitgrad it in Bild 3.3 dargetellt. Auf dieen Wirken die Führunggröße r, die Störung d und der Mefehler n. Beipiel 3.2 Berechnen Sie die Führungübertragungfunktion T y/r ) = ŷ) ˆr) und die Störübertragungfunktion T y/d ) = ŷ) ˆd) de Regelkreie mit einem Freiheitgrad. n=d=0 n=r=0 3.3 BIB-Stabilität eine Sytem Ein lineare, zeitinvariante Sytem heißt BIB-tabil BIB... Bounded Input Bounded utput), wenn kein betragmäßig bechränkte Eingangignal o exitiert, da da Augangignal über alle Grenzen wächt. Al riterium für BIB-Stabilität kann entweder die Impulantwort oder die Lage der Poltellen eine Sytem herangezogen werden. 22

4 3.4. Eingechwungener Zutand Impulantwort: gt) dt <, gt) = L 1 {G)} Poltellen i : 0 Re i ) < 0 i Beipiel 3.3 Gegeben it die Übertragungfunktion eine einfachen Ein-Mae-Schwinger G) = Beurteilen Sie die BIB-Stabilität diee Sytem. Führen Sie die Überprüfungen owohl im Zeitbereich, wie auch im Frequenzbereich durch. 3.4 Analye mit harmonichen Signalen, eingechwungener Zutand Ein BIB-tabile LZI-Sytem antwortet auf ein harmoniche Signal im eingechwungenen Zutand wiederum mit einem harmonichen Signal, welche eine veränderte Amplitude und Phaenlage aufweit. Auf diee Art und Weie lät ich da Übertragungverhalten eine Sytem bei einer betimmten Frequenz de Eingangignale betimmen. Diee Betrachtung wird im weiteren ein wichtige Hilfmittel zur Sytemanalye und Reglerynthee ein. Beipiel 3.4 Eingechwungene Löung eine LZI-Sytem Betrachtet wird die Strecke und die Einganggröße G) = 5 ) ) 1+ 10) ) ut) = 2int+45 ). Berechnen Sie die Löung im eingechwungenen Zutand. Hinwei. Rechenregeln für Betrag und Phae von komplexen Zahlen ajω) und bjω): ajω) bjω) = ajω) bjω) ajω) bjω) = ajω) bjω) argajω) bjω)) = argajω)) + argbjω)) ) ajω) arg = argajω)) argbjω)) bjω) 23

5 3.5. rtkurve 3.5 rtkurve Wird Gjω) für ω von bi + augewertet und in der komplexen Ebene aufgetragen, o erhält man die rtkurve. Diee wird vor allem bei der Stabilitätanalye noch ein wichtige Hilfmittel ein. Beipiel 3.5 rtkurve de PI-Regler Zeichnen Sie für den PI-Regler mit der Übertragungfunktion die rtkurve. G) = 1+ Löung: Zum betimmen der rtkurve wird Gjω) für < ω < + augewertet. Gjω) = 1+jω jω j j = j ω ω = 1 j ω rtkurve: iehe Übung ω Gjω) Gjω) arggjω)) 0 1 j j j j j Bodediagramme Da Bodediagramm it eine graphiche Dartellung der komplexen Funktion Gjω) in Abhängigkeit der Frequenz ω. Hierbei wird der Betraggang doppeltlogarithmich in der Form logω),20log Gjω)) ) = logω), Gjω) db ) und der Phaengang einfachlogarithmich in der Form logω), arggjω))) dargetellt. Die Übertragungfunktion G) habe die Form G) = V r p) q) mit p0) = q0) = 1, r Z, wobei ich die Polynome p) und q) noch in der Form k 1+ ) m G) = V r i=1 l i=1 ω z,i 1+ ) ω n,i i=1+k n i=1+l mit ω z,i,ω n,i 0 und ξ z,i, ξ n,i < 1 dartellen laen ξ z,i ω z,i + 1+2ξ n,i ω n,i + ω z,i ω n,i ) 2 ) ) 2 )

6 3.7. Aufgaben Beipiel 3.6 Bode-Diagramm Zeichnen Sie zur Übertragungfunktion 0.1) G) = )0.1+1) da Bode-Diagramm. Benutzen Sie den Vordruck au Bild Bode Diagram Magnitude db) Phae deg) Frequency rad/ec) Bild 3.4: Bode-Diagramm 3.7 Aufgaben Aufgabe 3.1 Berechnen Sie alle möglichen Übertragungfunktionen im gechloenen rei laut Bild 3.2. Aufgabe 3.2 Wie ieht jene amplitudenbechränkte Eingangfunktion au, bei der die Auganggröße de Sytem au Bp. 3.3 über alle Grenzen wächt? 25

7 3.7. Aufgaben Aufgabe 3.3 Gegeben it die Strecke G) = Betimmen Sie die Auganggröße yt) diee Sytem im eingechwungenen Zutand für die Einganggröße ut) = 3in2t). Aufgabe 3.4 Gegeben it die Strecke 1+ ) G) = ) ) Betimmen Sie die Auganggröße yt) diee Sytem im eingechwungenen Zutand für die Einganggröße ut) = 3cot)+2in3t)+4σt). Aufgabe 3.5 Wie erhält man die rtkurve für negative Frequenzen au der rtkurve für poitive Frequenzen? Aufgabe 3.6 Wie ieht G jω) und argg jω)) au? Aufgabe 3.7 Wie ieht da Bodediagramm de PI-Regler G) = 1+ au? Aufgabe 3.8 Skizzieren Sie da Bodediagramm de Gleichtromantrieb, der ich näherungweie al Übertragungfunktion zweiter rdnung mit 2 G) = bechreiben lät. Wie erieht man au der Übertragungfunktion den Winkel und den Betrag für ω = 0 bzw. ω =? Aufgabe 3.9 Skizzieren Sie die rtkurve der Übertragungfunktion G) = Aufgabe 3.10 Wie lät ich für die Einganggröße ut) = int) au der enntni der rtkurve de Bodediagramm) der Übertragungfunktion G) = 1 1+ die Auganggröße im eingechwungenen Zutand berechnen? 26