8 Martingaldarstellung und Doob-Meyer Zerlegung

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1 8 Martingaldartellung und Doob-Meyer Zerlegung 8.1 Der Martingaldartellungatz In Kapitel 3 haben wir gezeigt, da da Ito-Integral eine H -Integranden ein tetige Martingal it. Der Martingaldartellungatz bechäftigt ich mit der Umkehrung dieer Auage: Lät ich ein tetige Martingal al Ito-Integral dartellen? Für Martingale in der Brownchen Standardfiltration die einer quadratichen Integrierbarkeitbedingung genügen, lautet die Antwort Ja. Theorem 8.1. Sei X ein Martingal bezüglich der Brownchen Standardfiltration mit E [ X T ] <. Dann exitiert φ(ω, t) H [, T ], oda X t = x + φ(ω, )db, t [, T ] (8.1) gilt. Der Integrand φ(ω, t) it eindeutig bi auf dp dt-nullmengen. Bewei der Eindeutigkeit in Thm Die it der einfachere Teil de Beweie. E gelte die Dartellung (8.1) einereit mit φ(ω, t) H [, T ] und anderereit mit ψ(ω, t) H [, T ]. Dann it auch φ(ω, t) ψ(ω, t) in H [, T ] und e gilt = (φ(ω, ) ψ(ω, ))db. Wir berechnen die Varianz beider Seiten und erhalten mit der Ito-Iometrie [ ] T = E (φ(ω, ) ψ(ω, )) d. Der Integrand der rechten Seite it poitiv, daher mu er dp dt-fat überall Null ein und die Eindeutigkeit von φ it bewieen. Für den Bewei der Dartellung (8.1) tellen wir zunächt mal fet, da e aureicht ie für t = T zu zeigen. Au X T = x + φ(ω, )db (8.) folgt nämlich nach Anwendung der bedingten Erwartung E [. F t ] auf beiden Seiten die Gleichung (8.1). Der retliche Bewei erfolgt in zwei Schritten: Zeige erten die Dartellung (8.) für eine große Klae von Zufallvariablen und zeige dann zweiten, da diee Klae von Zufallvariablen bereit dicht in L (Ω, F T, P) it, womit dann 85

2 (8.) mittel Approximation folgt. Wir formulieren diee Schritte in den folgenden zwei Lemma genauer au. Lemma 8.. Sei t t n = T. Dann beitzt die Zufallvariable eine Dartellung Z = n 1 j= exp ( i θ j (B tj+1 B tj ) ) Z = E [Z] + φ(ω, t)db t mit φ H [, T ]. (8.3) Bewei. Wir etzen Z j = exp ( i θ j (B tj+1 B tj ) ) und zeigen die gewünchte Dartellung zuert für die einzelnen Faktoren Z j und dann für da Produkt Z = n 1 j= Z j. Wir modifizieren da altbekannte Martingal exp( 1 σ t + σb t ) ein wenig und eretzen den reellen Parameter σ durch einen imaginären Parameter i θ. So erhält man da komplexwertige Martingal ( ) 1 X t = exp θ t + i θb t welche die SDE dx t = i θx t db t erfüllt. Durch Integration der SDE bekommen wir X t+ = X + + i θx u db u und nach Einetzen der expliziten Getalt von X t ergibt ich ( ) ( ) 1 1 exp θ (t + ) + i θb t+ = exp θ + i θb + Diee Gleichung lät ich umformen auf ) exp(i θ(b +t B )) = exp ( θ t + +t + ( ) θ i θ exp u + i θb u db u. ( ) θ i θ exp ( + t u) + i θb u db u und wir erhalten omit für jeden der Faktoren Z j := exp(i θ(b tj+1 B tj )) die Dartellung Z j = a j + ψ j (ω, )db 86

3 mit ψ j (ω, ) = außerhalb von [t j, t j+1 ). Wir können nun auch Z j (t) := E [Z j F t ] = a j + ψ j (ω, )db definieren und erhalten mit der Produktformel für Ito-Prozee d(z j (t)z k (t)) = Z j (t) dz k (t) + Z k (t) dz j (t) + ψ j (ω, t)ψ k (ω, t)dt = = (Z j (t)ψ k (ω, t) + Z k (t)ψ j (ω, t)) db t, (j k) und omit wieder eine Dartellung der Form (8.3). Die Eigenchaft (Z j ψ k + Z k ψ j ) H [, T ] folgt dabei au der Bechränktheit der Z j (t). Da n-fache Wiederholen dieer Überlegung liefert dann die Behauptung. Lemma 8.3. Sei S die Menge aller Zufallvariablen welche ich al Linearkombinationen von Zufallvariablen der Form Z = n 1 j= exp ( i θ j (B tj+1 B tj ) dartellen laen. Dann it S eine dichte Teilmenge de Hilbertraum L (Ω, F T, P) = { X F T : E [ X T ] < }. Bewei. Wir kizzieren den Bewei nur. Sei D der Raum aller Zufallvariablen in L (Ω, F T, P), welche ich in der Form X = f(b t1, B t B t1,..., B tn B tn 1 ), f : R n R mebar dartellen laen. Dann folgt zunächt die Dichtheit von S in D au klaichen Argumenten der Fourieranalyi bzw. Hilbertraumtheorie. 13 Weiter folgt mit dem Satz über monotone Klaen au der Maßtheorie, da D dicht in L (Ω, F T, P) liegt. An dieer Stelle geht entcheidend ein, da F die Brownche Standardfiltration it, d.h. alleine von der Brownchen Bewegung und allen P-Nullmengen erzeugt wird. Bewei von Theorem 8.1. Nach Lemma 8. und 8.3 exitiert eine Folge von Zufallvariablen X n in L (Ω, F T, P) mit X n X T und den Dartellungen X n = E [X n ] + φ n (ω, )db, φ n H [, T ]. (8.4) 13 L (Ω, F T, P) it ein Hilbertraum und E [exp(i θ i (B t B ))] kann man al Fouriertranformation der Dichte von B t B interpretieren. 87

4 Au der L -Konvergenz folgt E [X n ] E [X T ] und omit it X n E [X n ] eine Cauchyfolge in L (dp). Mit der Ito-Iometrie folgt da φ n (ω, ) ebenfall eine Cauchyfolge in L (dp dt) it. Da H [, T ] ein volltändiger Teilraum von L (Ω, F T, P) it, exitiert φ(ω, t) H [, T ] mit φ n φ in L. Wir können nun auf beiden Seiten von (8.4) den L -Lime bilden und erhalten die Behauptung. Al Anwendung de Martingaldartellungatze beweien wir Lévy Charakteriierung der Brownchen Bewegung. Diee beagt im Weentlichen, da ein tetige Martingal deen quadratiche Variation der einer Brownchen Bewegung entpricht, auch eine Brownche Bewegung ein mu. Theorem 8.4 (Lévy Charakteriierung der Brownchen Bewegung). Sei M ein tetige Martingal in der Brownchen Standardfiltration mit M =, E [ ] Mt < und quadraticher Variation [M, M] t = t für alle t R. Dann it M eine Brownche Bewegung. Bewei. Mit dem Martingaldartellungatz exitiert φ(ω, t) H [, T ] mit dm t = φ(ω, t)db t. Wir wenden die Ito-Formel für Ito-Prozee an und erhalten ( d e i θ(mt M)) = i θe i θ(mt M) dm t 1 θ e i θ(mt M) d[m, M] t = In Integralform gechrieben, gilt alo e i θ(mt M) 1 = = i θe i θ(mt M) φ(ω, t)db t 1 θ e i θ(mt M) dt. i θe i θ(mu M) φ(ω, u)db u 1 θ e i θ(mu M) du und unter dem bedingten Erwartungwert folgt darau ] E [e i θ(mt M) F 1 = 1 θ ] E [e i θ(mu M) F du. Die bedeutet, die Funktion α(t) = E [ e i θ(mt M) F ] erfüllt die DGL α (t) = θ α(t), α() = 1 mit der einzigen Löung α(t) = e θ (t ) und wir haben gezeigt, da ] ) E [e i θ(mt M) F = exp ( θ (t ) 88

5 gilt. E folgt, da die Inkremente von M unabhängig und normalverteilt ind, mit Erwartungwert und Varianz t. Somit it M eine Brownche Bewegung, wie behauptet. 8. Doob-Meyer-Zerlegung Wir zeigen nun ein weitere wichtige Dartellungreultat, welche für poitive Submartingale gilt. Theorem 8.5 (Doob-Meyer-Zerlegung). Sei X ein poitive tetige Submartingal. Dann exitiert ein tetige Martingal M und ein fat icher teigender tetiger und adaptierter Proze A mit A =, oda X t = M t + A t, t. Die Zerlegung it eindeutig bi auf Ununtercheidbarkeit. E ei betont, da wir im Unterchied zum Martingaldartellungatz und den meiten anderen Reultaten der letzten Kapitel bei dieem Theorem keine Bedingung an die Filtration tellen. Inbeonde mu F nicht die Brownche Standardfiltration ein. Die hier dargetellte Verion der Doob-Meyer-Zerlegung it die Verion für tetige Submartingale. E exitiert eine allgemeinere Verion der Doob-Meyer-Zerlegung für rechttetige Submartingale, welche auch noch die wichtige Information liefert, da A ein ogennanter vorherehbarer Proze it. Vorherehbarkeit it eine Verchärfung der Adaptiertheit von tochatichen Prozeen, die für tetige Prozee jedoch mit dieer zuammenfällt. Der Bewei der Doob-Meyer-Zerlegung it anpruchvoll, oda wir ihn hier nur kizzieren. 14 Beweikizze Doob-Meyer-Zerlegung. Für dikrete Submartingale it die Doob-Meyer- Zerlegung leicht herzuleiten und wird dort auch einfach Doob-Zerlegung genannt. Sei alo (X n ) n N ein dikrete Submartingal bezüglich einer dikreten Filtration (F n ) n N. Wir definieren A = und A n+1 := A n + E [X n+1 X n F n ] = n E [X j+1 X j F j ]. Au der Submartingaleigenchaft von X folgt, da A n fat icher teigend it. Weiter 14 Ein gut lebarer und relativ kurzer volltändiger Bewei findet ich in dem Artikel A hort proof of the Doob-Meyer theorem von Beiglböck, Schachermayer und Veliyev ( j= 89

6 etzen wir M n = X n A n und erhalten mit n 1 E [M n F k ] = (E [X j+1 X j F k ] E [E [X j+1 X j F j ] F k ]) = M k j= die Martingaleigenchaft von M. Wir haben alo die Doob-Zerlegung für dikrete Submartingale gezeigt. Sei nun X ein tetige Submartingal auf [, T ]. Mit Lemma 1.11 Φ(r) exitiert eine konvexe Funktion Φ : R R mit lim r r =, oda E [Φ(X T )] <. Mit dem Satz vom optionalen Sampling gilt für jede Stoppzeit τ T die Ungleichung E [Φ(X τ )] E [Φ(X T )] <. Mit dem Kriterium au Lemma 1.1 für die gleichgradige Integrierbarkeit folgt darau, da X von Klae DL 15 it, da heit die Menge {X τ : τ Stoppzeit, τ T } (8.5) it gleichmäig Integrierbar. Sei nun P n die Folge der verfeinernden dyadichen Partitionen von [, T ]. Mit der dikreten Doob-Zerlegung erhalten wir eine Folge von Prozeen (M n, A n ) n N auf den dyadichen Partitionen P n. Jeder dieer Prozee lät ich zu einem Proze in tetiger Zeit erweitern, indem wir Mt n = E [MT n F t] etzen und die Prozee A n zwichen den Gitterpunkten rechttetig kontant interpolieren. Wir erhalten alo für jede n N ein Martingal Mt n und einen teigenden Proze A n t welche auf den Gitterpunkten der dyadichen Partition P n mit der dikreten Doob-Zerlegung übereintimmen. Al nächten Schrit wählen wir au dieer Folge von Prozeen eine konvergente Teilfolge au. E lät ich zeigen, da au der gleichgradigen Integrierbarkeit (8.5) auch die gleichgradige Integrierbarkeit von {A n T } n N folgt. (Die it der langwierigte Teil de Beweie, den wir hier nicht näher auführen.) Mit dem Satz von Dunford & Petti folgt au der gleichgradigen Integrierbarkeit die Exitenz einer in L 1 (dp) konvergenten Teilfolge A n k T A T. Wegen MT n = X T A n T erhalten wir auch die L 1 (dp)-konvergenz M n k T M T = X T A T. Nun definieren wir M t = E [M T F t ] und A t = X t M t erhalten die Konvergenz A n t = (S t M n t ) (S t M t ) = A t, in L 1 (dp) auf den Gitterpunkten von P n. Durch Auwahl einer weiteren Teilfolge erhalten wir eine fat icher konvergente Teilfolge und chlieen, da t A t teigend it. E bleibt nun noch zu zeigen, da die Zerlegung eindeutig it, da A und M tetige Prozee ind und da Reultat von [, T ] auf da unbechränkte Intervall R auzuweiten. 15 iehe auch Kapitel 4 9

7 Auch diee letzten Schritte überpringen wir in dieer Beweikizze. Wir beprechen nun zwei wichtige Anwendungen der Doob-Meyer-Zerlegung. Sei M ein tetige Martingal. Dann it (Mt ) t al konvexe Tranformation ein poitive Submartingal. Der teigende Proze A t in der Doob-Meyer-Zerlegung von Mt wird mit M, M t bezeichnet und heit vorherehbare quadratiche Variation. E exitiert alo tet ein tetiger, teigender Proze M, M t, oda Mt M, M t ein Martingal it. Nehmen wir nun an M ei ein Ito-Proze von der Form M t = b(ω, )db. Dann wien wir au Kapitel, da M t b(ω, ) d ein Martingal it. Au der Eindeutigkeit der Doob-Meyer-Zerlegung folgern wir, da M, M t = b(ω, ) d gilt. Inbeonder timmt die vorherehbare quadratiche Variation mit der quadratichen Variation überein, e gilt alo 16 M, M t = [M, M] t. Wa haben wir durch diee Überlegungen nun gewonnen? Die Erkenntni it, da auch im Fall, da da tetige Martingal M keine Dartellung M t = b(ω, )d beitzt ein Proze M, M t exitiert, mit Mt M, M t ein Martingal. Die Bedeutung dieer Erkenntni it vor allem dann einzuehen, wenn wir un in Erinnerung rufen wie wichtig Martingale von der Getalt Mt M, M t im Bewei der Ito-Formel etc waren. Mit der Exitenz de Martingal Mt M, M t haben wir einen Anatz gewonnen um die Ito-Formel jeneit von Ito-Prozeen auf beliebige tetige Martingale zu erweitern. Sei B Brownche Bewegung. Dann it B t t al konvexe Tranformation von B ein poitive Submartingal. Eine intereante Eigenchaft von B t it, da ich dieer Proze auerhalb einer Umgebung der Null wie Brownche Bewegung verhält. Mit der Doob-Meyer-Zerlegung chlieen wir, da ein tetiger teigender Proze L t exitiert, gennant Lokale Zeit bei, oda B t L t ein Martingal it. 16 Fall M ein rechttetige Martingal it, o gilt im allgemeinen aber M, M t [M, M] t, wa auch die unterchiedliche Notation erklärt. 91