Partialbruchzerlegung in oder

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1 opyright, Page of 0 Partialbruchzerlegung in oder. Einführung und Grundlagen Die Partialbruchzerlegung kann man nur dann umfaend begreifen, wenn man grundlegende Kenntnie im Bereich der lgebra (inbeondere über Polynome) vorweien kann. Im Folgenden werden diee wiedergegeben, jedoch i.d.r. nicht bewieen. Bemerkung : Ein Polynom p K[T] it genau dann invertierbar, wenn Grad(p)=0 it. D.h. die einzigen invertierbaren Polynome von K[T] ind die Polynome vom Grad 0, alo die kontanten Polynome a au K[T]. Bewei: Sei f ein invertierbare Polynom au K[T]. Da bedeutet, da e ein Polynom g gibt mit f i g=. Da da kontante Polynom den Grad 0 hat, müen nach der Gradformel auch die Polynome f und g einen Grad 0 haben. Da f nicht da Nullpolynom ein kann, mu f alo den Grad 0 haben. Lemma.: Die Einheitengruppe der Polynome au K[T] it K X, alo alle Polynome de Grade 0 mit der Form a 0 T 0 = a 0, wobei a 0 ein Element au dem zugrunde gelegten Körper K it. Mit Hilfe der Diviion mit Ret erhalten wir weiter unten den euklidichen lgorithmu in K[T]. Propoition.: (Diviion mit Ret) Zu Polynomen f, g K[T] mit f 0 gibt e eindeutig betimmte Polynome q, r K[T] mit g = qf r und Grad(r) < Grad(f). Betimmen Sie Polynome q, r [T] o, da T 7 T 5 T 3 =(T 3 T) q r alo g = f q r erfüllt it. mit Grad(r)<3, Dazu führen wir die Polynomdiviion durch: T 7 T 5 T 3 : (T 3 T) = T 4 T -(T 7 T 5 T 4 ) -T 4 T 3 -(- T 4 -T -T) T 3 T T -( T 3 T ) T Und wir erhalten T 7 T 5 T 3 = (T 3 T) (T 4 T) T

2 opyright, Page of 0 Der nun folgende euklidiche lgorithmu it ehr bedeutend für weite Teile der Mathematik. Im Prinzip funktioniert dieer genau wie ein Zwilling, welcher mit Zahlen handtiert. Satz.3: (Euklidicher lgorithmu) Zu f, g K[T]\{0} gibt e einen ggt h K[T] und Polynome p, q K[T] mit h= pf qg Ein Beipiel wird die Erinnerungen auffrichen. Bepiel: Wir betimmen einen ggt h [T] von g= T 7 T 5 T 3 und f=t 3 T und finden Polynome p, q [T] mit h = p(t 3 T) q(t 7 T 5 T 3 ). Dazu teilen wir g durch f mit Ret, wie oben. Da Ergebni lautet: T 7 T 5 T 3 = (T 3 T) (T 4 T) T. Sei r = T der Ret bei der Diviion. E it r 0. Wir teilen f durch r mit Ret: T 3 T -(T 3 ) T : ( T ) = T lo g=fqr mit T 3 T = (T )T T. Sei alo r =T. Da r 0, teilen wir r durch r mit Ret. Durch Polynomdiviion erhalten wir g=fqr: T = (T-)(T). Sei r 3 =. E it r =r r 3 0, und e folgt =ggt(r 3, r ) = ggt(r, r ) = ggt(r, f)= ggt(f, g). Zur Berechnung der Polynome p und q tellen wir die Gleichung oben nach den Reten um: = T (T-)(T) T = (T 3 T)-T(T ) T = (T 7 T 5 T 3 ) - (T 3 T) (T 4 T) Seien f, g K[T] \ {0}. It ein ggt(f, g) o heißen f und g teilerfremd. nder formuliert, wenn e kein Polynom vom Grad gibt, da owohl f al auch g teilt, dann gibt e Polynome f * und g * mit ff * gg * =. Diee Erkenntni geht auf den Satz von Bezout zurück. Die Polynome f=x 4 X 3 X X und g=x X ind teilerfremd, da bei einer Polynomdiviion ein Ret über bleibt. In der Tat gibt e dann zwei Polynome f * und g *, o da oben tehende Gleichung erfüllt it. ff * gg * = (X 4 X 3 X X)(-X) (X X)(X 3 )=.

