Nutzung der inhärenten sensorischen Eigenschaften von piezoelektrischen Aktoren

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1 Nuzung der inhärenen enorichen Eigenchafen von piezoelekrichen Akoren K. Kuhnen; H. Janocha Lehruhl für Prozeßauomaiierung (LPA), Univeriä de Saarlande Im Sadwald, Gebäude 13, 6641 Saarbrücken Tel: 681 / , Fax: 681 / klau@lpa.uni-b.de 1 Einleiung Piezoelekriche Fekörperwandler ind in der Lage, nahezu verzögerungfrei elekriche in mechaniche und mechaniche in elekriche Energie umzuwandeln; ie werden dehalb induriell owohl al Akoren wie auch al Senoren eingeez. Sei einiger Zei veruch man nun, die den piezoelekrichen Wandlern aufgrund werkoffphyikalicher Geezmäßigkeien innewohnenden Senoreffeke auch im akorichen Berieb zu nuzen und dami exerne Senoren überflüig zu machen. Diee inhärenen Senorfähigkeien verringern den Aufwand, um Informaionen über da akuelle Akorverhalen zu erhalen. Dadurch wird e einfacher, beipielweie Lageregelkreie aufzubauen, den Einfluß unerchiedlicher Laen auf da aiche und dynamiche Überragungverhalen zu kompenieren oder frühzeiig Verchleiß- und Alerungercheinungen im Wandler deekieren zu können. Allerding i inbeondere beim Einaz al Akor, wo der Wandler zur Erzeugung möglich großer Sellwege mi hohen Spannungampliuden angeeuer werden muß, ein Überragungverhalen ark nichlinear und e wird maßgeblich durch kriechund hyereebehafee Aneile gepräg. Diee überlagern die eigenliche Senorinformaion, o daß für eine hinreichend genaue On-line- Meßwergewinnung pezielle echzeifähige Algorihmen enwickel werden müen. Vor dieem Hinergrund ha der vorliegende Aufaz zwei Ziele. Zum einen ollen die zur elben Zei und am elben Or vorhandenen enorichen und akorichen Fähigkeien von piezoelekrichen Akoren, die dann häufig auch al mare Akoren bezeichne werden, in grundäzlicher Weie mahemaich dargeell werden. Hierbei wird von einer ehr allgemein güligen, operaorbaieren Bechreibungmöglichkei für piezoelekriche Akoren Gebrauch gemach. Im Rahmen dieer Darellung wird darüber hinau ein neue, am LPA erarbeiee Bechreibungmodell präenier, da gleichzeiig mi der Kennlinienhyeree auch die biher vernachläigen Kriecheinflüe berückichig. 2 Konzep marer piezoelekricher Akoren In den meien echnichen Anwendungen werden piezoelekriche Akoren al Sapelwandler eingeez. In dieem Fall läß ich die elekriche und die mechaniche Energieform jeweil durch

