Ableitungsberechnung mit der Grenzwertmethode. Besonders wichtig ist der Zentraltext über Ableitungen Datei Stand 30.

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1 Analyi Ableitungfunktionen Ableitungberechnung mit der Grenzwertmethode Beonder wichtig it der Zentraltet über Ableitungen 400 Datei 40 Stand 0. Dezember 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 40 Ableitungfunktionen Vorwort Da Problem einer jeden Bibliothek it ehr oft da Suchen und Finden eine geeigneten Tete. Da e ehr viele Tete zu Ableitungen gibt, die zudem noch über divere Funktionenbereiche verteilt ind, habe ich dieen Zentraltet für Ableitungen angefertigt. Er bringt eine ziemlich tief gehende Übericht über Ableitungen von allerlei Funktionen. Und zu jedem Thema findet man Verweie auf andere Tete, die noch mehr Übungen bereittellen. Außerdem folgt jetzt gleich eine Überichtlite aller Funktionen, in denen e um da handwerkliche Ableiten geht, alo nicht um deren Anwendungen. 400 Zentraltet für Ableitungen 40 Ableitungen mit der Grenzwertmethode berechnen. Bewei einiger Ableitungregeln mit der Grenzwertmethode. (Dieer Tet) 40 Hier werden nur mit der Potenzregel, der Regel für kontante Faktoren und der Summenregel ganzrationale Funktionen abgeleitet, dann gebrochen-rationale Funktionen, die man in die Potenzchreibweie etzen kann, und ebeno einfache Wurzelfunktionen. Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel werden nicht verwendet, 40 Kettenregel mit Anwendungen auf viele Funktionarten 405 Implizite Ableitungen (Teil auf (höherem) Schulniveau) 4 Ableitungen zuammengeetzter Funktionen, Differenzierbarkeit Ableitungbeipiele (Arbeit eine Schüler) 405 Ableitung gebrochen rationaler Funktionen Quotientenregel 406 Übungaufgaben au Ableitung von Wurzelfunktionen, auch komplizierte Funktionen Ableitung von Eponentialfunktionen. 450 Ableitung von Eponentialfunktionen mit volltändiger Induktion 460 Ableitung von Logarithmufunktionen 4705 Ableitung von trigonometrichen Funktionen 500 Implizite Ableitungen (Teil für Studenten) Februar 0.

3 40 Ableitungfunktionen Inhalt. Problem: Tangententeigung 4. Grenzwertmethode für die Tangententeigung 5. Am Beipiel der Funktion f 5. Anwendung auf beliebige Funktionen 6. Beipiele von Ableitungfunktionen mit natürlichen Eponenten f () () f - 9 f - 4 () f (4) (5) 0 f - f (6) 4 f (7) 5 f () n 4 5 (9) f bzw. f m n 6 4. Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen ganzen Eponenten 7 f 7 (0) - - f () - f 9 () 5. Ableitung von Potenzfunktionen mit Brucheponenten 0 () (4) f 0 f f (5) 6. Ableitungregeln 4. Die Kontante-Faktoren-Regel 4. Die Summenregel 4. Die Produktregel 5 Beweie dieer drei Regeln mit der Grenzwertmethode 6

4 40 Ableitungfunktionen 4 Problem: Tangententeigung Eine Gerade, die nicht parallel zur y-ache it, hat eine Gleichung der Form: y m n Kennt man von einer Geraden zwei Punkte P y und ihre Steigung m berechnen: Beipiel: y y mtan Die Gerade durch P und P 4 die Steigung m. 4 hat dann P y, dann kann man darau Ihre Gleichung kann man dann entweder o bekommen: y n P einetzen: n 5 ergibt: n 5 Ergebni: y oder durch Einetzen in die Punkt-Steigungform: y m y P einetzen: 5 Ergebni: y Die Aufgabe, die Gleichung einer Tangente in einem Punkt an eine Parabel aufzutellen, lät ich auf diee Weie noch nicht löen, denn wir kennen allenfall die Koordinaten de Berührpunkte, aber un it weder ein zweiter Punkt noch die Steigung der Tangente bekannt. Daher mute man eine neue Methode entwickeln, wie man die Steigung der Tangente berechnen kann. Nebentehende Abbildung macht anchaulich, wie wir da Problem löen werden. Um die Tangente t an die Parabel y im Kurvenpunkt P y mit y zu betimmen, wählt man zunächt einen zweiten, benachbarten Kurvenpunkt Q au. Die Gerade (P Q ) it dann zwar keine Tangente (ondern eine Sekante), aber doch eine Gerade mit ähnlicher Lage wie die Tangente. Je näher Q bei P liegt, deto näher kommt auch die Sekante der Tangente. Beipielweie erhält man mit Q (iehe Abb.) chon eine Sekante, die näher an der Tangente liegt al. Bewegt ich dieer Nachbarpunkt Q auf P zu, wird gedanklich au der Sekante die Tangente. Und mit dieem Trick kann man tatächlich die Tangententeigung berechnen. a D y P P P Dy Q Q t

