3 Bode-Verfahren Bestimmung von K R Anhebung der Phasenreserve durch ein Lead Glied Frequenzgang/Bode Diagramm...

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1 Inhaltverzeichni Regleraulegung mittel Pol-Nulltellen-Kompenation. Eigenchaften der Regeltrecke Betimmung der Reglervertärkung de PID-Regler Eigenchaften der geregelten Strecke Regleraulegung mittle Polvorgabe 8. Auftellen der Regler Übertragungfunktion Betimmung der Übertragungfunktion de offenen Regelreie Betimmung der Übertragungfunktion de gechloenen Regelkrei 8.4 Auftellung der ÜF für einen allgemeinen PD T 3 -Regler Analye de gechloenen Regelkreie Bode-Verfahren 3 3. Betimmung von K R Anhebung der Phaenreerve durch ein Lead Glied Frequenzgang/Bode Diagramm Regleraulegung mittel Ziegler-Nichol-Verfahren 9 4. Betimmung der Übertragungfunktion Betimmung der Reglerkoeffizienten P-Regler PI-Regler PID-Regler SIMULINK TM -Implementierung de Regelkreie Einflu der Totzeit auf die Phaenreerve A Matlab-Dateien 7

2 Abbildungverzeichni Pol-Nulltellenverteilung de ungeregelten Syteme Sprungantwort de Syteme Bodediagramm/Aymptotendartellung der Strecke Pol Nulltellenverteilung der Strecke & de Regler Vergleich der Auregelzeit de Geamtyteme und der Strecke Vergleich de Überchwingverhalten von Strecke und Regler Vergleich der Auregelzeit de Geamtyteme und der Strecke Pol Nulltellenverteilung de gechloenen Kreie Auchnittvergrößerung: Sprungantwort de geregelten Syteme Vergleich der Auregelzeiten Vertärkung de Regler Sprungantwort de gechloene Kreie Gegenübertellung von Regeltrecke, Regler und de offenen Kreie 6 4 tationärer Regelfehler de PDT-Regler Antiegzeit de PDT geregelte Sytem Settling-Time de PDT geregelten Sytem Gegebene Übertragungfunktion P, PI owie PID geregelte Sytem Sytemantwort für P, PI owie PID geregelte Sytem..... Stellverhalten P,PI und PID geregelten Syteme PIDT geregelte Sytem Stellverhalten für PID und PIDT geregelte Sytem Sytemantwort für PID und PIDT geregelte Sytem Frequenzgang-Ortkurve mit/ohne Totzeit Tabellenverzeichni Methode der Übertragungfunktionen

3 Regleraulegung mittel Pol-Nulltellen-Kompenation. Eigenchaften der Regeltrecke Anhand der Pol/Nulltellen-Verteilung, der Sprungantwort und de Frequenzgange im Bodediagramm it eine Regeltrecke mit PT -Verhalten und folgenden Kenngrößen K =,9; ω = 3,6rad/; D =,3 zu analyieren. Die zu der Regeltrecke zugehörige Übertragungfunktion lautet: Pol/Nulltellen-Verteilung: K F () = ( ) ω + D ω +,9,77 +,778 + Für die Pol/Nulltellen-Verteilung ind owohl die Nulltellen al auch die Pole der Übertragungfunktion F zu ermitteln. Während die Nulltellen de Zähler der Übertragungfunktion F den Nulltellen entprechen, entprechen die Nulltellen de Nenner den Polen der Übertragungfunktion F. Hierau geht hervor, da keine Nulltellen vorliegen. Mit den Werten für K S, ω und D der Regeltrecke liegen folgende Pole vor:, = Dω ± i ω D =,5 ± 3,47i Demnach liegt ein komplex konjugierte Polpaar in der linken Halbebene vor. Somit it auf einer Dämpfung D =,3 und auf da komplex konjugiert Poltellenpaar ein ozillierend, gedämpfte Schwingungverhalten de PT -Sytem zurück zu führen. Bei Betrachtung Poltelle mit dem poitiven Imaginärteil, o ergibt ich eine Kennkreifrequenz ω = 3,47rad/, oda hierau eine Schwingung mit der Frequenz f =,547rad/ hervorgeht.

