Transkript

1 Statitik für Kommunikationienchaftler Winteremeter 010/011 Vorleung Prof. Dr. Nicole Krämer Übung Nicole Krämer, Cornelia Oberhauer, Monia Mahling Löung Thema 5 Homepage zur Verantaltung: Löung Aufgabe 1 (Würfelurf) Ein Würfel ird einmal georfen. E gibt ech mögliche Ergebnie, 1,, 3, 4, 5, 6, je nachdem elche Zahl auf der Obereite ercheint. Dementprechend it Ω {1,, 3, 4, 5, 6}. Wir ind an den Wahrcheinlichkeiten für die folgenden Ereignie intereiert, enn man davon augehen kann, da der Würfel einandfrei it und jede Seite mit der gleichen Wahrcheinlichkeit fällt: a) Der Würfel zeigt die Zahl 1. P ({1}) 1 6 b) Die Anzahl der Augen it nicht gerade. P ({1, 3, 5}) c) Die Augenzahl it gerade, aber nicht größer al 3. P ({, 4, 6} {1,, 3}) P ({}) 1 6 Der Würfel ei nun manipuliert orden, o da die Augenzahlen 1,, 3 nun jeeil mit Wahrcheinlichkeit 1/1 auftreten und die übrigen Augenzahlen eine Eintrittahrcheinlichkeit von 3/1 beitzen. d) Berechnen Sie erneut die Wahrcheinlichkeit für die Ereignie a)-c). a ) Der Würfel zeigt die Zahl 1. P ({1}) 1 1 b ) Die Anzahl der Augen it nicht gerade. P ({1, 3, 5}) P ({1}) + P ({3}) + P ({5}) c ) Die Augenzahl it gerade, aber nicht größer al 3. P ({, 4, 6} {1,, 3}) P ({}) 1 1 Löung Aufgabe (Ergebniraum, Ergebni, Ereigni: Werfen von Würfel und Münze) Ein Experiment betehe au dem gleichzeitigen Werfen eine fairen Würfel und einer fairen Münze. a) Geben Sie den Ergebniraum Ω an. Wieviele Elemente beitzt dieer Ω {(1, K), (, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K), (1, Z), (, Z), (3, Z), (4, Z), (5, Z), (6, Z)} 1 Elemente b) Geben Sie drei beliebige Ergebnie an. A (3, K), B (, Z), C (5, Z) c) Geben Sie ein unmögliche Ereigni an. D (7, K) d) Wie groß it die Wahrcheinlichkeit de Ereignie der Würfel zeigt 5 und die Münze Kopf Anzahl güntiger Ereignie P ({(5, K)}) Anzahl möglicher Ereignie 1 1 oder über Unabhängigkeit: P (A B) P (A) P (B) P ( Würfel 5 ) 1 6 P ( Münze K ) 1 P ({ Würfel 5 } { Münze K })

2 Löung Aufgabe 3 (Ereignioperationen, Venn-Diagramm) Um ich ein Bild vom Verletzungriiko der ienchaftlichen Mitarbeiter am medizinichen Intitut zu machen, erden alle Mitarbeiter de Intitut befragt. Die 80 Peronen erden danach befragt, ob ie ich bei ihrer Arbeit chon mal verletzt haben (V : chon mal verletzt, V C : noch nie verletzt), und ob ie ihre Schutzkleidung immer getragen haben (S: Schutzkleidung immer getragen, S C : Schutzkleidung nicht immer getragen). Die Ergebnie der Befragung ind in dem folgenden Venn-Diagramm dargetellt: V S Ω 0) Ereignie definieren: V : chon mal verletzt S: Schutzkleidung immer getragen Gegenereignie: V C : noch nie verletzt S C : Schutzkleidung nicht immer getragen a) Bechreiben Sie die folgenden Ereignie verbal und ermitteln Sie die zugehörigen Anzahlen: (V S) C : noch nie verletzt und Schutzkleidung nicht immer getragen (n 35) (V S): chon mal verletzt und / aber Schutzkleidung immer getragen (n 0) S C : Schutzkleidung nicht immer getragen (n45) (V C S): noch nie verletzt und Schutzkleidung immer getragen (n 15) (V S C ): chon mal verletzt und Schutzkleidung nicht immer getragen (n 10) b) Wie groß it die Wahrcheinlichkeit, da eine zufällig gezogene Peron ihre Schutzkleidung immer getragen hat und ich chon mal bei ihrer Arbeit verletzt hat P (V S)

