Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Aufgabe B 1 - Lösungen

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Bernd Schmitz
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1 1 Abiturprüfung Mathematik 214 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnaien Wahlteil Analytiche Geometrie / Stochatik Aufgabe B 1 - Löungen klau_mener@eb.de.elearning-freiburg.de

2 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 2 Aufgabe B 1.1 Gegeben ind die Punkte A, B( ), C( ) und D( ). Da Quadrat ABCD it die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S. a) Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E. Betimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide eingechloen it. Berechnen Sie den Flächeninhalt de Dreieck BCS. (4 VP)

3 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 3 b) Betrachtet erden nun Quader, die jeeil vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieer Quader hat den Eckpunkt Q(2, 2, ). Berechnen Sie ein Volumen. Bei einem anderen dieer Quader handelt e ich um einen Würfel. Welche Koordinaten hat deen Eckpunkt auf der Kante BS? (4 VP)

4 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 B( ) C( ) S 4 Löung a) Koordinatengleichung von E Au den beiden Richtungvektoren SB = und SC = Ebene E betimmen ir zunächt mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor n E von E. SB SC = = der

5 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 BS CS = S Da e auf die Länge de Normalenvektor nicht ankommt, teilen ir noch durch 1 und erhalten n E = und darau die Koordinatengleichung E: x 2 + x 3 = d mit einem noch unbekannten d. Da die Spitze S der Pyramide in E liegt, können ir S einetzen und erhalten + = 6 = d. Ergebni: Die Koordinatengleichung von E lautet E: x 2 + x 3 = 6.

6 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 A B( ) C( ) 6 Winkel zichen der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide Zunächt betimmen ir einen Normalenvektor n F der Ebene F, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Au den beiden Richtungvektoren CA = 1 1 und CB = 1 bilden ir ieder da Vektorprodukt: CA CB = 1 = 1 Nach Diviion durch 1 ergibt ich n F = 1

7 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 n F = 1, n E = 7 Der Winkel zichen den beiden Ebenen E und F it über die folgende Formel gegeben: co α = n F n E n F n E E folgt n F n E = = und n F = 1 2 = 1 o ie n E = = 13 Somit haben ir co α =, orau ich mit dem GTR α 67,38 ergibt Ergebni: Der Schnittinkel zichen der Grundfläche der Pyramide und der Seitenfläche BCS beträgt eta 67,4.

8 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 B( ) C( ) S 8 Flächeninhalt de Dreieck BCS S E gilt A = BC h 2. Hierbei it h nicht andere al der Abtand de Punkte S zur Geraden durch die Punkte B und C. Berechnung von h: Wie üblich kontruiert man eine Hilfebene E, enkrecht zu der Geraden g durch B und C, o da der Punkt S in E liegt. Der Richtungvektor von g it BC = 1. Wir teilen durch 1 und nehmen da Ergebni al Normalenvektor n für E. B h C

9 9 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 1 n = B( ) C( ) S Nun haben ir n = 1, a un die Koordinatengleichung E: x 1 = d mit noch unbekanntem d liefert. Da S in E liegen oll, können ir S einetzen und erhalten d = und damit E: x 1 =. Eine Parameterform der Geraden g it gegeben durch g: x = b + tbc, alo konkret durch g: x = + t 1, t R. Al nächte betimmen ir den Schnittpunkt F von g mit E, indem ir g in die Koordinatengleichung von E einetzen.

10 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 g: x = 1 + t E: x 1 = S 1 Wir erhalten 1t = und damit t = 1 2. Eingeetzt in g liefert die den Schnittpunkt F von g mit E: = F Damit it nun h = FS = = = 13 die geuchte Höhe im Dreieck BCS. B S h C

11 h = 13 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 11 Berechnung von BC : S BC = 1 hatten ir bereit vorher betimmt. B h C E folgt BC = 1 2 = 1. Damit können ir nun endlich den Flächeninhalt de Dreieck BCS betimmen zu A = 1 13 = 6. 2 Ergebni: Da Dreieck BCS hat den Flächeninhalt A = 6 LE 2.

12 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 A B( ) C( ) D( ) S b) Volumen de Quader mit dem Eckpunkt Q(2, 2, ) Au den Koordinaten der Pyramide ird erichtlich, da der Urprung de Koordinatenytem in der Mitte der Pyramidengrundfläche liegt. Aufgrund der Symmetrieeigenchaften haben dann die Eckpunkte P und R de Quader die Koordinaten R 2, 2, und P 2, 2,. Die Strecken QP und QR haben omit beide die Länge. Der Punkt U hat dieelbe x 1 - und x 2 -Koordinate ie Q und liegt auf der Geraden durch B und S. Wir uchen alo einen Punkt auf der Geraden durch B und S mit x 1 = 2, und x 2 = 2,. C R S U Q P B A

13 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 B( ) S Q(2, 2, ) 13 Eine Parameterform der Geraden durch B und S it gegeben durch g: x = b + t BS, t R, alo durch g: x = + t, t R. Nun ien ir von vorher, da x 1 = x 2 = 2, gilt. Folglich it t = 2, und damit t = 2, alo t =,. C R S U P Q B A Durch Einetzen in g ergibt ich x 3 = 6. Der Punkt U hat omit die Koordinaten U 2, 2, 6. Der Vektor QU hat die Länge QU = 6 = 6.

