( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

Transkript

1 R. Brinkmann Seite Löungen Grundaufgaben für lineare und quadratiche Funktionen I e: E e f( x) = x+ Py 0 f( x) = x+ Px 0 E E E E E6 E7 E8 E9 E0 f x = mx + b mit m = und P( ) f x = x P( );P( ) f( x) = x+ f( x) = x+ ;f( x) = x+ P f( x) = x 7;P( ) g( x) = x = ( ) ( ) ( ) f x x x P 0 ;P 0 ;P 0 ;S y x x = + = ( ) + f x x x f x x S f x = x + ;f x = x x P ;P f(x) = x 6x+ 6;f (x) = x + x P( );P( );S( );S ( ) Abtand: + = 7 7 P ( ) ; P ( ) ; P ( ) f ( x ) = x x 6 6 Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von

2 R. Brinkmann Seite E e a) x + y + z = { } x y z = L = ;; x+ y+ z = b) x y+ z = { } x + y z = L = ;; x+ y z = Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von

3 R. Brinkmann Seite en: A Achenchnittpunkte einer Geraden. Berechnen Sie die Achenchnittpunkte der folgenden Geraden: f(x) = x + A f( x) = x+ Schnittpunkt mit der y Ache : Bedingung: x Wert = 0 y = f 0 f( 0) = 0+ f( x) = Py 0 f( x) = x+ Schnittpunkt mit der x Ache : Bedingung: y = f x = 0 x + = 0 x = x = x = Px 0 A A Gerade mit vorgegebener Steigung durch einen Punkt. Die Steigung einer Geraden ei m =. Sie oll durch den Punkt P (- ) verlaufen. Berechnen Sie die Funktiongleichung. f x = mx + b mit m = folgt f x = x + b P( ) f( ) = + b = 6+ b = + 6 b = + 6 b = f x = x+ Vorgehenweie:. Der Wert der Steigung und die Koordinaten de Punkte P werden in die Funktiongleichung eingeetzt.. Die o enttandene Gleichung wird nach b aufgelöt. Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von

4 R. Brinkmann Seite A A A A Gerade durch Punkte. Gegeben ind die Punkte P (- ) P ( - ). Berechnen Sie die Funktiongleichung. P( ); P( ) für die Steigung m gilt: y y 6 6 m = = = = x x ( ) 6 f( x) = x+ b 6 P( ) f() = + b= + b= b = + b = + b = f( x) = x+ Vorgehenweie:. Die Steigung m wird mit der Steigungformel berechnet.. Die Koordinaten eine der beiden Punkte (hier P ) werden in die Funktiongleichung eingeetzt.. Die o enttandene Gleichung wird nach b aufgelöt. Schnittpunkt zweier Geraden. Berechnen Sie den Schnittpunkt zweier Geraden mit den Funktiongleichungen: f x = x + und f x = x + f( x) = x + und f( x) = x + f(x ) = f (x ) x + = x + + x x + = x = : x = y = f (x ) = f P = + = + = Vorgehenweie: Für den Schnittpunkt beider Geraden gilt: f (x ) = f (x ) Da Gleichetzen beider Funktiongleichungen liefert die x- Koordinate de Schnittpunkte. Den y- Wert erhält man durch Einetzen de Werte in eine der beiden Funktiongleichungen. Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von

5 R. Brinkmann Seite A A Die zu einer Geraden enkrecht verlaufende Gerade. Berechnen Sie die zu einer Geraden enkrecht verlaufende Gerade durch den Punkt P. f x = x 7 P f x = x 7 P m = m = = g( x) = x+ b m P ( ) g = + b= + b = + b = + b = g( x) = x Vorgehenweie: Zuert wird die Steigung m der enkrechten Geraden au der Steigung der g x = m x+ b bekannten Geraden betimmt. Die x Koordinate von P wird in die Gleichung eingeetzt. Darau lät ich dann b errechnen. Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von

6 R. Brinkmann Seite A6 A6 Achenchnittpunkte einer Parabel. Berechnen Sie die Achenchnittpunkte folgender Parabel und zeichnen Sie den Graphen. f( x) = x x Hinwei: Die x Koordinate de Scheitelpunkte liegt ymmetrich zu den Nulltellen. f( x) = x x P 0 y y = f 0 = 0 0 = P 0 y y x P x 0 f(x ) = 0 x x = 0 quadratiche Gleichung = = = = S( ) p p = ;q= D = q D = + = = = p x = + = x = ± D P 0 P 0 / x x x = = x + x + y f x f x = = = = Vorgehenweie: Die x Koordinate de Scheitelpunkte liegt ymmetrich zu den Nulltellen. Der Schnittpunkt mit der y- Ache hat die x- Koordinate 0, alo f(0) = y Schnittpunkte mit der x- Ache haben die y- Koordinate 0, alo f(x ) = 0 Da führt auf eine quadratiche Gleichung, deren Löung die x- Koordinaten der Achenchnittpunkte ind. A6 Der Graph Der Graph einer quadratichen Funktion it eine Parabel. Jede Parabel it ymmetrich zu der Ache, die durch den Scheitelpunkt führt. Fall e Schnittpunkte mit der x- Ache gibt, liegen auch diee ymmetrich zu der Scheitelache. Die x- Koordinate de Scheitelpunkte liegt genau in der Mitte zwichen den Nulltellen. f( x) 0 x Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite 6 von