2 da Produk zweier inegraler phyikalicher Größen bechreiben, über die der piezoelekriche Wandler mi einer elekrichen und einer mechanichen Umgebung in Wechelwirkung eh. Diee Größen ind auf der elekrichen Seie die Spannung u() und die Ladung q() und auf der mechanichen Seie die Kraf f() und die Aulenkung (). Welche beiden der elekrichen und mechanichen Größen al eingepräg oder unabhängig und welche beiden al abhängig angeehen werden können, häng von den elekrichen und den mechanichen Beriebbedingungen de Wandler und dami von dem jeweiligen Einazfall ab. Dami ehen ich prinzipiell vier Möglichkeien zur Bechreibung de Wandlerverhalen durch die wecheleiige Verknüpfung der phyikalichen Größen gleichwerig gegenüber, von denen die folgende am häufigen Anwendung finde. q( ) = Γ [ u( ), f ( )] (1) ( ) = Γ [ u( ), f ( )] (2) a In dieem Gleichungyem wird da Überragungverhalen de Wandler durch die beiden Operaoren Γ und Γ a bechrieben, die auf eine noch näher zu pezifizierende Weie die Zeiignale der unabhängigen elekrichen und mechanichen Größen in eindeuiger Weie auf die Zeiignale der abhängigen elekrichen und mechanichen Größen abbilden. E handel ich dabei um eine allgemeingülige Darellung de Syemverhalen, bei der die wecheleiige Verkoppelung der elekrichen und mechanichen Größen und die dami verbundene Möglichkei, gleichzeiig Senorund Akorfunkionen im elben Maerial nuzen zu können, auch auf yemheoreicher Ebene zum Audruck komm. Die qualiaiven Überragungeigenchafen der beiden Operaoren hängen encheidend von dem elekrichen und dem mechanichen Aueuerbereich de Wandler ab. Während bei Aueuerung mi kleinen Spannung- und Krafampliuden lineare Syemgleichungen eine gue Näherung für da reale Überragungverhalen darellen, wird diee bei Aueuerung mi hohen Spannung- und kleinen Krafampliuden vor allem von elekrich induzieren Domänenprozeen beimm, die makrokopich zu einem augeprägen Hyeree- und Kriechverhalen führen. Da Kriechverhalen wird durch die Teilbilder 1c und 1d verdeulich, in denen der zeiliche Verlauf der Ladung q() und der Aulenkung () eine piezoelekrichen Wandler in Abhängigkei der Spannung u() nach Teilbild 1a bei zeilich konaner Kraf f() nach Teilbild 1b dargeell i. Da Hyereeverhalen wird deulicher mi Hilfe der Teilbilder 1e und 1f erkennbar, da hier die Ladung q() und die Aulenkung () über der Spannung u() al Trajekorien aufgeragen ind. Da augepräge Verzweigungverhalen der Trajekorien in den Teilbildern 1e und 1f reulier dabei maßgeblich au einem aichen, hyereehafeen Überragunganeil de Wandler. Da zeiabhängige Drifen de Aulenkungignal und de Ladungignal in den Teilbildern 1c und 1d reulier au einem dynamichen Überragunganeil de Wandler, der dem Werkoffkriechen ehr ähnlich i und daher al elekriche bzw. elekromechaniche Kriechen bezeichne werden kann. Dieer für die Akorik ypiche Beriebfall kann durch kalare Hyeree- und Kriechoperaoren bechrieben werden, die den Einfluß der globalen Vorgechiche de Spannungignal auf da Ladungignal und da Aulenkungignal hinreichend genau berückichigen können [2]. Der zuäzliche Einfluß der Kraf kann dabei durch eine lineare Überlagerung berückichig werden.

3 2 V 5 N 15 u 1 f a) b) 8 µc 6 5 µm 4 q c) d) 8 µc 6 5 µm 4 q V V 2 u e) f) u Bild 1: Gemeene Überragungverhalen eine piezoelekrichen Wandler bei elekricher Großignalaueuerung (Erläuerung im Tex).

4 Wirken auf den Wandler jedoch neben hohen Spannung- zuäzlich hohe Krafampliuden ein, komm e innerhalb der Keramik zu mechanich induzieren, ferroelaichen Umklappprozeen [6], deren Einfluß nich hinreichend genau durch eine lineare Überlagerung erfaß werden kann. Dieer allgemeine Beriebfall, der mi Hilfe der Operaorgleichungen (1) und (2) bechrieben wird, erforder den Einaz vekorieller Hyeree- und Kriechoperaoren [1]. Der Grundgedanke zur Realiierung eine maren Akor i in Bild 2 für den Fall dargeell, daß die Spannung u() und die Kraf f() die unabhängigen Größen ind. Im akorichen Berieb werden die Spannung u() und die Ladung q() zu jedem Zeipunk durch geeignee Senoren erfaß. Au dieer Informaion ollen die al nich meßbar voraugeezen mechanichen Größen Kraf f() und Aulenkung () rekonruier werden. Dazu wird ein mahemaiche Rekonrukionmodell benöig, da auf den bechreibenden Wandlergleichungen, alo dem Senormodell (1) und dem Akormodell (2), baier. Akoricher Berieb Elekriche Seie Mechaniche Seie u() f() f() () Rekonrukionmodell q() Reale Syem () Senoricher Berieb Bild 2: Piezoelekricher Wandler al marer Akor Die Rekonrukion der mechanichen Größen gechieh nun in zwei Schrien. Zunäch erfolg die Realiierung eine inveren Operaor bezüglich de q-f-zuammenhang mi der Spannung al Parameer auf der Bai de Senormodell (1). Mi Hilfe diee inveren Operaor kann die Kraf f() rekonruier werden: -1 f ( ) = Γ [ u( ), q( )] (3) Danach wird die Aulenkung mi Hilfe de Akormodell (2) ermiel, indem man in diee die gemeene Spannung und die rekonruiere Kraf einez: -1 ( ) = Γ [ u( ), Γ [ u( ), q( )]] (4) a Für nichlineare Wandlermodelle läß ich der invere Operaor (3) und dami auch da Rekonrukionmodell nur uner beimmen Vorauezungen gechloen analyich angeben, o daß die Inverion in der Regel numerich mi Hilfe ieraiver Berechnungverfahren durchgeführ