3 Löung Aufgabe 4 (Ergebniraum, Ereigni, Unabhängigkeit) Jemand irft eine faire Münze dreimal hintereinander. a) Geben Sie einen geeigneten Ergebniraum Ω an. Wieviele Elemente hat dieer Ω {(K; K; K), (K; K; Z), (K; Z; K), (K; Z; Z), (Z; Z; Z), (Z; Z; K), (Z; K; Z), (Z; K; K)} 3 8 mögliche Ergebnie [alle gleich ahrcheinlich Laplace-Wahrcheinlichkeitdefinition zur Berechnung der Wahrcheinlichkeiten] b) Geben Sie die zu dem Ereigni E fällt genau zeimal Kopf gehörige Teilmenge A an und berechnen Sie P (A). A: E fällt genau zeimal Kopf. A {(K; K; Z), (K; Z; K), (Z; K; K)} Ω [A it eine Teilmenge der Ergebniraume A it ein Ereigni] P (A) Zahl der güntigen Fälle Zahl aller (gleich) möglichen Fälle 3 8 Betrachten Sie nun zuätzlich da Ereigni B: E fällt genau zeimal Zahl. c) Sind die beiden Ereignie A und B dijunkt B: E fällt genau zeimal Zahl. B {(Z; Z; K), (Z; K; Z), (K; Z; Z)} Zei Ereignie A und B ind dijunkt, enn A B, d.h. enn die Schnittmenge leer it (bz. enn ie keine gemeinamen Elemente aufeien). Hier: A B A und B ind dijunkt d) Geben Sie die Ereignie (A B) und (A B) in Worten ieder und berechnen Sie die zugehörigen Wahrcheinlichkeiten. A B: zeimal Kopf und zeimal Zahl P (A B) P ( ) 1 P (Ω) 0 unmögliche Ereigni A B: zeimal Kopf oder zeimal Zahl P (A B) P (A) + P (B) (Übergang zum Gegenereigni) (A und B dijunkt Axiom der Additivität) 3

4 Betrachten Sie nun noch da Ereigni C: E fällt mindeten einmal Zahl. e) Sind die beiden Ereignie A und C dijunkt C: E fällt mindeten einmal Zahl. C {(K; K; Z), (K; Z; K), (K; Z; Z), (Z; Z; Z), (Z; Z; K), (Z; K; Z), (Z; K; K)} [Zei Ereignie A und B ind dijunkt, enn A B, d.h. enn die Schnittmenge leer it.] Gibt e gemeiname Ergebnie Hier: A C {(K; K; Z), (K; Z; K), (Z; K; K)} e gibt gemeiname Ergebnie A und C ind nicht dijunkt f) Geben Sie die Ereignie (A C) und (A C) in Worten ieder und berechnen Sie die zugehörigen Wahrcheinlichkeiten. A C: zeimal Kopf und mindeten einmal Zahl P (A C) 3 8 [ P (A)] A C: zeimal Kopf oder mindeten einmal Zahl P (A C) P (A) + P (C) P (A C) (Additionatz) g) Sind A und C unabhängig Definition: A und C ind unabhängig, enn P (A C) P (A) und P (C A) P (C) oder P (A C) P (A) P (C) P (A C) 3 8 P (A) P (C) A und C ind nicht unabhängig 4

5 Löung Aufgabe 5 (Bedingte Wahrcheinlichkeit und Unabhängigkeit) Ein fairer Würfel erde einmal georfen. Betrachten Sie dazu folgende Ereignie: A: E ird die Zahl 1 geürfelt. B: E ird die Zahl oder 3 geürfelt. C: E ird eine Zahl größer al 3 geürfelt. Der Würfel ird o georfen, da Sie da Ergebni nicht ehen können. Eine andere Peron konnte da Ergebni jedoch ehen und verrät Ihnen, da eine gerade Zahl geürfelt urde (Ereigni D). 0) Ereignie definieren A{1} B{, 3} C{4, 5, 6} D{, 4, 6} a) Zeichnen Sie alle vier Ereignie in ein Venn-Diagramm ein. b) Berechnen Sie die bedingten Wahrcheinlichkeiten der Ereignie A, B und C, jeeil bedingt auf D. Wa fällt Ihnen auf P (A D) P (A D) P (D) 0 3/6 0 P (B D) P (B D) P (D) 1/6 3/6 1/3 P (C D) P (C D) P (D) /6 3/6 /3 Die Summe der bedingten Wahrcheinlichkeiten it 1. c) Sind die Ereignie A, B und C jeeil von D tochatich unabhängig P (A D) 0 P (A) P (D) P (A D) P (A) P (D) A und D ind tochatich abhängig P (B D) 1 6 P (B) P (D) P (B D) P (B) P (D) B und D ind tochatich unabhängig P (C D) P (C) P (D) P (C D) P (C) P (D) C und D ind tochatich abhängig 5

6 Löung Aufgabe 6 (Unabhängigkeit) Unter einer Gruppe von 60 feiernden Studenten ind 15 Fußballfan. Die Hälfte aller Aneenden ind Germanitik-Studenten mit einem Hang zur Poeie. Beide Eigenchaften eien unabhängig voneinander. Wir betrachten alo hier die beiden Ereignie: F: Die Peron it Fußballfan. P: Die Peron it ein Poet. Ich uche mir an dieem Abend genau eine(n) GeprächpartnerIn zufällig au: 0) Wahrcheinlichkeiten au der Angabe P (F ) P (F C ) 1 P (F ) P (P ) P (P C ) 1 P (P ) a) Mit elcher Wahrcheinlichkeit mu ich mir die chönten Momente der vergangenen Fußball- Saion in Reimform anhören (P (F P )) P (F P ) P (F ) P (P ) (Unabhängigkeit) , 15 8 b) Mit elcher Wahrcheinlichkeit mu ich mich den ganzen Abend über Fußball unterhalten, dafür aber unter keiner poetichen Darbietung leiden (P (F P C )) P (F P C ) P (F ) P (P C ) (Unabhängigkeit) , 15 8 [Wenn F und P unabhängig ind, dann ind auch alle Kombinationen von F, F C mit P, P C unabhängig.] c) Mit elcher Wahrcheinlichkeit kann ich mich gut amüieren (P (F C P C )) P (F C P C ) P (F C ) P (P C ) (Unabhängigkeit) , [Wenn F und P unabhängig ind, dann ind auch alle Kombinationen von F, F C mit P, P C unabhängig.] 6

7 Löung Aufgabe 7 (Wahrcheinlichkeitbaum, bedingte Wahrcheinlichkeiten) Wir betrachten folgende Experiment: Au einer Urne mit drei eißen und drei charzen Kugeln ird dreimal gezogen. Jede Kugel, die gezogen ird, oll nicht mehr in die Urne zurückgelegt erden ( Ziehen ohne Zurücklegen ), o da nach dreimaligem Ziehen nur noch 3 Kugeln in der Urne verbleiben. Der Wahrcheinlichkeitbaum in Abbildung 1 gibt an, ie ich die Auahlahrcheinlichkeit für eine betimmte Farbe im Laufe der dreimaligen Ziehung verändert. 1. Ziehung. Ziehung 3. Ziehung Abbildung 1: Wahrcheinlichkeitbaum zu Aufgabe 7 0) [Wahrcheinlichkeiten ändern ich von Ziehung zu Ziehung, da ohne Zurücklegen gezogen ird.] [Bedingte Wahrcheinlichkeit: Wahrcheinlichkeit für eine betimmte Farbe hängt (ab dem. Zug) von der / den voraugegangenen Ziehungen ab] a) Bechreiben Sie einen beliebigen Pfad (von ganz link nach ganz recht) mit Ihren eigenen Worten. Beipiel: 1. Ziehung: au Urne mit 3 und 3. Ziehung: au Urne mit und 3 3. Ziehung: au Urne mit und 7