7 R. Brinkmann Seite A7 Scheitelpunktform, Scheitelpunktkoordinaten. Berechnen Sie die Scheitelform der Funktion f(x) und ermitteln Sie die Scheitelkoordinaten. f( x) = x x+ A7 Der Koeffizient von x wird augeklammert. In der eckigen Klammer wird eine quadratiche Ergänzung durchgeführt. Nach Multiplikation mit dem Koeffizienten erhält man die Scheitelpunktform, au der ich die Scheitelkoordinaten ableen laen. f x = x x+ f( x) = x x+ f( x) = x x+ +. bin. Formel f( x) = ( x ) + f x = x + S Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite 7 von

8 R. Brinkmann Seite A8 Schnittpunkt von Parabel und Gerade. Eine Parabel wird von einer Geraden gechnitten. Betimmen Sie die Schnittpunkte. f( x) = x + 7 f( x) = 7 x x A8 Für den Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel gilt: f x = f x Da Gleichetzen beider Funktiongleichungen liefert eine quadratiche Gleichung. Deren Löung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt. Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einetzen der Werte in f oder f. f ( x) f ( x) 0 x f( x) = x + ;f( x) = x x 8 8 Bedingung für Schnitt: f x f x x/ = ± D x = = x+ = x x x + x+ x+ + = x + x+ x+ + = x + x+ = x x = 0 p = ;q= p D = q= + = D = p x = + = = 7 6 y = f = + = = 7 y = f( ) = ( ) + = = P P ( ) Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite 8 von

9 R. Brinkmann Seite A9 Schnittpunkt zweier Parabeln. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln und den Abtand der Scheitelpunkte. 9 f( x) = x 6x + 6 f( x) = x + x A9 f(x) = x 6x+ 6 9 f(x) = x + x Für den Schnittpunkt beider Parabeln f x = f x gilt: Da Gleichetzen beider Funktiongleichungen liefert eine quadratiche Gleichung. Deren Löung liefert die x- Koordinaten für den Schnittpunkt. Die dazugehörigen y- Koordinaten erhält man durch Einetzen der Werte in f oder f. Da beide y- Koordinaten auf gleicher Höhe liegen und au der Symmetrie der Parabel findet man die x- Koordinate der Scheitelpunkte. Damit gelangt man an die Scheitelkoordinaten und kann den Abtand betimmen. f( x) g( x) 0 6 x f(x) = f (x) 9 x 6x+ 6 = x + x 9 x + x 6x x+ 6+ = 0 7 x x+ = 0 7 x 6x+ = 0 x 6x+ + = 0 x 9+ = 0 x = x = x = x = x = x = f = 0+ 6 = f() = 6+ 6= P( ) P ( ) x - Koordinate der Scheitel: + x = x = = y = f (x ) = f () = = y = f (x ) = f () 9 = 9+ = S( ) S ( ) Abtand: + = 7 Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite 9 von

10 R. Brinkmann Seite A0 Parabel durch drei Punkte. Berechnen Sie die Funktiongleichung der Parabel, die durch die Punkte P ( - - ) P ( - ) P ( ) verläuft. A0 Durch Einetzen der Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Funktiongleichung entteht ein Gleichungytem mit drei Variablen. f( x) = ax + bx+ c P( ): a b+ c = P( ): a+ b+ c = P( ): 9 a+ b+ c = Diee it mit den Gauß- Algorithmu löbar und liefert die Koeffizienten a, b und c. 0 II I 9 III III II c = 6 c = 7 6b ( ) = b = 6 7 a + ( ) = a = f( x) = x x 6 6 Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite 0 von

11 R. Brinkmann Seite A Der Gauß- Algorithmu. Löen Sie da Gleichungytem mit dem Gauß- Algorithmu: a) x + y + z = b) x y+ z = x y z = x + y z = x+ y+ z = x+ y z = A a) x + y + z = x y z = x+ y+ z = b) x y+ z = x + y z = x+ y z = II I III I z = 9 z = y = y = x+ + = x = II I III I :7 0 6 : 0 0 III II z = y = y = x + = x = Ertellt von R. Brinkmann p_lin_quad_fkt_0_e.doc :8 Seite von