5 werden muß [5]. Bedingung für die Exienz und Eindeuigkei de inveren Syem (3) owie für die ichere Konvergenz der Berechnungverfahren ind die Seigkei und die renge Monoonie de q-f-zuammenhang im realen Wandler. Da Rekonrukionmodell (3), (4) läß ich für lineare Wandlergleichungen in einfacher Weie durch analoge Schalungechnik nachbilden. Bei Berückichigung der im Großignalberieb aufreenden Nichlineariäen wird jedoch der Einaz von digialen Signalprozeoren zur Realiierung de Rekonrukionmodell unumgänglich. 3 Bechreibungmodelle für mare Fekörperakoren 3.1 Lineare Wandler- und Rekonrukionmodell Bei Kleinignalaueuerung laen ich die Operaoren Γ und Γ a in erer Näherung durch die linearen Syemgleichungen q( ) = C u( ) + d f ( ) (5) (6) ( ) = d u( ) + S f ( ) approximieren. Hierbei gehen die Kleinignalkapaziä C und die Kleinignalelaiziä S, owie die piezoelekriche Ladungkonane d au den bekannen linearen piezoelekrichen Maerialbeziehungen für den eindimenionalen elekrichen und mechanichen Belaungfall hervor. Für da lineare Wandlermodell läß ich der invere Operaor (3) durch Auflöung von (5) nach der Kraf f() analyich angeben. Dami laue da Rekonrukionmodell de maren Akor im linearen Fall f ( ) = ( q( ) C u( )) d (7) S ( ) = d u( ) + ( q( ) C u( )). d (8) In fa allen biher bekannen Anwendungen zur Auwerung de inhärenen Senoreffek von piezoelekrichen Wandlern wurde die in (7) dargeelle Beziehung genuz. Die Differenzbildung zwichen q() und C u() erfolg dabei durch analoge Signalverarbeiung mi Hilfe einer Kapaziämeßbrücke, in welcher ein Brückenzweig von dem piezoelekrichen Wandler gebilde wird. Die Brückenpannung i dann proporional zur Kraf f(), welche omi ohne Senor ermiel werden kann. 3.2 Operaorbaiere Wandler- und Rekonrukionmodell Da in den 7er Jahren von Kranoel'kii und Pokrovkii enwickele Konzep der Hyereeoperaoren erlaub aufgrund eine rein phänomenologichen Charaker eine ehr allgemeine und präzie Formulierung hyereebehafeen Syemverhalen [3,7]. Die Grundidee de