4 Imaginary Axi (econd ) Sytem: F Pole : i Damping:.3 Overhoot (%): 34.6 Frequency (rad/): 3.6 Sytem: F Pole :.5 3.4i Damping:.3 Overhoot (%): 34.6 Frequency (rad/): Real Axi (econd ) Abbildung : Pol-Nulltellenverteilung de ungeregelten Syteme Im Folgenden wird die Sprungantwort de PT -Sytem anhand der Abbildung näher betrachtet. Au der Sprungantwort geht hervor, da bei t =,9 die Amplitude dem,364-fachen de tationären Endwerte von,9 entpricht, welcher nach mehreren Überchwingungen nach 6 Sekunden erreicht wird. Die it auf die vorliegende Dämpfung D =,3 zurück zu führen. Darauf baierend ollte eine Regleraulegung dahingehend vorgenommen werden, da unter Vermeidung von Überchwingungen ein möglicht chnelle Erreichen de tationären Endwerte gewährleitet werden kann. Für da Vermeiden der Überchwingungen it der Einflu de Imaginärteil der Poltellen zu kompenieren. Sytem: F_{y} Peak amplitude: 3.9 Overhoot (%): 34.6 At time (econd):.9 4 F y Sytem: F_{y} Settling time (econd): 3. Amplitude.5 Sytem: F_{y} Rie time (econd):.375 Sytem: F_{y} Final value: Time (econd) Abbildung : Sprungantwort de Syteme

5 In der nachfolgenden Abbildung it der Amlituden- owie der Phaengang de P T -Sytem dargetellt. Da keine Pole im Urpung vorliegen, beginnt der Amplitudengang bei log(k S ) und der Phaengang bei. Aufgrund de vorliegenden komplex konjugierten Polpaare nimmt der Amplitudengang ab der Eckfrequenz ω e = ω = 3,6rad/ um 4dB/Dekade ab, während ich die Phae um 8 ändert. Der Amplitudengang liegt bei der Eckfrequenz ω e = ω = 3,6rad/ auf Grund der vorliegenden Dämpfung D =,3 über der Aypmtote. Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/) Abbildung 3: Bodediagramm/Aymptotendartellung der Strecke. Betimmung der Reglervertärkung de PID-Regler Die Regeltrecke oll gemäß der Aufgabentellung mit einem PID-Regler geregelt werden. Die allgemeine Übertragungfunktion eine PID-Regler lautet: F R () = K P (T I + + T I T D ) T I Hierau reultiert folgende Übertragungfunktion für den offenen Regelkrei: F O () = F R ()F S () = K P (T I + + T I T D ) T I K ( ) ω + D ω + 3

6 Hierbei ind nun die Koeffizienten K p, T I und T D o zu betimmen, da da komplex konjugierte Polpaar der Regeltrecke durch da komplex konjugierte Nulltellenpaar de Regler kompeniert wird. Demnach oll alo folgender Zuammenhang für die Übertragungfunktion de offenen Regelkrei gelten: F O = F R F S = K K P T I Soda hierau folgende Beziehung hervorgeht: ( T I + + T I T D = ω ) + D ω + Ein Koeffizientenvergleich führt zu folgenden zu Löenden Gleichungen: T I = D ω T I T D = ω T D = T I ω Au den eben aufgetellten Gleichungen gehen mit K =,9; ω = 3,6rad/; D =,3 folgende Werte für T D und T I hervor: T I = D ω,778 T D = T I ω,434 Die Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie lät ich wie folgt betimmen: F C () = F O + F O = K P K S T I K P K S T I + = + T I K S K P = + T C Der gechloene Regelkrei weit demnach da geforderte PT-Verhalten auf, 4

7 deen Zeitkontante T C gemäß der Aufgabentellung mit T C = zu wählen, oda folgende Beziehung für K P au der Forderung beteht: T C = K P = T I K S T I K S K P = K P,63 Die zugehörige Übertragungfunktion der gechloenen Regeltrecke lautet damit: F C () = + T C = +.3 Eigenchaften der geregelten Strecke Anhand der Pol-Nulltellen-Verteilung wie in Abbildung 4 viualiiert, it deutlich zu erkennen, da die Nulltellen de Regler mit den Poltellen der Strecke übereintimmen und omit da komplex konjugierte Polpaar kompeniert wurde. Imaginary Axi (econd ) Sytem: Fr Zero : i Damping:.3 Overhoot (%): 34.6 Frequency (rad/): 3.6 Sytem: Fr Zero :.5 3.4i Damping:.3 Overhoot (%): 34.6 Frequency (rad/): Real Axi (econd ) Sytem: Fr.5 Pole : Damping: Overhoot (%):.5 Frequency (rad/): Abbildung 4: Pol Nulltellenverteilung der Strecke & de Regler Au dieer Pol-Nulltellen-Kompenation geht unter Betrachtung der Sprungantwort hervor, da der für die Ozillation verantwortliche Einflu de Imaginärteil de komplex konjugierten Polpaar aufgehoben worden it, oda keine Überchwingungen mehr fetzutellen ind. 5

8 4 F y Sytem: F_{y} Settling time (econd): 3. F Geamt Amplitude.5 Sytem: F_{Geamt} Settling time (econd): Time (econd) Abbildung 5: Vergleich der Auregelzeit de Geamtyteme und der Strecke Sytem: F_{y} Peak amplitude: 3.9 Overhoot (%): 34.6 At time (econd):.9 F y F Geamt Amplitude.5 Sytem: F_{Geamt} Peak amplitude: >=.89 Overhoot (%): At time (econd): > Time (econd) Abbildung 6: Vergleich de Überchwingverhalten von Strecke und Regler Au dem vorherigen Aufgabenteil it bereit der Aymptotenverlauf der Regeltrecke bekannt, oda nur noch die Amplitudenverläufe de Regler und de gechloenen Regelkreie im Folgenden erläutert werden: Der Regler weit bei ω = einen Amplitudenwert von log( K P T I ) = 9,494dB 6

9 auf. Da der Regler lediglich eine Poltelle aufweit, welche ich im Urpprung befindet, it die zugehörige Amplitudenteigung db/dekade. Die Phae beginnt auf Grund der Poltelle im Urprung bei 9. Ab der Eckfrequenz ω e = 3,6rad/ ändert ich aufgrund de vorliegenden komplex konjugierten Nulltellenpaare die Amplitudenteigung um 4dB/Dekade, während eine Phaenänderung von 8 zu beobachten it. Der gechloene Regelkrei weit ebenfall eine Poltelle auf, diee befindet ich im Gegenatz zum Regler allerding nicht im Urprung, oda der Amplitudengang bei log(k S ) = db und der Phaengang bei beginnt. Aufgrund der vorliegenden Poltelle nimmt der Amplitudengang ab der Eckfrequenz ω e = rad/ um db/dekade ab, während ich die Phae um 9 ändert. Au dieen Daten ergeben ich für die jeweiligen Übertragungfunktionen folgende Aymptotenverläufe: Magnitude (db) Phae (deg) Strecke Regler Geamtytem Frequency (rad/) -8. Frequency (rad/) Abbildung 7: Vergleich der Auregelzeit de Geamtyteme und der Strecke Au der Abbildung geht alo hervor, da durch Einatz eine PID-Regler die Amplitude de gechloenen Regelkreie ich nur noch um db/dekade und eine geringere Phaenänderung von 9 vorliegt. 7

10 Regleraulegung mittle Polvorgabe. Auftellen der Regler Übertragungfunktion Im Folgenden it eine Aulegung eine PID-Regler vorzunehmen, oda mittel deen aufgrund von Stabilitätforderungen die Pole einer Regeltrecke mit P T - Verhalten und folgenden Kenngrößen K =,6; ω =,rad/; D =,8 vorgegeben werden können. Dabei it die gewünchte Pollage au dem Dämpfunggrad D W =,7, der Frequenz ω W = 3,rad/ owie der Zeitkontante T W =,5 zu entnehmen. Die zu der Regeltrecke zugehörige Übertragungfunktion F Strecke lautet: K F Strecke = ( ) ω + D ω +,6,68 +,74 + Für die allgemeine Übertragungunktion eine PID-Regler gilt: F Regler = K P ( + T I + T D) = K P T I T D + T I + T I. Betimmung der Übertragungfunktion de offenen Regelreie Darau reultiert folgende Übertragungfunktion F O für den offenen Regelkrei: F O = F Regler F Strecke = K P T I T D + T I + T I K ( ) ω + D ω +.3 Betimmung der Übertragungfunktion de gechloenen Regelkrei Au dem offenen Regelkrei lät ich der gechloene Regelkrei mittel folgendem Term betimmen, wobei Z O dem Zähler und N O dem Nenner de offenen 8

11 Regelkreie entprechen: F C = = F C = Z O N O + Z O K S K P (T I T D + T I + ) ( ( ) ) K S K P (T I T D + T I + ) + T I ω + D ω + T I K S K P 3 ω T I T D + T I + ) ( ) + T I (T D + D K P K S ω + T I + K P K S +.4 Auftellung der ÜF für einen allgemeinen PD T 3 -Regler Der gechloene Regelkrei weit ein P D T 3 -Verhalten auf. Eine allgemeine Übertragunfunktion für ein chwingungfähige P D T 3 -Sytem mit den gewünchten Eigenchaften D W, ω W und T W lautet: F W = = K + T D + T D T D ( ( ) ) ω W + D W ω OW + (T W + ) 3 T W ω W + ( K + T D + T D T D ωw ) ( ) + D W T W ω W + T W + D W ω OW + Au dem Koeffizientenvergleich de Nennerpolynom der Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie und dem der allgmeinen Übertragungfunktion für ein chwingungfähige P D T 3 -Sytem reultieren folgende Beziehungen: ω W T W ωw = T I K S K P ω + D W T W ω W = T D T I + DT I K P K S ω T W + D W ω OW = T I + T I K P K S Augehend von den durch den Koeffizientenvergleich erhaltenen Gleichungen können folgende Zuammenhänge für die Koeffizienten T I, K P und T D aufgetellt 9

12 werden: T I = T W ( ( ω ω W ) ) + D W ω OW K P =,77 T IωW K S ωt W,84 T D = T I ( ω W,49 ) + D W T W ω W T I D K S K P ω Mit den ermittelten Werten reultiert folgende Übertragungfunktion F C für den gechloenen Regelkrei: F C = T I K S K P 3 ω T I T D + T I + + T I (T D + D K P K S ω ) + T I ( + K P K S ) +,34 +,77+, ,3444 +,9667 +

13 .5 Analye de gechloenen Regelkreie Au Abbildung 8 geht hervor, da die Pole de gechloenen Regekreie, welche ich zum einen au einem reelen Pol und zum anderen ich au einem komplex konjugierten Polpaar zuammenetzen, in der linken Halbebene vorzufinden ind. Nach Stabilitätkriterium it alo der gechloene Regelkrei tabil. De Weiteren it ein ozillierend gedämpfte Verhalten de gechloenen Regelkreie mit einer Frequenz von f =,367rad/ auf Grund de komplex konjugierten Polpaar fetzutellen Imaginary Axi (econd ) Real Axi (econd ) Abbildung 8: Pol Nulltellenverteilung de gechloenen Kreie Im den Abbildungen 9 & it die Sprungantwort de gechloenen Regelkreie dargetellt. Hierbei it die Dämpfung von D W =,7 beonder gut zu erkennen, da trotz de ozillierenden Verhalten die maximale Amplitude lediglich mit 3,7% über dem tationären Endwert liegt, während die maximale Amplitude der Regeltrecke ca. dem,5-fachen de tationären Endwerte entpricht. De Weiteren it hervorzuheben, da die Auregelzeit de gechloenen Regelkreie mit 3,3 Sekunden deutlich unter der Auregelzeit der ungeregelten Strecke mit 9,57 Sekunden liegt

14 Abbildung 9: Auchnittvergrößerung: Sprungantwort de geregelten Syteme 3 F y.5 F c Amplitude.5 Sytem: F_c Settling time (econd): 3.3 Sytem: F_{y} Settling time (econd): Time (econd) Abbildung : Vergleich der Auregelzeiten

15 3 Bode-Verfahren 3. Betimmung von K R Au den gegeben Kenngrößen K = 5, ω = rad und D =,5 folgt ein PT- Verhalten für die Regeltrecke mit der Übertragungfunktion F () = K S ω + Dω + ω = Da im Frequenzbereich die Vertärkung de Regler K R nur Auwirkung auf die Amplitude und nicht auf die Phae hat kann im folgenden ein P-Regler augelegt werden um K R zu betimmen. Somit folgt mit F R () = K R für die offene Regeltrecke: F o () = K R K S ω + Dω + ω = K RK S D ω + ω Bei Betrachtung de Frequenzgange de offenen Regelkreie ergibt ich: F o (jω) = = K RK S ω D jω ω ( ω + ω ω + K R K ) S + j Dω ω ω + j Dω ω = K R K ω S ( ) ( + + ω ω Dω ω ) Bei der Durchtrittfrequenz ω d gilt F o (jω d ) =, oda K R ich wie folgt berechnen lät: F o (jω d ) = = ( ω d ω ( ω d ω K R K S ) ( + + K R K S ) ( + + ) Dω d ω ) Dω d ω ( ω d ω ( Dωd + ) + ω ) ( K R = ω d + ) + K S ω ( Dωd Mit den gegebenen Kenngrößen und der gewünchten Durchtrittfrequenz von ω ) 3