3 opyright, Page 3 of 0 Eine wichtige Rolle im Ring der ganzen Zahlen pielen die Primzahlen. Eine Zahl z au den ganzen Zahlen, für z heißt Primzahl, fall au z=ab mit a, b folgt, da a oder b invertierbar it. Die Rolle, die Primzahlen in pielen, werden die ogn. Irreduziblen Polynome in K[T] pielen. Ein Polynom n i at i K[T] heißt normiert, fall a n = it. i= 0 Da Polynom T 3 7T 6 it ein normierte Polynom in [T], da der Koeffezient de höchten Grade a n = it. Ein normierte Polynom f K[T] mit Grad(f) heißt irreduzibel, fall au f=gh mit g, h K[T] folgt, da g oder h invertierbar ind, d.h. g oder h mu eine Einheit ein. f= gh g oder h ind invertierbar. Wir nennen ein Polynom irreduzibel, fall ein Grad mindeten it und fall jede Polynom au K[T], da f teilt, entweder - Grad 0 hat, alo au K x ein kontante Polynom it oder - ein kalare Vielfache von f it. Ein normierte Polynom f, da nicht irreduzibel it heißt reduzibel. Sei f =T [T], dann it f irreduzibel. T it auchließlich durch ein Element au der Einheitengruppe und durch ich elbt teilbar. Da Polynom g= T 4 - it reduzibel, da nicht jede Polynom au K[T] da g teilt vom Grad 0 it oder ein kalare Vielfache von g. (T-) (T 4 -) und (T-) T 3 -T T-, d.h. (T-) it ein Teiler von g. Bemerkung : lle normierten Polynome mit Grad K[T] (lineare Polynome: f = *T a 0 T 0 ) ind irreduzibel. Bemerkung 3: Wenn f, g K[T] irreduzibel ind, o ind ie teilerfremd oder gleich. Bemerkung 4: Sei f K[T] irreduzibel, eien g, h K[T], und e gelte f gh. Dann gilt f g oder f h. Satz.4: (Eindeutige Zerlegung von Polynomen in irreduzible Faktoren) Jede Polynom f K[T] mit Grad(f) lät ich al Produkt f = e*p p n wobei e K x, alo ein kontante Polynom, und p,, p n irreduzibel, chreiben. Die Einheit e und die Polynome p,, p n ind (bi auf die Reihenfolge) eindeutig betimmt.

4 opyright, Page 4 of 0 Wir hatten weiter oben geehen, da die normierten linearen Polynome irreduzibel ind. Wenn in der Zerlegung eine Polynom f=ep p n K[T] in irreduzible Faktoren alle Faktoren p i linear ind, o agt man, da da Polynom f in Linearfaktoren zerfällt. Ein einfache Beipiel wäre (T ) = T * T. Sei f K[T] ein Polynom. Man nennt ein Körperelement λ K eine Nulltelle von f, wenn f( λ ) = 0 it. Sei f(t):=t T K[T], dann it λ = eine Nulltelle, denn f()=-=0. Wir hatten oben, nach der Definition von irreduzibel geehen, da Polynome vom Grad in K[T] irreduzibel ind. Inbeondere ind Polynome der Form T-λ, λ K, irreduzibel. Die folgende Propoition zeigt, da jede Nulltelle λ von f K[T] zu einem irreduziblen Faktor T-λ von f korrepondiert. Satz.5: (Nulltellen und irreduzible Faktoren) Ein Element λ K it Nulltelle von f K[T] f=(t- λ )q für ein Polynom q K[T]. Obige Propoition impliziert, da alle Polynome f K[T] Nulltellen beitzen, wenn f ohne Ret zerlegt werden kann. D.h. zerfällt f in Linearfaktoren, o hat f mind. eine Nulltelle. Kann man alo einen linearen Faktor (der irreduzibel it) abpalten, o exitiert eine entprechende Nulltelle. Der Körper wirkt ich auf die Zerlegbarkeit und omit auch auf die Nulltellen au. q(t- λ )= [X 7X3X](X) = X 3 8X 0X3 X=- it eine Nulltelle. Korollar.6: Seien λ,..., λ verchiedene Nulltellen von f K[T] mit Vielfachheitenα( λ ),..., α( λ ). Dann gibt e ein Polynom q K[T], o da α( λ ) α( λ ) f= ( T λ )... ( T λ ) q ( T λ) f( λ )=f()=0. α q = (x -) (x) = x 5 x 4-4x 3-4x x. Korollar.7: Sei f ein Polynom in K[T] vom Grad n. Seien f K[T] mit Vielfachheiten ( ),..., ( ) α λ α λ. Dann gilt λ,..., λ verchiedene Nulltellen von i= αλ ( ) n. i

5 opyright, Page 5 of 0 Sei f=(t-) (T-3) ein Polynom über dem Körper. So it die Summe der algebraichen Vielfachheiten α () = und α (3) =, alo n=4. Dagegen it für g=(t-) (T ) α () =, und (T ) hat bekanntlich in keine Nulltelle (aber in ). Natürlich gilt wieder da Korollar.7, 4. Korollar.8: (nzahl der Nulltellen von Polynomen) Ein Polynom f K[T], f 0, vom Grad n hat höchten n verchiedene Nulltellen. Wir haben weiter oben geehen, da normierte Polynome vom Grad in K[T] irreduzibel ind. Gibt e weiter irreduzible Polynome von beliebigem Grad? Weiter oben haben wir fetgetellt, da Polynome mit Nulltellen in lineare Faktoren zerfallen, d.h. da ie reduzibel ind. Der zugrunde gelegte Körper pielt alo eine ganz bedeutende Rolle. Einen Körper K, für den jede Polynom p K[T] in Linearfaktoren zerfällt, nennt man algebraich abgechloen. Satz.9: (Irreduzible Polynome in [T]) Die irreduziblen Polynome in [T] ind die normierten Polynome vom Grad. Satz.0: (Hauptatz der lgebra) In [T] zerfällt jede Polynom in Linearfaktoren. Satz.0, welchen wir o nebenbei erwähnen, it ein ehr bedeutender Satz au der lgebra..f. Gauß hat dien in einer Diertation ertmal bewieen. Der Körper der komplexen Zahlen it algebraich abgechloen, und omit ind auchließlich die normierten linearen Polynome elbt irreduzibel in [T]. Satz.: (Irreduzible Polynome in [T]) Wenn f [T] irreduzibel it, dann hat f den Grad oder, und e gibt in [T] irreduzible Polynome vom Grad. bchließ werden wir dieen bchnitt mit einem bedeutenden Satz, welcher oftmal gewinnbringend eingeetzt werden kann. Inbeondere für die Partialbruchzerlegung pielt dieer Satz eine bedeutende Rolle:

6 opyright, Page 6 of 0 Satz.: Ein Polynom f K[T] vom Grad oder 3 it genau dann irreduzibel, wenn e keine Nulltellen in K hat. Bewei: Sei f K[T] ein Polynom vom Grad oder 3. Wenn f reduzibel it, o hat f einen Teiler g vom Grad. Dieer hat die Form at-b=a(t- b a ) für a, b K, a 0. E folgt, da b eine Nulltelle von f it. Umgekehrt a wenn f eine Nulltelle beitzt, o beagt Satz.5 gerade, da f reduzibel it.. Partialbruchzerlegung der reelle natz Wozu der ganze bchnitt, fragt ich wahrcheinlich mancher. E timmt: in den meiten Schriften zur Partialbruchzerlegung wird nicht explizit darauf hingwieen warum diee funktioniert, ondern nur wie diee anzuwenden it. Oftmal bleibt dann da Vertändni auf der Strecke. Zunächt definieren wir den zentralen Begriff diee bchnitte: Z Eine rationale Funktion der peziellen Getalt, wobei N ein irreduzible nicht-kontante Polynom, Z k N ein Polynom ( / 0) mit Grad(Z) < Grad(N) und k eine natürliche Zahl it, heißt Partialbruch. E wäre alo bpw. (x 3) x 3 oder x Partialbrüche über dem Körper. Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (=:PBZ) wird eine gebrochen rationale Funktion S(x)/Q(x) in eine Summe einfacherer Teile zerlegt. Zunächt wird mit Hilfe der Polynomdiviion der ganzrationale Teil abgepalten, und dann der echt gebrochen rationale in einzelne Partialbrüche zerlegt. Je nach nwendung wird zwichen reeller und komplexer Zerlegung unterchieden. nwendung findet die PBZ bpw. in der Integration oder bei den Laurentreihen. Wir gehen zunächt den Weg de reellen natze, wobei der komplexe natz in (einfacherer) rt und Weie au dieem folgt. Wie bereit erwähnt führt man im Falle, da der Grad de Zählerpolynom größer oder gleich de Grade de Nennerpolynom it eine Polynomdivion durch (alo tet dann, wenn e überhaupt möglich it). E wird alo der ganzrationale Teil abgepalten. E gilt dann alo S(X) R(X) = P(x), die folgt au der Diviion von S(x) : Q(x) = P(x) mit Ret R(x) S(x) = Q(x)P(x) R(x), und der anchließenden Diviion durch da Polynom Q(x). Im Folgenden brauchen wir un alo nur noch um den echtrationalen Teil der Funktion R(X) zu kümmern. Uner geteckte Ziel it e, eine beliebigege rationale Funktionen R(X), wobei Grad(R(X))<Grad(Q(x)) in einzelne Partialbrüch zu zerlegen.

7 opyright, Page 7 of 0 Der Nenner Q habe die Zerlegung über. Q(x)=a n (x-x ) m (x-x ) m ( x-x k ) mk (x a xb ) n (x a xb ) n (x a xb ) nl Wir wien, da über irreduzible Polynome maximal vom Grad ind, dehalb kann jede Polynom in obige Getalt faktoriiert werden. Darau ergibt ich dann folgender natz: R(X) = (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) k k (x x k ) (x x ) m (x x ) m m (x x ) m m (x x ) m Bx Bx B n x n x ax b n (x ax b ) (x ax b ) Bl x l B x B l l l n x l l nl. n x a x b (x a x b ) (x a x b ) l l l l l Nach dem Satz. haben die Partialbrüche der Form die Polynome der Form x axb, d.h. die Dikriminante mu negativ ein, alo 4b a < 0. Betrachten wir un da Beipiel eine Partialbruche x 3 von oben, o können wir fettellen, da da Nennerpolyom tatächlich von dieer Form it, denn x = - < 0. Zuammenfaen können wir alo fethalten: Eine einfache