14 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 14 Nun haben ir alle Angaben, die ir zur Berechnung de Quadervolumen benötigen: S QP = QR = und QU = 6. Damit folgt V = QP QR QU = 6 = 1 U P A Ergebni: R Q C Der Quader mit dem Eckpunkt Q 2, 2, hat da Volumen 1LE 3. B

15 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 1 Koordinaten de Eckpunkt auf der Kante BS bei einem Würfel Eine Parameterform für die Gerade g durch die Punkte B und S hatten ir bereit betimmt mit g: x = + t, t R Ein Punkt U auf g zichen B und S hat demnach die Koordinaten U t t t mit t 1 (für t = bekommt man den Punkt B und für t = 1 den Punkt S). Da der Würfel mit der Grundfläche zentriert um den Urprung liegt, it die x 1 - Koordinate die halbe länge der Strecke PQ. Somit gilt PQ = 2 ( t). C R S U Q P B A

16 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 U t t t RQ = 2 ( t) 16 Entprechend gilt QR = 2 ( t) S U hat die Höhenkoordinate x 3 = t. Da Q in der x 1, x 2 -Ebene liegt gilt omit QU = t. In einem Würfel ind alle Kanten gleich lang, d.h. QR = PQ = QU alo 2 t = t. C R U Q P B A Die löen ir nach t auf: 2 t = t t = 6t t = 11 Einetzen in U liefert U bz. U Ergebni: Der geuchte Eckpunkt hat die Koordinaten U

17 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 17 Aufgabe B 1.2 In einem Gefäß G1 ind 6 charze und 4 eiße Kugeln. In einem Gefäß G2 ind 3 charze und 7 eiße Kugeln. a) Au Gefäß G1 ird 2 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Betimmen Sie die Wahrcheinlichkeit, da mindeten Mal eine charze Kugel gezogen ird. Au Gefäß G2 ird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Betimmen Sie die Wahrcheinlichkeit, da genau 2 charze Kugeln gezogen erden und zar bei direkt aufeinander folgenden Zügen. (4 VP) b) Nun erden au G1 zei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in da Gefäß G2 gelegt. Anchließend ird eine Kugel au G2 gezogen. Mit elcher Wahrcheinlichkeit it diee Kugel charz? (3 VP)

18 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 G1: 6, 4 2 Mal Ziehen mit Zurücklegen 18 Löung a) WS für mindeten Mal charz au G1 Die WS für eine charze Kugel bei einmaligem Ziehen beträgt 6 1 =,6. Die Zufallvariable X gebe die Anzahl der gezogenen charzen Kugeln an. Da ir bei jedem Zug eine charze Kugel ziehen oder eben nicht, handelt e ich um ein Ja/Nein-Experiment (genauer: eine Bernoulli-Kette der Länge 2). Daher it X binomialverteil und geucht it P X. Dieen Audruck formen ir um zu P X = 1 P X 11, o da ir da Ergebni bequem mit dem GTR betimmen können: 1-binomcdf(2,.6,11) liefert den gerundeten Wert,96. Ergebni: Die geuchte WS beträgt,96 bz. 9,6%.

19 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 G2: 3, 7 8 Mal Ziehen mit Zurücklegen 19 WS für 2 charze Kugeln hintereinander au G2 Die WS für eine charze Kugel bei einmaligem Ziehen beträgt 3 1 eine eiße Kugel 7 1 =,7. Die WS für 2 charze und 6 eiße Kugeln (in irgendeiner beliebigen Reihenfolge) beträgt omit,3 2,7 6. =,3, für E gibt 7 Möglichkeiten, zei charze Kugeln hintereinander zu ziehen (im erten und zeiten Zug, im zeiten und dritten Zug,, im iebten und achten Zug). Die geuchte WS beträgt omit 7,3 2,7 6,741 Ergebni: Die geuchte WS beträgt eta,741 bz. 7,41%.

20 Ziehung au G2 Ziehung au G1 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 G1: 6, 4 G2: 3, 7 2 b) Wahrcheinlichkeit für charz Dartellung al Baumdiagramm G2: 3, 9 G2: 4, 8 G2: 4, 8 G2:, 7

21 Wahlteil 214 Aufgabe B 1 G1: 6, 4 G2: 3, 7 21 Gemäß der Pfadregel ergibt ich P charz au G = = =, Ergebni: Die WS eine charze Kugel au G2 zu ziehen beträgt,3 bz. 3%.

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