16 ω d = rad ergibt ich für die Reglervertärkung K R : K R = 5 (( 4) + 5 4,93 4 Magnitude (db) 4 6 F S K R F S Phae (deg) Sytem: F_S Phae Margin (deg): 7.8 Delay Margin (ec):.4 At frequency (rad/): 4.66 Cloed loop table? Ye Sytem: K_R \cdot F_S Phae Margin (deg):.8 Delay Margin (ec):.5 At frequency (rad/): Cloed loop table? Ye 8 Frequency (rad/) Abbildung : Vertärkung de Regler 3. Anhebung der Phaenreerve durch ein Lead Glied Durch die reine Vertärkung de Regler geht, wie in Abbildung veranchaulicht, Phaenreerve verloren. Im folgenden wird der Regler o modifiziert um dieen Verlut zu kompenieren. Dazu wird ein Lead-Glied augelegt um die Phaenreerve de Sytem auf ϕ R = 55 anzuheben. Hierzu it Kenntni über die Differenz der gewünchten und vorhandenen Phaenreerve erforderlich. Die vorhandene Phaenreerve lät ich wie 4

17 folgt berechnen: ϕ R = 8 + arctan D ω d ω ω d ω = 8 + arctan 5 4,76 Somit beträgt die Differenz au vorhandener und gewünchter Phaenreerve + Darau folgt da Frequenzverhältni Nun kann ω e ermittelt werden mit ϕ max = 55 ϕ R = 55,76 = 43,4 α = in ϕ max + in(ϕ max ) = 5,75 ω e = ω d α =,743 rad Um die Vertärkungreduktion auzugleichen mu der Vertärkungfaktor de Lead-Gliede zu gewählt werden. K = α =,743 Da Lead-Glied, welche die Phaenreerve de Sytem auf 55 anhebt ergibt ich durch die ermittelten Kenngrößen zu: ( ) ( ) + ω e +,743 F lead = K ( ) =,743 rad ( ) + α ω e + 5,75,743 rad In Abbildung 3 wird veranchaulicht, da die Durchtrittfrequenz mit dem P- Glied auf ω d = rad und dank dem Lead-Glied auch die Phaenreerve auf ϕ R = 55 angehoben wurde. 5

18 .4. Amplitude Time (econd) Abbildung : Sprungantwort de gechloene Kreie 3.3 Frequenzgang/Bode Diagramm 5 Magnitude (db) 5 F S F R F O 45 Phae (deg) Sytem: F_S Phae Margin (deg): 7.8 Delay Margin (ec):.4 At frequency (rad/): 4.66 Cloed loop table? Ye Sytem: F_O Phae Margin (deg): 55 Delay Margin (ec):.96 At frequency (rad/): Cloed loop table? Ye 8 3 Frequency (rad/) Abbildung 3: Gegenübertellung von Regeltrecke, Regler und de offenen Kreie Der Vergleich von ungeregelter Regeltrecke und gechloenem Regelkrei liefert einige Auagen über da Regelverhalten de entworfenem PDT-Regler. So tellt ich, wie in Abbildung 4 dargetellt, ein tationärer Regelfehler ein. 6

19 6 5 Sytem: F_S Final value: 5 4 Sytem: F_C Final value: 4.57 Amplitude 3 F S F C Time (econd) Abbildung 4: tationärer Regelfehler de PDT-Regler Sollte diee Abweichung verkraftbar ein, überwiegen die Vorteile der chnelleren Antiegzeit (Abbildung 5) und Settling-Time (Abbildung 6) gegenüber dem ungeregelten Sytem. 6 5 Sytem: F_S Rie time (econd):.8 Amplitude 4 3 Sytem: F_C Rie time (econd):.3 F S F C Time (econd) Abbildung 5: Antiegzeit de PDT geregelte Sytem 7

20 6 5 Sytem: F_S Settling time (econd): Sytem: F_C Settling time (econd):.67 Amplitude 3 F S F C Time (econd) Abbildung 6: Settling-Time de PDT geregelten Sytem 8