8 b) Bechreiben Sie da Ereigni, zu dem die umrandete Wahrcheinlichkeit gehört, mit eigenen Worten. Bei der. Ziehung ird eine eiße Kugel au einer Urne mit 3 und Kugeln gezogen. Im voraugegangenen Zug urde bereit eine charze Kugel gezogen. c) An elchen Stellen müen ich Wahrcheinlichkeiten jeeil immer zu 1 aufummieren Wahrcheinlichkeiten für Kanten (hier Verbindunglinien), die einen gemeinamen Knoten (hier dargetellt durch eine Kugel) haben, ummieren ich zu 1. d) Setzen Sie die richtigen Wahrcheinlichkeiten ein, o jetzt noch Fragezeichen tehen. Alle folgt au c) bi auf: P (3. Ziehung 1. Ziehung und. Ziehung ) P (Ziehe au Urne mit 1 und 3 ) 1 4 e) Berechnen Sie die Wahrcheinlichkeit beim erten Ziehen eine charze und beim zeiten und dritten Mal jeeil eine eiße Kugel zu erhalten. P ({(; ; )}) P (1. Ziehung ) P (. Ziehung 1. Ziehung ) alo einfach am Pfad entlang multiplizieren P (3. Ziehung. Ziehung und 1. Ziehung ) , 15 0 f) Berechnen Sie die Wahrcheinlichkeit eine charze und zei eiße Kugeln zu ziehen. Wieo untercheidet ich Ihr Ergebni von dem in Teilaufgabe e) F : 1 und Kugeln ziehen F {(; ; ), (; ; ), (; ; )} P (F ) P ({(; ; )} {(; ; )} {(; ; )}) P ({(; ; )}) + P ({(; ; )}) + P ({(; ; )}) (Ereignie dijunkt) , 45 Da Ergebni untercheidet ich von dem in e), da hier die Reihenfolge der gezogenen Kugeln egal it. Hier 3 Möglichkeiten gegenüber von einer Möglichkeit in e) Wahrcheinlichkeit größer 8

9 Löung Aufgabe 8 (Wahrcheinlichkeitbaum, Satz von der totalen Wahrcheinlichkeit, Satz von Baye) Gegeben ei eine Urne mit einer charzen und zei roten Kugeln. Wir betrachten die Ereignie R: e ird eine rote Kugel gezogen und S: e ird eine charze Kugel gezogen. E erde nun dreimal au dieer Urne ohne Zurücklegen gezogen - die Urne it alo nach dem letzten Zug leer. 0) Ereignie definieren: R: e ird eine rote Kugel gezogen S: e ird eine charze Kugel gezogen a) Zeichnen Sie hierzu den zugehörigen Wahrcheinlichkeitbaum. b) Wie groß it die Wahrcheinlichkeit im zeiten Zug eine rote Kugel zu ziehen Die Wahrcheinlichkeiten kann man im linken und rechten At ableen, dort teht im. Zug jeeil ein R. P (. Zug R ) P ({(S, R)}) + P ({(R, R)}) P ( 1. Zug S ) P (. Zug R 1. Zug S ) + (Satz von der +P ( 1. Zug R ) P (. Zug R 1. Zug R ) totalen Wahrcheinlichkeit) c) Angenommen e urde im zeiten Zug eine rote Kugel gezogen. Mit elcher Wahrcheinlichkeit urde im erten Zug ebenfall eine rote Kugel gezogen Die Wahrcheinlichkeit lät ich über den Satz von Baye berechnen. Dabei findet da Ergebni der Aufgabe b) (P (. Zug R ) 3 ) Verendung: P ( 1. Zug R. Zug R ) P ( 1. Zug R. Zug R ) (Satz von Baye) P (. Zug R ) P ( 1. Zug R ) P (. Zug R 1. Zug R ) P (. Zug R )

10 Löung Aufgabe 9 (Wahrcheinlichkeitbaum, Satz von der totalen Wahrcheinlichkeit, Satz von Baye) Ein Taxifahrer hat Fahrerflucht begangen. Ein Zeuge hat den Wagen al blau identifiziert. In der Stadt arbeiten nur zei Taxifirmen, die Grünen und die Blauen : 85 Prozent der Taxi ind grün, 15 Prozent blau. Ein Tet ergibt, da der Zeuge die Taxifarbe in 80 Prozent aller Fälle richtig identifiziert. 0) Ereignie definieren: - G: grüne Taxi - B: blaue Taxi - ZG: Zeuge agt, er habe ein grüne Taxi geehen - ZB: Zeuge agt, er habe ein blaue Taxi geehen a) Zeichnen Sie den zugehörigen Wahrcheinlichkeitbaum. Tipp: Gehen Sie dabei von einer Population von 100 Taxi au und berechnen Sie zunächt die zugehörigen (aboluten) Anzahlen von blauen Taxi, die korrekt al blau identifiziert urden bz. fälchlichereie al grün, und dann die Anzahlen der grünen Taxi, die korrekt al grün bz. fälchlichereie al blau identifiziert urden. Tragen Sie dann antelle der Wahrcheinlichkeiten die aboluten Häufigkeiten der Ereignie tatächliche Autofarbe (blau, grün) und vom Zeugen identifizierte Farbe (blau, grün) in den Baum ein. Wahrcheinlichkeitbaum: b) Wie hoch it die Wahrcheinlichkeit, da da Taxi, mit dem die Fahrerflucht begangen urde, blau ar, enn berückichtigt ird, da der Zeuge den Wagen al blau identifiziert hat P (B ZB) P (B ZB) P (ZB) (Satz von Baye) P (ZB B) P (B) P (ZB B) P (B) + P (ZB G) P (G) (Satz von der totalen Wahrcheinlichkeit) 0, 8 0, 15 0, 8 0, , 0, 85 0, 1 0, 1 0, , 4% 0, 1 + 0, 17 0, , 4% 9 (alternativ: Werte direkt au Baum ableen) c) Wie erklären Sie ich da Ergebni Der Zeuge hat doch mit 80-prozentiger Wahrcheinlichkeit ein blaue Taxi identifiziert. Bei der bedingten Wahrcheinlichkeit geht mit ein, da e nur eine Minderheit an blauen Taxi in der Stadt gibt, nämlich nur 15%. Hätte man hier keine Zeugenauage gehabt, ürde man ogar nur mit 15%iger Wahrcheinlichkeit ein blaue Taxi verdächtigen. (Beipiel enttammt: Focu Nr. 17, , S. 114 und urde von Nobelpreiträger Daniel Kahneman erdacht.) 10

11 Löung Aufgabe 10 (Bedingte Wahrcheinlichkeiten, Satz von Baye) Ein Laboratorium hat einen Alkohol-Tet entorfen. Au den biherigen Erfahrungen eiß man, da 60% der von der Polizei kontrollierten Peronen tatächlich betrunken ind. Bezüglich der Funktioneie de Tet urde ermittelt, da - in 95% der Fälle der Tet poitiv reagiert, enn die Peron tatächlich betrunken it, - in 97% der Fälle der Tet negativ reagiert, enn die Peron nicht betrunken it. Ereignie definieren: - B+: Peron it betrunken - T +: Tet it poitiv - B : Peron it nicht betrunken - T : Tet it negativ Wahrcheinlichkeiten au der Angabe: - P (B+) 0, 6 P (B ) 1 P (B+) 1 0, 6 0, 4 - P (T + B+) 0, 95 P (T B+) 1 P (T + B+) 1 0, 95 0, 05 - P (T B ) 0, 97 P (T + B ) 1 P (T B ) 1 0, 97 0, 03 a) Wie groß it die Wahrcheinlichkeit, da eine Peron betrunken it, enn der Tet poitiv reagiert Satz von Baye P (B + T +) P (B + T +) P (T +) P (T + B+) P (B+) P (T + B+) P (B+) + P (T + B ) P (B ) 0, 95 0, 6 0, 95 0, 6 + 0, 03 0, 4 0, 57 0, 979 0, 58 Da heißt, man kann bei einem poitiven Tetergebni mit einer Wahrcheinlichkeit von 97, 9% davon augehen, da die Peron tatächlich betrunken it. b) Angenommen, nur 10% (tatt 60%) der von der Polizei kontrollierten Peronen ind tatächlich betrunken. Wie groß it dann die Wahrcheinlichkeit, da eine Peron betrunken it, enn der Tet poitiv reagiert Veränderte Angabe: P (B+) 0, 1 P (B ) 0, 9 Satz von Baye P (B + T +) P (B + T +) P (T +) P (T + B+) P (B+) P (T + B+) P (B+) + P (T + B ) P (B ) 0, 95 0, 1 0, 95 0, 1 + 0, 03 0, 9 0, 095 0, 779 0, 1 Da heißt, man kann bei einem poitiven Tetergebni jetzt nur noch mit einer Wahrcheinlichkeit von 77, 9% davon augehen, da die Peron tatächlich betrunken it. 11