Zusammenfassung. dp i

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1 Zusammenfassung 1. Hamiltonsche Mechanik und die hamiltonschen Gleichungen d i dt i, dq i dt i, = Poisson-Klammern. Eigenschaften: {F, G} = i i i i i=1 {F 1,F } = {F,F 1 } {F 1 + F,F 3 } = {F 1,F 3 } + {F,F 3 } {F 1 F,F 3 } = F 1 {F,F 3 } + F {F 1,F 3 } {F 1, {F,F 3 }} + {F, {F 3,F 1 }} + {F 3, {F 1,F }} =0 3. Falls eine Funktion I(,q) exlizit zeitunabhängig ist und die Poisson-Klammer für I(q,) und die Hamilton-Funktion Null ist, dann ist I(,q) ein (q, Q, t) =, 4. Kanonische Transformationen. Erzeugende Funktion (q, Q, t) P = P, = q Q = Q(q,, t), P = P (q,, t) K =

2 Eine wichtige Eigenschaft der kanonischen Transformationen ist, dass diese Transformationen die Poisson-Klammern invariant lassen. Wir werden diesen Satz für eindimensionale Systeme rüfen: P {F 1,F },q = {F 1,F } P,Q Q q Wir fangen mit der Poisson-Klammer für eine Koordinate und einen Imuls an: {Q, P },q = {Q, P },q = = F F F q q F {Q, P },q = 1={Q, P } Q,P

3 Eine wichtige Eigenschaft der kanonischen Transformationen ist, dass diese Transformationen die Poisson-Klammern invariant lassen. Wir werden diesen Satz für eindimensionale Systeme rüfen: P {F 1,F },q = {F 1,F } P,Q Q q Wir fangen mit der Poisson-Klammer für eine Koordinate und einen Imuls an: {Q, P },q = {Q, P },q = = F F F q q F {Q, P },q = 1={Q, P } Q,P

4 6. Hamiltonische Gleichungen Die Poisson-Klammern sind invariant unter kanonischen Transformationen {F 1,F } 1 1 {F 1,F },q = {F 1,F } F 1, = F 1, (Q, P, @F {F 1,F } @F 1 {F 1,Q} {F @F Diese Ausdrucke noch ein Mal verwenden, mit F -> F1 {F 1,F } q, {F 1,Q} {F 1,P} 1 = {F 1,F } Q,P

5 Ein Beisiel: Harmonischer Oszillator L = mẋ m! x, L = mẋ + m! = mẋ H = m + m! x Wir führen neue Variablen ein und wollen wissen ob diese Variablen kanonisch sind. a = m!x + i e i!t, a + = m!x i = m! e = m! e = i e + = i e i!t {a, a + = im! + i!! = i a = Q, ia + = P ) {P, Q} = {ia +,a} = i{a +,a} =1.

6 Wir finden dann die erzeugenden Funktion a = m!x + i e i!t, a + = m!x i e i!t. Per Definition gilt: (x, Q, t), (x, Q, t) Q = a, P = ia + = im!x ie i!t Wir integrieren über x. Die ``Integrationskonstante ist eine Funktion von Q und t. F (x, Q, t) = im!x ie i!t Qx + F (Q, = ie i!t x + d F dq = P P = i xe i!t iqe i!t d F dq = iqe i!t ) F = iq e i!t F (x, Q) = im! x + iq e i!t iqxe i!t Wir berechnen dann die neue Hamilton-Funktion und bekommen eine Null. D.h. die neue Koordinate und der neue Imuls sind Konstanten. K = = H +!Q e i!t Qx! e i!t!q e i!t Qx! e i!t = i!qp H = m + m! x = (m!x + i)(m!x i) m =!aa + = i!qp K =0

7 In dem Moment wo wir die Zeitabhängigkeit von Q und P kennen, können wir x(t) bestimmen. a = m!x + i e i!t, a + = m!x i e i!t. Q = a, P = ia +

8 6. Hamiltonischen Gleichungen Der Phasenraum: Der n-dimensionale Raum {q 1,...,q n, 1,... n } in dem jeder Punkt einem mögliche Zustand des Systems entsricht, nennt man Phsernraum. Die Zeitentwicklung des Systems ist eine Kurve im Phasenraum. Bewegung mit konstanter Beschleunigung: Zeitentwicklung entsricht einer Parabel im Phasenraum. q Harmonischer Oszillator : Zeitentwicklung entsricht einer Ellise im Phasenraum. q = A cos(!t + ), q = A! sin(!t + ), = m q = Am! sin(!t + ) q(t) A + (t) A m! =1 q

9 Volumen im Phasenraum sind invariant unter kanonischen Transformationen. Wir beweisen diese Behautung für den eindimensionalen Fall. Z P V = d dq (, q)! (P, Q) S S! S 0 S S q Q Z S d dq = Z S 0 J dp dq ) J Q) J Q ) = J = = {, q} Q,P = {, q} =1

10 Die Zeitentwicklung eines Systems können wir als kanonische Trasformation betrachten. Wir betrachten die Wirkung als Funktion von Koordinaten, die ein Teilchen in gegebener Zeit erreicht. In diesem Fall, ist die Wirkung entlang einer hysikalischen Trajektorie berechnet. S = Z t t 0 L(q, q, t)dt Physikalische (t) t = (t) Zusätzlich, brauchen wir die Abhängigkeit der Wirkung von der Zeit ds dt = L ) ds (t) q(t) + = L q = H(t) ds = dq Hdt ds = t dq t t1 dq t1 H t dt + H t1 dt 1

11 Zeitentwicklungen als kanonische Trasformation: {(t), q(t)} ) {(t + ), q(t + )} ds = t dq t t1 dq t1 H t dt + H t1 dt 1 t+ = ds = t+ dq t+ t dq t (H t+ H t t H t H t+ (q, Q, t) =, (q, Q, t) = P, q K = Es folgt das (minus Wirkung) die erzeugende Funktion ist.

12 Der Satz von Lioville: das Volumen eines Gebiets des Phasenraums ist zeitunabhängig V = Z S ddq V (t )=V (t 1 ) Der Satz von Lioville Satz erfolgt aus: 1) V ist invariant unter kanonischen Tranformationen; ) Die Zeitentwicklung eines Systems ist eine kanonische Transformation. Der Satz von Lioville gilt auch für mechanische Systeme mit vielen Freiheitsgraden wo das Phasenraumvolumen so definiert ist V = Z d 1 d...d n...dq 1...dq n