21 4 Regleraulegung mittel Ziegler-Nichol-Verfahren 4. Betimmung der Übertragungfunktion Abbildung 7: Gegebene Übertragungfunktion Die Übertragungfunktion der Sprungantwort: K S F () = + T e Tt Au der gegebenen Abbildung laen ich folgende Werte (nach Kapitel 7.; Skript) ableen: Totzeit: T t = tationärer Endwert: K S =,8 Zeitkontante: T = So ergibt ich folgende Übertragungfunktion: F S =,8 + e 4. Betimmung der Reglerkoeffizienten Die Reglerkoeffizienten werden mittel der Methode der Übertragungfunktionen und den bereit abgeleenen Werten ermittelt: 9

22 Reglertypen Reglereintellwerte K R T I T D P K S T T t PI,9 K S T T t 3,33 T t PID, K S T T t T t,5 T t Tabelle : Methode der Übertragungfunktionen 4.. P-Regler K R = K S T T t =,8 = 5 9 = 5,5 4.. PI-Regler K R =,9 K S T T t =,9,8 = 5 T I = 3,33 T t = 3,33 = 6, PID-Regler K R =, K S T T t =,,8 = 3 = 6,6 T I = T t = = 4 T D =,5 T t =,5 =

23 4.3 SIMULINK TM -Implementierung de Regelkreie Die Implementierung in SIMULINK TM : Step K Gain To Variable Time Delay.8 + Tranfer Fcn Scope Contant 5 Scope4 K /Ti Kp Integrator To Variable Time Delay.8 + Tranfer Fcn Contant K K /Ti Kp Integrator Contant3 To Variable Time Delay3.8 + Tranfer Fcn3 Gain du/dt Derivative Scope3 Abbildung 8: P, PI owie PID geregelte Sytem

24 Die Sprungantworten der jeweiligen Regler:.6.4 Sprung P Regler PI Regler PID Regler t [] im Abbildung 9: Sytemantwort für P, PI owie PID geregelte Sytem Die jeweiligen Stellaktivitäten: P Regler PI Regler PID Regler t [] im Abbildung : Stellverhalten P,PI und PID geregelten Syteme

25 Um die Stellaktivität zu reduzieren wird ein PT Glied hinzugenommen omit wird der Regelkrei mittel eine PIDT Regler geregelt. Da gewählte PT Glied hat folgende Eintellungen: F P T = K P =,5 T =,5 K P + T Die folgende Abbildung zeigt da Schaltbild de Regelkreie gefolgt von der Stellaktivität und der Sytemantwort K K Kp.5.+ T Glied To Totzeit.8 + Strecke Step /Ti Integrator T_t du/dt Sytemaktivitaet TD Differentiator K Stellaktivitaet Kp.8 K To Totzeit + Strecke /Ti Integrator TD du/dt Differentiator T_t Abbildung : PIDT geregelte Sytem 3

26 5 PID Regler PIDT Regler t im [] Abbildung : Stellverhalten für PID und PIDT geregelte Sytem E it deutlich zu ehen, da da Überchwingverhalten erheblich verbeert wurde, eine mehrfache Korrektur de Auchlag wird vermieden..8 PID Regler PIDT Regler t [] im Abbildung 3: Sytemantwort für PID und PIDT geregelte Sytem 4

27 4.4 Einflu der Totzeit auf die Phaenreerve Phaenreerven: Für da Sytem ohne Totzeit: 3,75 für da Sytem mit Totzeit: 5,75 Somit beträgt die Differenz durch die Totzeit: ϕ R,Tt= ϕ R,Tt= = 3,75-5,75 = 8,5749 e wird durch die Totzeit von Sekunden eine Phaenreerve von 8,57 aufgebraucht..5 F S (T t =) Einheitkrei F S (T t =).5 Imaginary Axi Real Axi Abbildung 4: Frequenzgang-Ortkurve mit/ohne Totzeit 5

28 Die Phaenreerve in äquivalente Totzeit umgerechnet ergibt nach Formel au dem Skript: ϕ(ω) = ω T t wobei ϕ in Radiant angegeben werden mu und tatt der Phae ϕ(ω) der Phaenrand 8 ϕ(ω) betrachtet wird 8 ϕ(ω) T t = ω T t= = 8 ϕ(ω T t=) ω Tt= T t= = 8 ϕ(ω T t=) ω Tt= = 56,5.748 = 8,863 = 64, = 6,863 6

29 A Matlab-Dateien 7