6 Konzepe beeh darin, komplexe hyereebehafee Syemverhalen durch die gewichee Überlagerung ehr einfacher, hyereebehafeer Überragungglieder, die ogenannen Elemenaroperaoren, nachzubilden. Ein Beipiel für einen olchen elemenaren Hyereeoperaor i der ogenanne Linear-Playoperaor y ( ) = p [ x( )]. (9) r Da Überragungverhalen diee elemenaren Hyereeoperaor i in Bild 3 in Abhängigkei eine charakeriichen Schwellwerparameer r dargeell. Für die realiiche Nachbildung komplexer Hyereephänomene müen mehrere Linear-Playoperaoren mi unerchiedlichen Schwellweren überlager werden. Die gewichee Parallelchalung dieer elemenaren Hyereeoperaoren führ zu einem komplexen Hyereeoperaor der Form r n y ( ) = H[ x( )] = q p [ x( )] (1) h i ri i= 1 Aufgrund der Seigkei der Linear-Playoperaoren können Hyereeeffeke, wie ie ypich im Großignalüberragungverhalen piezoelekricher Wandler aufreen, chon mi wenigen Elemenaroperaoren modellier werden [4]. Au dieem Grund eigne ich der Operaor (1) für eine Modellierung der hyereebehafeen Überragunganeile in Echzei. Neben der Hyeree i auch da Kriechen maßgeblich am Großignalüberragungverhalen piezoelekricher Wandler beeilig. In Anlehnung an die Vorgehenweie bei der Hyereemodellierung i e möglich, da Kriechen durch einen komplexen Kriechoperaor m y ( ) = K[ x( )] = c l λ [ x( )] (11) k j j j= 1 zu bechreiben, der au der gewicheen Überlagerung von vielen elemenaren Kriechoperaoren mi unerchiedlichen Kriecheigenweren hervorgeh. Die elemenaren Kriechoperaoren repräenieren dabei die Löungen exponeniell gedämpfer, linearer Differenialgleichungen erer Ordnung [4]. Ihre Sprunganwor i in Bild 4 dargeell. pr[ ] lλ[ ] 1 r x 1/λ- Bild 3: Überragungverhalen von Bild 4: Sprunganwor von elemenaren, Linear-Playoperaoren linearen Kriechoperaoren

7 Mi Hilfe de komplexen Kriechoperaor K und de komplexen Hyereeoperaor H läß ich nun für den piezoelekrichen Wandler ein operaorbaiere Wandlermodell q( ) = H[ u( )]+ K[ u( )]+ d f ( ) (12) ( ) = Ha[ u( )]+ Ka[ u( )]+ S f ( ) (13) formulieren, da die bei elekricher Großignalaneuerung aufreenden komplexen Hyeree- und Kriechphänomene berückichig. Analog zum linearen Fall kann man den inveren Operaor (3) durch Auflöung von (12) nach der Kraf f() analyich angeben. Dami laue da operaorbaiere Rekonrukionmodell de maren Akor f ( ) = 1 ( q( ) H[ u( )] K[ u( )]) d (14) S ( ) = Ha[ u( )] + Ka[ u( )] + ( q( ) H[ u( )] K[ u( )]). d (15) Wie im linearen Fall bleib dieer Anaz auf kleine Ampliuden der Kraf bechränk. Allerding wird mi dieem Rekonrukionmodell im Gegenaz zum linearen Rekonrukionmodell der Güligkeibereich auf große Ampliuden der Spannung erweier. 4 Ergebnie Im Rahmen der Uneruchungen inereier vor allem, welche Abweichungen bei der Rekonrukion der mechanichen Größen f() und () enehen, wenn die Hyeree- und Kriecheffeke zum einen vernachläig (lineare Rekonrukionmodell) und ie zum anderen mi Hilfe de operaorbaieren Rekonrukionmodell berückichig werden. 1 2 µm µc 1 5 q lineare Wandlermodell operaorbaiere Wandlermodell lineare Wandlermodell operaorbaiere Wandlermodell a) b)

8 Bild 5: Abweichung zwichen dem gemeenen Überragungverhalen de realen Wandler und dem berechneen Überragungverhalen de Wandlermodell für a) Ladung b) Aulenkung Bild 5 zeig daher die Abweichungen q() und () zwichen dem gemeenen Überragungverhalen bei elekricher Großignalaneuerung nach Bild 1a und dem mi Hilfe de linearen Wandlermodell (5) und (6) bzw. mi Hilfe de operaorbaieren Wandlermodell (12) und (13) berechneen Überragungverhalen. Man ieh, daß bei Verwendung de linearen Modell aufgrund von Hyeree- und Kriechercheinungen Abweichungen von bi zu 22 µc bei der Ladung und Abweichungen von bi zu 8 µm bei der Aulenkung enehen. Die enprich bei Maximalampliuden von ca. 9 µc und 54 µm einem relaiven Fehler der Ladung von ca. 25% und der Aulenkung von ca. 15%. Diee Abweichungen werden bei Verwendung de operaorbaieren Wandlermodell auf Were von maximal 3 µc und 1µm, alo auf Refehler von maximal 3% und 1,8% reduzier. 2 V 15 2 N 15 1 u 1 5 f a) b) 1 µc 8 8 µm q c) d) Bild 6: Simulierer Ladung- und Aulenkungverlauf mi Hilfe de operaorbaieren Wandlermodell (Erläuerung im Tex).

9 Die arken Abweichungen de linearen Wandlermodell führen bei Verwendung de linearen Rekonrukionmodell zu großen Rekonrukionfehlern der mechanichen Größen. Diee können durch Verwendung de operaorbaieren Rekonrukionmodell ark reduzier werden. Bild 6c und 6d zeig dazu den mi Hilfe de operaorbaieren Wandlermodell imulieren Verlauf der Ladung q() und der Aulenkung () al Reakion auf die Aneuerpannung u() in Bild 6a und die Kraf f() in Bild 6b. Die Bilder 7a und 7b zeigen den mi Hilfe de linearen Rekonrukionmodell berechneen Kraf- und Aulenkungverlauf (durchgezogene Kurve) im Vergleich zum imulieren Verlauf der Kraf und der Aulenkung (gerichele Kurve). Hierbei i deulich zu erkennen, daß die aufreenden Rekonrukionfehler bi zu 5 N bei der Kraf und bi zu 5 µm bei der Aulenkung beragen können. f 6 N µm a) b) 2 N µm 6 f c) d) Bild 7: Rekonruierer Kraf- und Aulenkungverlauf mi Hilfe de linearen und de operaorbaieren Rekonrukionmodell uner Berückichigung der Abweichungen gemäß Bild 5a/5b (Erläuerung im Tex). -2 Die Bilder 7c und 7d zeigen den mi Hilfe de operaorbaieren Rekonrukionmodell berechneen Kraf- und Aulenkungverlauf (durchgezogene Kurve) im Vergleich zum imulieren Verlauf der Kraf und der Aulenkung (gerichele Kurve), wobei die Abweichung zwichen dem

10 Überragungverhalen de realen Wandler und de operaorbaieren Wandlermodell durch Aufchalen eine ochaichen, normalvereilen, mielwerfreien Sörignal im operaorbaieren Rekonrukionmodell berückichig wurde. Die Sreuung de Sörignal wurde o gewähl, daß die aufreenden Sörampliuden den maximal aufreenden Abweichungen in Bild 5a und 5b enprechen. Wie man ieh, wird die Abweichung zwichen der rekonruieren Kraf und der imulieren Kraf auf Were von maximal 5 N und die Abweichung zwichen der rekonruieren und der imulieren Aulenkung auf Were von maximal 6 µm reduzier. Wenn man bedenk, daß bei dem für die Uneruchungen verwendeen Wandler die durch elekriche Großignalaneuerung maximal erreichbare Aulenkung ca. 6 µm und die Blockierkraf ca. 1 N beräg, wird klar, daß bei elekricher Großignalaneuerung eine Rekonrukion der mechanichen Prozeßgrößen nur dann innvoll ein wird, wenn Anforderungen an die Meßgenauigkei nich zu hoch und auf den Wandler wirkende Kräfe nich zu klein ind und fehlerverurachende Hyeree- und Kriecheffeke im Wandlerüberragungverhalen hinreichend genau berückichig werden können. 5 Zuammenfaung und Aublick In dieem Beirag werden Möglichkeien zur Nuzung der zur elben Zei und am elben Or vorhandenen enorichen und akorichen Fähigkeien von piezoelekrichen Fekörperwandlern in grundäzlicher Weie dargeell. Hierbei wird von einer ehr allgemein güligen, operaorbaieren Bechreibungmöglichkei für Fekörperwandler Gebrauch gemach, welche die im Großignalberieb vorherrchenden nichlinearen Phänomene wie Hyeree und Kriechen in Form von Hyeree- und Kriechoperaoren berückichigen kann. Die Operaoren beinhalen da bekanne lineare Bechreibungmodell al Grenzfall und ellen daher eine logiche Erweierung der beehenden Bechreibungmehoden beim Übergang zum Großignalberieb dar. In zukünfigen Arbeien am Lehruhl für Prozeßauomaiierung der Univeriä de Saarlande ollen die Kriechund Hyereeoperaoren auf den vekoriellen Fall erweier werden, um neben dem Einfluß großer Spannungampliuden auch den Einfluß großer Krafampliuden auf da Wandlerüberragungverhalen berückichigen zu können. Dankagung Die Auoren danken der Deuchen Forchunggemeinchaf (DFG) für die finanzielle Unerüzung de Forchungvorhaben, in deen Rahmen die vorliegenden Ergebnie enanden ind. Lieraur [1] Bergqvi, A.: On magneic hyerei modeling. Royal Iniue of Technology, Elecric Power Engineering, Sockholm, Sweden (1994). [2] Janocha, H.; Kuhnen, K.: Ein neue Hyeree- und Kriechmodell für piezoelekriche Wandler. a-auomaiierungechnik (will be publihed oon) [3] Kranoel'kii, M. A.; Pokrovkii, A. V.: Syem wih hyerei. Springer-Verlag, Berlin, (1989).

11 [4] Kuhnen, K.; Janocha, H.: Modeling of he Tranfer Characeriic of Piezoelecric Tranducer wih Creep and Hyerei Operaor. (will be publihed oon) [5] Kuhnen, K.; Janocha, H.: Compenaion of he Creep and Hyerei Effec of Piezoelecric Acuaor wih Invere Syem. 6h Conference on New Acuaor, Bremen (1998), S [6] Schäufele, A.: Ferroelaiche Eigenchafen von Blei-Zirkona-Tiana-Keramiken. VDI- Verlag, Düeldorf, (1996). [7] Viinin, A.: Differenial model of hyerei. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, (1996).

12 6 Anwendungen in der Seuerungechnik Bild 7 zeig ein Seuerungkonzep für piezoelekriche Akoren, mi der neben den durch elekriche Großignalaneuerung hervorgerufenen Hyeree- und Kriecheffeken auch der Einfluß kleiner Krafampliuden auf die Aulenkung kompenier werden kann. Akoricher Berieb Elekriche Seie Mechaniche Seie oll Invere Seuerung z -1 U F Syem F Rekonrukion z -1 z -1 q Senoricher Berieb Bild 7: Operaorbaiere Seuerung für piezoelekriche Akoren Die Seuerung beeh au zwei operaorbaieren Signalverarbeiungblöcken, dem Rekonrukionmodell und der inveren Seuerung. Mi Hilfe de Rekonrukionmodell F( ) = [ U( ), q( )] Γ -1 (16) wird die auf den Akor wirkende Kraf ermiel und der inveren Seuerung zuammen mi dem Sollwer für die Aulenkung zugeführ. Die invere Seuerung wird durch den inveren Operaor U( ) = [ ( ), F( )] Γ a -1 (17) bezüglich de -U-Zuammenhang mi der Kraf F() al Parameer gebilde. In dieen Operaor wird ana der aächlichen die rekonruiere Kraf eingeez. Im Gegenaz zum Rekonrukionmodell laen ich die Gleichungen für die invere Seuerung nich mehr analyich angeben, o daß zur Berechnung der Seuerpannung Ieraionverfahren eingeez werden müen. Hierzu ind in jünger Vergangenhei Verfahren enwickel und experimenell geee worden, die roz der ieraiven Berechnungweie für eine Signalverarbeiung in Echzei geeigne ind [ ].

13 Bild 1: a) elekriche Anregung U() b) mechaniche Anregung F() c) elekriche Reakion q() d) mechaniche Reakion ()