Berechnung der Lagerkräfte in einem statischen System

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1 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme erechnung der Lagerkräfte in einem tatichen Sytem Da Problem: In einem tatichen Sytem mit angreifenden Kräften, Lagern und eventuell auch Gelenken eien die Lagerkräfte zu berechnen. eipiel zur erechnung der Lagerkräfte in einem tatichen Sytem E ei da nachfolgend kizzierte tatiche Sytem mit dem feten Lager, da auch Momente aufnehmen kann, einem Gelenk G, da Kräfte in allen Dimenionen aufnehmen kann, einem chrägen Lolager und den angreifenden Kräften und gegeben: G Dabei eien die angreifenden Kräfte (nach unten wirkend): = -50kN = -80kN, die Kraft bilde mit der Horizontalen einen Winkel 30 und da Lager nehme Kräfte unter dem Winkel 35 zur Horizontalen auf. Die vertikalen Entfernungen von Lager eien aunahmlo gleich Null und die horizontale Entfernungen vom Lager eien: : =m : =3m G: G =m : =4m. Zu berechnen eien die Lager- und Gelenkkräfte. Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite

2 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme etlegung de Koordinatenurp rung Durch die emaßung de Sytem it zumeit chon die Lage de Koordinatenytem gegeben. E wird ein Koordinatenurprung an beliebigem Ort gewählt. Die poitive chenrichtung (nach recht, nach oben) und die poitive Drehrichtung (gegen den Uhrzeigerinn) werden fetgelegt. eipiel zur etlegung de Koordinatenurprung E ei da tatiche Sytem au gegeben. Der Urprung de Koordinatenytem wird in Lager gewählt, in die Skizze jedoch link unterhalb diee Lager eingetragen, o da eine emaßung problemlo möglich wird. Die poitiven chenrichtungen und die poitive Drehrichtung werden ebenfall fetgelegt und eingetragen: v G + G Zerlegung aller Kräfte in ihre Komponenten der Dimenionen It eine chräg unter einem Winkel i zu den Koordinatenachen angreifende Kraft von ihrem etrage (EUKLIDiche Norm) gegeben, o ind ihre Komponenten i in chenrichtungen zu berechnen gemäß: i co i Treten elatungen auch über Strecken verteilt auf, o ind diee elatungen zunächt auf punktförmig angreifende Kräfte umzurechnen (vgl. Seite 6), diee Kräfte wirken dann im llgemeinen in Richtungen der chen, eine Kraftzerlegung it dann nicht erforderlich. eipiel zur Zerlegung von Kräften in Kompo nenten der Dimenionen E ei da tatiche Sytem au gegeben. Die Kraft greift unter einem Winkel 30 zur erten che, nach unten wirkend, an. Unter erückichtigung de Vorzeichen der Kraft it alo ihr etrag 50kN, ihr Winkel zur erten che 0 und ihr Winkel zur zweiten che 0. Ihre Komponenten bezüglich der chen errechnen ich dann zu co( ) co( ) N co(0 ) N co(0 ) 9,9 0 3 N N. Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite

3 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme 3 Eintragung aller Lager- und Gelenkkräfte E werden alle Lager- und Gelenkkräfte in achenparalleler Lage eingetragen und benannt. Dabei it da olgende zu beachten: n die feten Lager werden die Lagerkräfte in poitiven chenrichtungen in allen Dimenionen eingetragen. n die loen Lager werden nur die Kräfte eingetragen, die da Lager aufnehmen kann, fall die Kraftrichtung mit der chenrichtung übereintimmt. nderenfall ind auch hier die Lagerkräfte in allen chenrichtungen einzutragen. Nimmt ein Lager Momente auf, o ind auch diee einzutragen (poitive Zählrichtung gegen den Uhrzeigerinn beachten). Gelenke können ehr unterchiedlich kontruiert ein. Einige nehmen Kräfte in allen Richtungen auf, andere wiederum nur in einer Richtung (z..: ein loe aufliegender alken). Hier gilt da für loe Lager Geagte. 3 eipiel zur Eintrag un g aller Lager- und Gelenkkräfte E ei da tatiche Sytem au gegeben. In Lager greifen owohl horizontale, al auch vertikale Kräfte an. Lager nimmt horizontale und vertikale, miteinander verknüpfte Kräfte auf und da Gelenk G nimmt Kräfte in allen Dimenionen auf: Die ezeichnungen werden fetgelegt, e eien: x : Die horizontale Kraft in Lager x : Die vertikale Kraft in Lager x 3 : Da Moment in Lager x 4 : Die horizontale Kraft in Gelenk G x 5 : Die vertikale Kraft in Gelenk G x 6 : Die horizontale Kraft in Lager x 7 : Die vertikale Kraft in Lager Die ezeichnungen werden in die Skizze eingetragen: v x x3 x x4 G x5 x7 x6 + G Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 3

4 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme 4 uftellung de Gleichun gy tem 4. nwendung der Gleichgewichtbedingung für Kräfte in Richtung der erten Dimenio n Da die Summe aller Kräfte in einer Dimenion tet Null ergeben mu (andernfall würde da Sytem bechleunigt, wäre alo nicht tatich), ergibt ich die Gleichgewichtbedingung zu: ij 0 j ; i Œ \ 0 ; i:dimenion Dabei it zu beachten, da Gelenke eine egrenzung eine Sytem dartellen, o da diee Gleichgewichtbedingung für jede Teilytem bi zu einem Gelenk anzuwenden it. Die Gelenkkräfte ind dann in beiden Sytemen, jedoch mit entgegengeetzten Vorzeichen, zu verwenden. Da heißt: E eien S, S zwei Syteme mit den Kräften ij im Sytem S ij im Sytem S und der Gelenkkraft x G, dann gilt im Sytem S ij x G 0 j und im Sytem S ik x G 0 k 4. eipiel für die nwendung der Gleichgewichtbedingung für Kräfte in der erten Dimeni on E ei da tatiche Sytem au mit dem Gelenk G, den angreifenden Kräften ; owie den Lagerkräften x ; x ; x 6 ; x 7, dem Moment x 3 und den Gelenkkräften x 4 ; x 5 gegeben. Im Sytem S wirken die horizontalen Kräfte x ; x 4 und =-9,9kN, e gilt: x x 4 0 I x x 4 9, Im Sytem S wirkt die horizontale Lagerkraft x 6 und die horizontale Gelenkkraft x 4. Da x 4 aber im Sytem S chon poitiv verwendet wurde, it alo im Sytem S die Gelenkkraft x 4 negativ, omit: II x 4 x 6 0 Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 4

5 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme 4. nwendung der Gleichgewichtbedingung für Kräfte in der zweiten Dimeni on ür die Kräfte in der zweiten (und ggf. dritten) Dimenion gelten die gleichen Regeln wie für die Kräfte in der erten Dimenion. E it alo wie in bchnitt 4. vorzugehen, mit dem Unterchied, da tatt der Kräfte in der erten Dimenion die Kräfte in der zweiten (dritten) Dimenion zu verwenden ind. 4. eipiel für die nwendung der Gleichgewichtbedingung für Kräfte in der zweiten Dimenio n E ei da tatiche Sytem au gegeben. Die vertikalen Kräfte im Sytem S ind x ; x 5 und 75kN. E ergibt ich alo x x 5 0 III x x Im Sytem S ind die vertikalen Kräfte x 5 ; x 7 und 80kN. Damit ergibt ich unter erückichtigung, da x 5 al Gelenkkraft im Sytem S poitiv verwendet wurde: x 5 x 7 0 IV x 5 x uftellung der Kraftgleichungen für verknüpfte Kräfte Nimmt ein loe Lager oder ein Gelenk chräge (da heißt: nicht achenparallele) Kräfte auf, o ind diee Kräfte miteinander verknüpft. Da für jede Kraftkomponente i (vergleiche bchnitt ) in der i. Dimenion gilt i co i, folgt durch Umtellen und Gleichetzen: co( i ) i co( i ) i Da heißt: ür jede loe Lager oder Gelenk mit chräg wirkenden Kräften wird eine Verknüpfunggleichung aufgetellt gemäß: co( i ) i co( i ) i eipiel für die uftellung einer Kraftgleichung für verknüpfte Kräfte E ei da tatiche Sytem au gegeben. Da loe Lager nimmt chräg wirkende Kräfte auf. Die Lagerkraft x 6 bildet zur erten che einen Winkel 35 und die Lagerkraft x 7 bildet zur zweiten che einen Winkel 45. lo gilt: co(35 ) x 6 co(45 ) x 7 0 V, 44 x 6,44 x 7 0 Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 5

6 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme 4.4 nwendung der Gleichgewichtbedingung für Momente Da da Sytem tatich it, wird e auch nicht in Rotation veretzt. lo mu die Summe aller Momente um einen beliebigen Punkt tet Null ein. Da heißt: In einem tatichen Sytem S gilt in jedem Punkt P für die Momente M j M j 0 j und da da Moment M j da Produkt au dem Hebel vom Drehpunkt P k zum Kraftangriffpunkt P j und der auf dem Hebel enkrecht tehenden Kraft j it (Kreuzprodukt), gilt für jede Moment M j um den Punkt P k M j j k j E werden für mindeten o viele Punkte Momentengleichungen aufgetellt, wie noch Gleichungen benötigt werden (die Geamtgleichunganzahl ollte mindeten o groß ein, wie die nzahl der Unbekannten). Dabei it zu beachten: Lager, die elbt Momente aufnehmen, erzeugen kein Moment um andere Punkte. Sie bleiben alo bei der uftellung der Momentengleichungen unberückichtigt. Gelenke übertragen keine Momente. E ind alo nur Momente jeweil eine Sytem zu verwenden. Die Momente um ein Gelenk werden jeweil nur au einem Sytem verwendet. E laen ich alo 'link- und rechteitige' Momentengleichungen um ein Gelenk auftellen. eteht ein tatiche Sytem au mehreren Teilytemen (da heißt: e enthält Gelenke), o it für jede Teilytem mindeten eine Momentengleichung aufzutellen. 4.4 eipiel für die nwendung der Gleichgewichtbedingung für Momente E ei da tatiche Sytem au gegeben uf da Lager wirken die Momente ( ) ; G x 5 owie da von Lager aufgenommene Moment x 3. Unter erückichtigung der Drehrichtungen ergibt ich: x 3 G x 5 ( ) 0 VI x 3 x ür da Gelenk G wird linkeitig keine Gleichung aufgetellt, da da Lager elbt Momente aufnimmt und daher kein Moment um da Gelenk G erzeugt. Um da Gelenk G wirken rechteitig die Momente G x 7 und G (außerdem noch 0x 6 ). E ergibt ich unter erückichtigung der Drehrichtungen: G x 7 G 0 VII x Damit it dann auch für jede Teilytem eine Momentengleichung aufgetellt. Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 6

7 nmerkun g Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme Die Zuammenfaung der Gleichungen I...VII de eipiel zu einem Gleichungytem liefert: I +X +0X +0X 3 +X 4 +0X 5 +0X 6 +0X 7 = 9,9k II +0X +0X +0X 3 -X 4 +0X 5 +X 6 +0X 7 = 0 III +0X +X +0X 3 +0X 4 +X 5 +0X 6 +0X 7 = 75k IV +0X +0X +0X 3 +0X 4 -X 5 +0X 6 +X 7 = 80k V +0X +0X +0X 3 +0X 4 +0X 5 -,44X 6 -,44X 7 = 0 VI +0X +0X +X 3 +0X 4 +X 5 +0X 6 +0X 7 = 75k VII +0X +0X +0X 3 +0X 4 +0X 5 +0X 6 +X 7 = 80k mit den Löungen: horizontale Kraft in Lager : vertikale Kraft in Lager : Moment in Lager : horizontale Kraft in Gelenk G: vertikale Kraft in Gelenk G: horizontale Kraft in Lager : vertikale Kraft in Lager : x = 69,9kN x = 5,0kN x 3 = 55,0kNm x 4 =-40,00kN x 5 =-40,00kN x 6 =-40,00kN x 7 = 40,00kN Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 7

8 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme 5 Umrechnung von Streckenlaten in Punktlaten In vielen tatichen Sytemen treten elatungen nicht nur punktförmig, ondern auf Strecken verteilt auf. Solche Streckenlaten können auf punktförmige elatungen umgerechnet werden, o da ich da biher beprochene Vorgehen auch für elatungen, die auf Strecken wirken, anwenden lät. Eine Streckenlat it über eine unktion f bechrieben, die im llgemeinen linear it, aber grundätzlich von beliebiger Struktur ein kann. Die Streckenlat q wirkt auf einer Strecke, die relativ zu einem gerade betrachteten Lager bechrieben wird ihre nfang- und Endkoordinaten eien hier mit und bezeichnet. ezüglich de Lager ergibt ich dann eine Eratzkraft, die in einem ngriffort 0 wirkt: y M q 0 0 Da die reultierende Kraft da Integral der Streckenlat q über die Strecke it q d und ich entprechend da Moment M al Integral de Produkte au der Streckenlat q und de Hebel über die Strecke ergibt M q d, laen ich die Eratzkraft und auch der Eratzkraftangriffpunkt leicht ermitteln. ür den Kraftangriffpunkt kann die Definition de Momente M M nach der Hebellänge umgetellt werden. E ergibt ich daher M. ür eine Streckelat q, die mittel einer linearen unktion f bechrieben werden kann, alo f : q a a 0 ergeben ich die Eratzkraft a a0 ( ) da reultierende Moment M M 3 a 3 3 a 0 und damit die Kraftangriffkoordinate a 3 3 a 0 a a0 ( ) vereinfacht zu 0 3 a a 0 ( ) a ( ) a 0. Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 8

9 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme ür die beiden Standardfälle einer kontanten Streckenlat oder einer Dreiecklat eien nachfolgend noch die reultierenden Kräfte und Kraftangriffpunkte angegeben: 5. Kontan te Strecken lat It nun die Streckenlat kontant, können entprechend für die unktion f : q a 0 cont y M q 0 0 die reultierende Kraft und der Kraftangriffpunkt ermittelt werden mit a 0 ( ) 0 ( ) 5. Drei eckl at Entprechend ergeben ich für eine 'Dreiecklat' f : q a y M q 0 0 die Kraft und ihr ngriffpunkt 0 (mit der nfangkoordinate 0 der Dreiecklat) a ( 0) a Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 9

10 5 Textauzug au und Ergänzung zu: 'Die Techniken de Gleichunglöen' and, Lineare Gleichungyteme eipiel zur Umrechn un g von Streckenlaten auf Punktl aten E ei ein tatiche Sytem, mit einer angreifenden Streckenlat, gegeben. Die Gleichung der Streckenlat ei (bezogen auf da bereit eingetragene Koordinatenytem) f : q 5 kn m 0kN. Die nfang- und Endkoordinaten der Lat eien m; 3m. q v G + ür die Eratzkraft ergibt ich damit 3m 5 kn m m (3m) (m) 0kN((3m) (m)) 3m 80kN. m Die reultierende Kraftangriffkoordinate it omit 3 5 kn m (3m) (3m)(m) (m) 0kN((3m) (m)) 5 kn m ((3m) (m)) 0kN.5m. Damit ind die Eratzdaten ermittelt. nmerkung: Die Eratzkraft erzeugt mit der Eratzkraftangriffkoordinate ein Moment um da linke Lager M M 80kN.5m M 70kNm die gleich dem erzeugten Moment au der Integration der Streckenlat M 3 a 3 3 a 0 it. M 3 5 kn m (3m)3 (m) 3 0kN (3m) (m) M 70kNm Copyright und Urheberrecht: HELGE NORDMNN 986 * Verion 06 * Seite 0