Nulltelle x 0 liefert einen Summanden mit dem Nenner (x-x 0 ), eine k-fache Nulltelle x 0 liefert die k Summanden mit den Nennern (x-x 0 ),, (x-x 0 ) k. Ein quadraticher, irreduzibler Term x axb liefert einen Summanden mit dem Nenner x axb, ein k-facher quadraticher, irreduzibler Term (x axb) k liefert k Summanden mit den Nennern (x axb),, (x axb) k. Um eine PBZ durchzuführen ind alo zunächt folgende Schritte notwendig: Evtl. Polynomdiviion Betimmung der Nulltellen de Nennerpolynom Faktoriierung de Nennerpolynom natz für die Partialbruchzerlegung auftellen. Da e eine derartige Dartellung überhaupt gibt vermittelt un der nun folgende l l Satz.: Jede rationale Funktion lät ich additiv zerlegen in ein Polynom und eine Summe von Partialbrüchen. Durchgeführt wird diee Zerlegung mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Einen volltändigen Bewei führen wir hier nicht, obwohl wir da notwendige Rützeug dazu in bchnitt bereitgetellt haben. llerding kizzieren wir einen möglichen Bewei:

8 opyright, Page 8 of 0 E Sei p/q eine rationale Funktion gegeben, dabei darf q nicht da Nullpolynom ein. E kann q in nichtkontante Faktoren (Satz.4) zerlegt werden, etwa q=q q q m (m ). Für m= führt der euklidiche lgorithmu direkt zum Ziel, e ei alo m>. Wir betimmen die natürliche Zahl k, o da (q m ) k Teiler von q it, aber (q m ) k nicht mehr Teiler von q it. Sei etwa (q m ) k q* = q, da (q m ) k nach Vorauetzung Teiler von q it. q m it dann nicht Teiler von q*, alo ind wegen der Irreduzibilität von q m die Polynome q* und q m teilerfremd, o da au dem Lemma von Bezout folgt: q*bq m, für geeignete Polynome, B. Teilen wir diee Kongruenzgleichung nun durch q und multiplizieren wir diee anchließend mit p, o erhalten wir die gewünchte Form. Nun führt man noch auf analoge Weie den Induktionchritt von (m-) zu m durch fertig. Nun haben wir un alo davon überzeugt, da eine Partialbruchzerlegung für jede rationale Funktion durchführen lät, d.h. e müen die Löungen bzw. B zu obigem natz exitieren. Um diee Löungen zu erhalten exitieren verchiedente Methoden, welche jedoch alle auf dem gleichen natz von oben beruhen. Der Koeffizientenvergleich it der allgemeinte natz, welcher tet zu einer Löung führt. Nachteil dieer Methode it jedoch der hohe Rechenaufwand, da diee Methode auf ein lineare Gleichungytem führt. Bei nur einfach vorkommenden Nulltellen it e beer die og. Einetzmethode zu Verwenden. E exitieren noch mind. fünf weitere Methoden, allerding werden wir auf diee nicht eingehen. Der Koeffizientenvergleich und die Einetzmethode werden wir jeweil am Beipiel erläutern: E ei folgende rationale Funktion gegeben: R(X) x 4x x 6x 7 9x 4x x 6x 7 = = 5 4 x x x (x ) (x )(x ) = Bx (x ) x = B (x ) Dx E. x. Im letzten Schritt haben :=,, E:= geetzt, um die Indize nicht mit un herumchleppen zu müen. Nun müen wir die einzelnen Brüche mit dem gleichen Nenner verehen. Dann ergibt ich die Gleichung (*) 9x 4-4x 3 -x -6x7 = (x-)(x)(x ) B(x)(x ) (x-) (x ) Dx(x-) (x) E(x-) (x). = x 4 (D) x 3 (B--DE) x (B-D-E) x(b-d-e) x 0 (-BE) Da wir ja nur an den, B,, E intereiert ind, können wir den Nenner vernachläigen, da dort diee Variablen nicht zu finden ind. Nun ind wir in die Lage veretzt, ein LGS aufzutellen:

9 opyright, Page 9 of 0 Diee erweiterte Koeffizientenmatrix kann man mit Hilfe de Gauß-lgorithmu löen und erhält dadurch die Löungen =, B=, =3, D=4 und E=5. Die geuchte Partialbruchzerlegung de echt gebrochen rationalen Teil it damit x 4x x 6x 7 9x 4x x 6x 7 = 5 4 x x x (x ) (x )(x ) = = (x ) 3 (x ) 4x 5. x Die Koeffizientenmethode läuft tet nach folgendem Schema ab:. Gleichung (*) wird aufgetellt.. Die rechte Seite wird aumultipliziert und nach den Potenzen von x zuammengefat. 3. uf linker und rechter Seite der Gleichung weren die Koeffizienten der Potenzen x k miteinander verglichen. Die führt unmittelbar zu einem linearen (nxn)-gleichungytem. 4. Löen de LGS, bpw. mit der Gaußmethode oder mit numerichen Methoden. Diee Methode it, wie bereit angeprochen, inbeondere dann innvoll, wenn irreduzible Polynome de Grade vorkommen. E ei noch darauf hingewieen, da man durch Einetzen oviel beliebiger Zahlen, wie e Unbekannte gibt, ebenfall ein LGS entteht. Teten Sie die. Zum bchlu diee bchnitte tellen wir Ihnen an Hand eine Beipiel da Einetzungverfahren vor. E ei wieder die rationale Funktion gegeben: R(X) x 4x x 6x 7 9x 4x x 6x 7 = = 5 4 x x x (x ) (x )(x ) = Bx (x ) x = B (x ) Dx E. x Die führt wieder auf die Gleichung (*) 9x 4-4x 3 -x -6x7 = (x-)(x)(x ) B(x)(x ) (x-) (x ) Dx(x-) (x) E(x-) (x). Setzen wir die Nulltellen nacheinander ein, alo zunächt x:=, o erhalten wir: = 4 = 4B B =. Nun kommt die zweite Nulltelle an die Reihe, e ei alo x:=-: Und nun? = 4 = 8 = 3.

10 opyright, Page 0 of 0 Reelle Nulltellen ind alle aufgebraucht, doch e exitieren noch komplexe Nulltellen, denn die Gleichung x =0 hat bekanntlich die Löung i und i: 94i-6i7 = (DiE)(i-) (i) 8-i = (ED) (D-E)i. Da D und E reell ind, erhält man diee Variablen al Löung de LGS ED=8 und D-E=- D=4 und E=5. lät ich mit der Einetzmethode in dieem Beipiel nicht berechnen. Beipielweie kann man eine zuätzliche Beziehung wieder mit Hilfe der Koeffizientenmethode betimmen, denn 9= D =. Mit einem Trick geht die jedoch noch einfacher. Dazu multiplizieren wir die Gleichung (*) mit x, dann erhalten wir: x 4x x 6x 7x (x ) (x )(x ) = x Bx x (x ) Dx Ex x Nun bilden wir den Lime für x gegen unendlich, die entpricht bei rationalen Funktionen tet dem Lime der höchten Potenz (mit Koeffizient) im Zähler und Nenner. lo gilt x 4x x 6x 7x lim x (x ) (x )(x ) x Bx = lim x x (x ) x Bx = lim x x x x 5 9x = lim x 5 x lim lim x x (x ) Dx x x x x lim lim lim x Dx Ex lim x x Darau ergibt ich dann offenichtlich 9 = D. 3. Partialbruchzerlegung der komplexe natz Wie wir in bchnitt fettellen konnten bereiten dort inbeondere die reellen, irreduziblen Faktoren Probleme. Die Koeffizienten der Teile von den problembehafteten Faktoren, laen ich dadurch betimmen, da man zunächt einen komplexen PBZ durchführt und hinterher darau die Koeffizienten der reellen PBZ berechnet. Bei reellen Polynomen ind die Koeffizienten von komplexen Nulltellen tet komplex konjugiert zueinander. Beachten Sie, da x (z z )x z z = (x- z )(x - z). Da über alle Polynome in Linearfaktoren zerfallen, kann man entprechend den natz verändern: R(X) = (z z ) (z z ) k k (z z k ) (z z ) m (z z ) m m (z z ) m. Die Koeffizienten erhält man wie im Reellen.