5 40 Ableitungfunktionen 5 Grenzwertmethode für die Tangententeigung. Am Beipiel der Funktion f Geucht it die Steigung der Tangente im Punkt P y. Q Weil P auf der Parabel y liegt, it y, alo it der gegebene Berührpunkt: P Von geht man um eine Strecke h 0 zur Seite und kommt zum Nachbarpunkt Q h h Dieer liegt um die Strecke h recht von P, wenn h > 0 it, um h link von P, wenn h negativ it. Jedenfall mu h 0 ein, weil ja P und Q ont derelbe Punkt ind, und dann gibt e keine Sekante! Berechnung der Sekantenteigung: m h Die Schreibweie hh h h h m h h 4 h h für die Sekantenteigung, zeigt, da diee von h abhängt, denn h betimmt die Lage de Nachbarpunkte. Zu jedem Wert von h (außer 0) gibt e eine Sekantenteigung. Diee Zuordnung it eindeutig, alo eine Funktion, ie heißt Sekantenteigungfunktion und hat den Definitionbereich D R. Umformung der Sekantenteigung: h 0 Man kann im Zähler h auklammern und dann h heraukürzen: h h 4 m h 4 h. h Da nach dem Kürzen h au dem Nenner verchwunden it, kann man nunmehr den Grenzwert für h 0 berechnen. Die gekürzte Sekantenteigungfunktion it mit der Variablen h ganzrational und daher überall tetig, alo darf man in der gekürzten, nunmehr auch bei h tetigen Funktion den Grenzwert durch Einetzen berechnen und erhält: lim m h lim h h0 h0 4 4 m limm h Der berechnete Grenzwert it nun die Tangententeigung: T 4 h0 Bei = 4, alo im Kurvenpunkt P 4 (iehe Abbildung!) it alo die Tangententeigung P m 4 T 4, und die Tangente erhält diee Gleichung (Punkt-Steigung-Form): y 4 y.

6 40 Ableitungfunktionen 6. Anwendung auf beliebige Funktionen Gegeben it eine Funktion f, die in einer hinreichend großen Umgebung von tetig it. Geucht it die Steigung der Tangente im Punkt P y. Q Weil P auf der Kurve y f liegt, it y f. Alo it der gegebene Berührpunkt: P f Von geht man um eine Strecke h 0 zur Seite und kommt zum Nachbarpunkt Qh f h Dieer liegt um die Strecke h recht von P, wenn h > 0 it, um h link von P, wenn h negativ it. Jedenfall mu h 0 ein, weil ja P und Q ont derelbe Punkt ind, und dann gibt e keine Sekante! Berechnung der Sekantenteigung:. Schritt: m h f h f h. Schritt: Umformen, o da man h heraukürzen kann. für h 0.. Schritt: Tangententeigung = Grenzwert der Sekantenteigungfunktion für h 0: Anmerkungen dazu: T h0 m lim m h () Die Sache mit dem Grenzwert it eine chwierige Stelle und etzt Kenntnie über tetige / untetige Funktionen vorau. Man kann die in der Datei 40 Stetige Funktionen nachleen. Kurz da Wichtigte: Die Sekantenteigungfunktion it vor dem Kürzen bei h = 0 nicht tetig, denn für h = 0 wird der Nenner 0. Man kann jedoch den Faktor h heraukürzen, wodurch ein Funktionterm entteht, der zwar immer noch für h = 0 nicht zugelaen it, für den man aber dennoch einen Wert für h = 0 berechnen kann. Wenn h gegen 0 geht, dann eitiert wegen de Wegkürzen von h ein Grenzwert, den man durch Einetzen berechnen darf. () Diee Entlanggleiten de Punkte Q auf der Kurve hin zu P etzt ganz offenbar vorau, da f in dieem Bereich tetig it. Nun ind nicht alle Funktionen überall tetig. Aber wenn f an der Stelle tetig it (da wollen wir wenigten vorauetzen), dann gibt e zumindet eine (vielleicht nur ehr kleine) Umgebung von, in der f tetig it. Und h wählen wir einfach o groß bzw. klein, da wir von + h bi zu ein Intervall haben, in der f tetig it, dann kann nicht paieren. Da müen wir in der Rechnung gar nicht erwähnen oder beachten. Der Punkt Q darf ja ganz dicht bei P liegen, da macht nicht au und ergibt allemal eine Sekante. P h

7 40 Ableitungfunktionen 7 Die Erzeugung der Ableitungfunktion USW: