) + d(v s0...s n ) 2. Bedingung B ist in der Anwendung mühsam zu verifizieren. Ist ' jedoch ein Diffeomorphismus, so genügt folgende Sektorbedingung.

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1 248 8 HomoklinePunkteundShiftabbildungen und daher mit Lemma 2 k qk 1 1 µ d(u 1... n ) + d(v... n ) 2 1 µ n. Alo it h tetig. Die Stetigkeit von h 1 folgt chließlich au der Eindeutigkeit der Zuordnung $ und der Komaktheit von. Sektorbedingung Bedingung B it in der Anwendung müham zu verifizieren. It ' jedoch ein Diffeomorhimu, o genügt folgende Sektorbedingung. Bedingung C E it ' : V! U ein Diffeomorhimu, und für ein <µ<1 it über V da intabile Sektorbündel S u : µ, 2 V invariant unter ' und wird getreckt: D' S u Su '(), 1 µ 1. Ebeno it über U da tabile Sektorbündel S : µ, 2 U invariant unter ' 1 und wird getreckt: D' 1 S '() S, µ 1 1. œ 2 Satz Erfüllt die Abbildung ' die Bedingungen A und C mit <µ<1/2, o erfüllt ie auch Bedingung B mit = µ 1 µ < 1. Folglich gilt für ' der Satz von Smale. Wir zeigen zuert, da µ-vertikale Kurven unter ' 1 wieder in µ- vertikale Kurven übergehen. Sei œ eine µ-vertikale Kurve in V und a = \ U a für beliebige a 2 A der Abchnitt von im horizontalen Streifen U a. Da die Randtreifen von U a in je genau einem Punkt chneidet, verbindet a den oberen und unteren Rand von U a. Wegen Bedingung A verbindet dann a = ' 1 ( a ) = ' 1 ( ) \ V a den oberen und unteren Rand von V a. 8/18 (c)-machob:

2 Die geometriche Hufeienabbildung Abb 7 Zum Bewei von Satz 2 U a a 1 a q q 1 V a V b Ṽ a V Wegen der µ-vertikalität von liegt jede Sekante von a alo Gerade durch zwei Punkte auf a in einem tabilen µ-sektor S an a. Aufgrund von Bedingung C bildet ' 1 diee in einen tabilen µ-sektor S ' 1 () an a ab. Darau folgt, da auch a eine µ-vertikale Kurve it. Damit it auch klar, da au jedem µ-vertikalen Streifen V V wieder µ-vertikale Streifen Ṽ a = ' 1 (V ) \ V a, a 2 A, enttehen. Bleibt noch deren Durchmeer abzuchätzen. Der Durchmeer von Ṽ a wird zwichen zwei Punkten q und q 1 auf derelben horizontalen Geraden angenommen: d(ṽ a ) =kq 1 q k. (6) Der Gechwindigkeitvektor der Verbindungtrecke q(t) = (1 t)q + tq 1, t 1, liegt omit in S u. Der Gechwindigkeitvektor der im vertikalen Streifen V liegenden Bildkurve (t) = '(q(t)) = (x(t), y(t)), t 1, liegt aufgrund von Bedingung C damit ebenfall in S u. Setzen wir diee Kurve auf beiden Seiten geradlinig bi zum Rand von Q fort, o erhalten wir alo eine µ-horizontale Kurve, die den Rand von V in den Punkten = '(q ) und 1 = '(q 1 ) chneidet. Aufgrund Lemma 2 gilt k 1 k 1 d(v ). (7) 1 µ (c)-machob: 8/19

3 25 8 HomoklinePunkteundShiftabbildungen Anderereit gilt wegen Bedingung C ẋ µ 1 k qk >. Die Ableitung ẋ wechelt alo ihr Vorzeichen nicht, o da kq 1 q k= k q(t)k dt µ ẋ(t) dt = µ x(1) x() µk 1 k. Zuammen mit (6) und (7) erhalten wir alo d(ṽ a ) µ d(v ). 1 µ Alo werden vertikale Streifen unter ' 1 um den Faktor = µ/(1 µ) kontrahiert. Entrechende gilt dann auch für horizontale Streifen. 8.4 Homokline Punkte und Hufeien Koordinaten In geeigneten Koordinaten (x, y) um den Fixunkt it W u loc ={x = }, W loc ={y = }. (8) Dort betrachten wir die Abbildung ' auf einem hinreichend kleinen oitiven Quadrat Q a = (, a) (, a). Ohne Bechränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, da beide Eigenwerte im Fixunkt oitiv ind, und bezeichnen ie mit < <1 <. 21 Lemma 1 It a> hinreichend klein, o gilt innerhalb von Q a x 1 x, y 1 y für (x 1,y 1 ) = '(x, y). œ Wegen (8) it x 1 = f (x, y) mit f(, ) und f x (, ) =. Alo it 8/2 (c)-machob:

4 Homokline Punkte und Hufeien Abb 8 Sektorabbildung in Q a x 1 = x f x (tx, y) dt = x + x (f x (tx, y) f x (, )) dt f x (tx, y) f x (, ) dt. Da Integral wird kleiner al > auf jedem hinreichend kleinen Quadrat Q a, und e folgt x 1 x. Analog für die y-koordinate. Sektoren 22 Lemma 2 It Q a hinreichend klein, o ind die Sektoren S u x,y : y x, S x,y : x y, invariant unter D' reektive D' 1, und für ( k, k ) = D' k (, ) gilt xk y k, k, x y k olange deren Baiunkte (x k,y k ) = ' k (x, y) in Q a liegen. œ Führen wir in Q a Koordinaten (u, v) ein durch x = u 2, y = v 2, o erhält ' die Getalt '(u, v) = ( u, v)+ ˆ'(u, v) mit k ˆ'k C 1 (Q a)! für a!. In dieen Koordinaten it x = 2u u, y = 2v v, (c)-machob: 8/21

5 252 8 HomoklinePunkteundShiftabbildungen und die intabilen Sektoren y y/x x ind gegeben durch v u. Für da Bild eine olchen Sektor unter D' gilt dann mit k ˆ'k C 1 "hinreichend klein u 1 u " u " v ( 2") u u, und entrechend v 1 v +" u +" v ( + 2") v v. Alo folgt au v u auch v 1 u 1, und S u it invariant unter D'. Entlang einer Bahn in Q a gilt außerdem u k u 1 u, und die it gleichbedeutend mit x k =2u k u k 2u k u = u k u x = xk x x. Damit ind alle Behautungen für die intabilen Sektoren gezeigt. Entrechend verfährt man mit den tabilen Sektoren. Im Folgenen verwenden wir für Sektoren am Punkt r die Notation Sr u (µ) Õ { µ }, S r (µ) Õ { µ }. Vorbereitung der Hufeienabbildung Wir wählen nun da Quadrat Q a o, da (, a) und (a, )nicht zu gehören, Lemma 1 und 2 anwendbar ind, und für alle r 2 \ Q a T r W u Sr u (µ/2), T r W Sr (µ/2), (9) mit einem <µ<1/2 gilt. Die it icher möglich, da T r W u! S u () und T r W! S () für r!. Nun fixieren wir einen Punkt = (u, ) 2 mit <u<aund eine natürliche Zahl M o groß, da q Õ ' M () = (, v), < v < a. An legen wir ein Viereck A in den abgechloenen oitiven Quadranten, da oben und unten durch gerade Segmente und link und recht durch einen Abchnitt der tabilen Mannigfaltigkeit W durch und einer dazu arallelen Kurve begrenzt wird. Diee Rechteck können wir o an anlegen, da auch A Õ ' M (A) 8/22 (c)-machob:

6 Homokline Punkte und Hufeien Abb 9 Vorbereitung der Hufeienabbildung wieder im abgechloenen oitiven Quadranten liegt. Am Punkt q gilt aufgrund von 9 D' M : S q ()! S (µ/2). Somit gibt e Umgebungen U (q) und U () und ein <" µ, o da und In diee D' M : Sr (")! S ' M (r )(µ), r 2 U (q), (1) (D' M v) " v, v 2 Sr u (µ), r 2 U (). (11) noch o klein, da und -Umgebungen legen wir die Vierecke A und A. Dabei wählen wir w " µ w, w = min {u, v}, (12) (r ) 2 S r (µ), (r ) 2 S u r (µ) (13) (c)-machob: 8/23

7 254 8 HomoklinePunkteundShiftabbildungen für die vertikalen Randkurven von A reektive die horizontalen Randkurven von A gilt. Kontruktion der Hufeienabbildung Wir betrachten nun die Mengen n o V k Õ r 2 A : ' k (r ) 2 A, ' 1 (r ),..., ' k 1 (r ) 2 Q a. Wegen Lemma 1 ind die für alle hinreichend großen k dijunkte Mengen im Viereck A, die deen oberen und unteren Rand berühren, und deren Bilder U k Õ ' k (V k ) ind dijunkte Mengen im Viereck A, die deen linken und rechten Rand berühren. 23 Behautung Für hinreichend große K und N 2 ei V Õ V K+1 [ [V K+N, V k Õ ' M (V k ). Dann it die Tranveralabbildung ' : V! A, ' Vk = ' k ' M, eine Hufeienabbildung mit N vertikalen und horizontalen Streifen. œ Zum Bewei betrachten wir zuert die horizontalen Mengen U k = ' k (V k ) = '(V k). Aufgrund von (13) liegen die Steigungen der horizontalen Randkurve von A in Sektoren S u r (µ). Wegen (12) liegen die Steigungen der oberen und unteren Randkurve von V k alo in Sektoren Sx u y,y :. x Aufgrund von Lemma 2 und (12) liegen die Steigungen der Bildkurven in A dann in Sektoren S u x k,y k : yk x k µ. Alo ind die U k µ-horizontale Streifen. Nun zu den Mengen V k = ' 1 (U k ) = ' M (V k ). Aufgrund von (13) und (12) liegen die Steigungen der vertiaklen Randkurve von U k in Sektoren S x k,y k : µ xk y k. 8/24 (c)-machob:

8 Homokline Punkte und Hufeien Abb 1 Abbildung der intabilen Sektoren Unter D' k werden diee wegen (12) abgebildet in Sektoren Sx x,y : ". y Unter D' M werden diee wegen (1) wiederum in Sektoren Sr (µ) an den Randkurven von V k abgebildet. Alo ind die V k µ-vertikale Kurven. Betrachte nun einen Sektor S u r (µ) über V k. Ein olcher Sektor wird unter D' M abgebildet in den Sektor S u ' M (r ) (1/"), denn deen Komlement, der Sektor S M ' M (r )("), wird wegen (1) durch D' in den Sektor Sr (µ) abgebildet. Wegen (12) it 1 " y x, (x,y ) 2 A, und unter D' k wird Sx u,y (1/") abgebildet in einen Sektor yk µ. x k Zuammen genommen gilt daher D ' : S u r (µ)! S ũ '(r ) (µ). Für einen Vektor (, ) 2 S u r (µ) und deen Bild (, ) unter D' M gilt ferner wegen (11) ". (c)-machob: 8/25

9 256 8 HomoklinePunkteundShiftabbildungen Für deen Bild ( k, k ) unter D' k gilt dann aufgrund von Lemma 2 und (12) xk xk k " µ. x x Damit it alle für die intabilen Sektoren S u r (µ) über den Streifen V k gezeigt. Analog verfährt man mit den tabilen Sektoren S r (µ) über den Streifen U k. Ingeamt it damit die Behautung bewieen. 8/26 (c)-machob: