Physik I Übung 3 - Lösungshinweise

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Claudia Baum
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1 Phyik I Übung 3 - Löunghinweie Moritz Kütt WS / Stefan Reutter Stand:.. Franz Fujara Aufgabe Der erte Blick Ein Fahrradfahrer fährt die Hälfte einer Strecke mit km/h, die zweite Hälfte mit km/h. Schätze eine Durchchnittgechwindigkeit grob ab. Berechne anchließend die Durchchnittgechwindigkeit. Aufgabe Spiralig v v t + v t t + t v t v t + v v + v v 3.3 km/h Ein Maenpunkt vollführt in Zylinderkoordinaten die folgende Bewegung: r ρt r φ ωt z ζt a) Berechne die Bahn in karteichen Koordinaten b) Skizziere die Bahnkurve in drei Dimenionen owie Projektionen der Bahn auf die x, y und z Ebenen für ω π/, ρ m/ und ζ m/ r(t) x y z r co φ r in φ z ρt co ωt ρt in ωt ζt Skizze iehe nächte Seite. Anmerkung: Man beachte die Einhüllende bei c) und d). Die Spirale hat einen Öffnungkegel der Steigung, da der Radiu doppelt o chnell wächt, wie die z-komponente

2 5 (a) 3D (b) z (c) x (d) y Aufgabe 3 Teilchenbahnen Die Bewegung eine Punkte wird durch folgenden Ortvektor bechrieben: R R co kt R in kt a) Berechne Gechwindigkeit v und Bechleunigung a, gib jeweil auch Beträge an. b) Zeige durch Bildung von Skalarprodukten, da v enkrecht auf R teht und a in R-Richtung zeigt. c) Berechne für Gechwindigkeit und Bechleunigung jeweil Skalarprodukte mit radialem (zeigt in Richtung von R) und azimutalem Einheitvektor (zeigt in Richtung von v ). Veruche die Ergebnie anchaulich zu deuten. Löung: a) v d R d t Rkt in kt Rkt co kt v v v (Rkt) in kt + (Rkt) co kt Rkt

3 a d R d t a R(kt) co kt Rk in kt R(kt) in kt + Rk co kt Rk k t 4 + b) Gechwindigkeit und Ort: R v R co kt Rkt in kt + R in kt Rkt co kt Sind enkrecht, da für enkrechte Vektoren A B gilt. Bechleunigung und Ort: An dieer Stelle ei angemerkt, da die Aufgabentellung nicht ganz korrekt it. Die Bechleunigung zeigt nicht in R-Richtung. E it allerding intruktiv, den Winkel zwichen Bechleunigung und Ortvektor zu berechnen: R a R co kt R(kt) co kt R in kt R(kt) in kt (Rkt) < Da Skalarprodukt allgemein it definiert al R a R a co γ R, a Damit nun für da Skalarprodukt R a < gilt, mu co γ R, a <, da per Definition immer R und a. Alo it der Winkel zwichen R und a immer zwichen 9 und 7. Dehalb kann man a immer in einen Teil entgegengeetzt zu R (Zentripetalbechleunigung nach innen) und einen Teil entlang der Bahn zerlegen e wird nie einen Teil geben, der in die Richtung von R nach außen zeigt. c) v it tangential an den Krei. Daher gilt: v e R v e φ v Für a gilt (φ kt ) a e R R(kt) co φ + in φ + Rk in φ co φ Rk in φ co φ Rk t in φ a e φ a Rk t co φ in φ co φ in φ + Rk in φ + co φ Rk co φ Anchaulich heißt da, da e eine zur Gechwindigkeit enkrechte Zentripetalkraftkomponente gibt, die den Maenpunkt analog zu einer unbechleunigten Kreibewegung auf der Kreibahn hält, owie eine Kraft, die den Maenpunkt in tangentialer Richtung an den Krei bechleunigt (Winkelbechleunigung). 3

4 Hauaufgabe Rollige Treppen Um mit einer Rolltreppe im Einkaufzentrum ein Stockwerk hinaufzufahren benötigt du. Um auf der kaputten Rolltreppe daneben hochzulaufen braucht du 3. Wie lange braucht du, wenn du auf der funktionierenden Rolltreppe hochläuft? Die Gechwindigkeit der Rolltreppe addiert ich zur Gechwindigkeit de Studenten. v t v t v 3 v + v t 3 t + t t t + t 7.5 Hauaufgabe Mehr Teilchenbahnen Ein Teilchen bewegt ich entlang der y-ache. Sein Ort it durch y 5cm+, 5t 3 cm/ 3 gegeben. Berechne: a) Die Durchchnittgechwindigkeit im Intervall t [; 4]. b) Die momentane Gechwindigkeit zu den Zeitpunkten t, t 3, t 4. c) Die momentane Gechwindigkeit in der Mitte der beiden Orte von t und t 4. d) Die momentane Bechleunigung an dieem Ort. v y (t) d y d t (t) 4, 5t cm/ 3 a) v [,4] 4 v y (t)d t 4 d t, 5t 3 cm/ 3 + C 4 (96 )cm 4 cm/ 4

5 b) v y ( ) v y (3 ) v y (4 ) 4, 5 cm/ 3 8 cm/ 4, 5 cm/ 7 cm/ c) y(t) 5cm +, 5t 3 cm/ 3 t(y) v y (y) 4, 5 3 y 5 cm,5 cm y 5 cm,5 cm 3 cm/ y mit te v y (y mit te ) 4, 5 y( )+y(4 ) 7 cm+ cm 59 cm 5 cm,5 cm 59 cm 3 cm/ 49. cm/ d) a y (t) a y (y) a y (y mit te ) dv y (t) d t 9 3 9tcm/ 3 y 5 cm,5 cm cm/ 3 59 cm 5 cm,5 cm cm/ 9.7 cm/ Hauaufgabe 3 Wa für ein Zirku! Der Elefant Mumbo (Mae m E 4 t) wird von einer gefährlichen Mau bedroht, die ihn aggreiv mit der Nae anzuckt. Um vor dem Untier zu flüchten, rennt Mumbo auf eine Wippe, balanciert dort auf einem Bein und trötet dich hyterich an, ihn auzubalancieren, damit die Mau ihm nicht tun kann. Wo mut du den Angelpunkt etzen wenn die Wippe m lang it? (Wenn du dein Gewicht nicht verraten willt, darft du auch da danebentehende Wunderchaf Olly auf die Wippe tellen da eine Mae von m S kg hat) 5

6 Hebelgeetz. Der Angelpunkt mu der Schwerpunkt de Sytem au Schaf und Elefant ein. m E x E m S x S d x E + x S d x E + m E m S m S x E d m E + m S x E.49 m x S 9.5 m Hauaufgabe 4 Über den Wolken mu die Phyik wohl reibungfrei ein Ein Pilot hat von der Flugauficht die Order bekommen, auf einer geraden Linie von Frankfurt nach Berlin zu fliegen und kein Iota von dieer Bahn abzuweichen. E weht ein ortabhängiger Wind enkrecht zur Flugroute, deen Gechwindigkeit von der Entfernung zum Startpunkt de Flugzeug linear abhängt: v W (x) k W x mit k W 3. Da Flugzeug kann 9 km/h fliegen und die Ditanz zwichen Berlin und Frankfurt ei 4 km a) Berechne den (ortabhängigen) Winkel, den der Pilot anteuern mu, um die Bahn gerade zu halten b) Berechne den Winkel al Funktion der Flugzeit c) Berechne, wie lang da Flugzeug unterweg it und vergleiche mit der Flugzeit, die nötig wäre, wenn der Wind nicht wehen würde. Hinwei: Laut Kettenregel gilt dx dx dα dt dα dt Da da Flugzeug vom Wind mitgetragen wird, addieren ich die beiden Gechwindigkeiten: v vf co α v F in α + k W x v F co α v F in α k W x a) Um ich auf einer geraden Strecke (alo in x-richtung) zu bewegen, mu die zweite Komponente ein b) Laut Kettenregel gilt x v F k W in α v x dx dt dx dα dα dt v F co α dα k W dt 6

7 Da etzt man nun mit der x-komponente der Gechwindigkeit von oben gleich, um eine Bedingung für α zu finden v F co α dα k W dt v F co α dα dt k W α k W t c) Dazu berechnet man am einfachten den Winkel, den da Flugzeug am Ziel haben mu und etzt ihn in da Ergebni von b) ein kw α arcin d v F 4 km arcin 3 5 m/ arcin π 6 t α k W 68 8 min Die Flugzeit ohne Wind it einfach 4 9 eine Minute au. h 6. Der Wind macht alo in dieem Fall nur etwa 7

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