Mathematikaufgaben > Vektorrechnung > Geraden

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Lisa Beutel
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1 Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden Aufgabe: Eläutee, wie lineae Gleichungyteme ekennen laen, welche jeweilige Lagebeziehung zwichen zwei Geaden (Identität, Paallelität, Schneiden, Windchiefheit) im deidimenionalen Vektoaum beteht Löun I Fü da Löen von lineaen Gleichungytemen gilt die folgende Vogehenweie gemäß dem og Gauß-Algoithmu: Zu Löung komplexe lineae Gleichungyteme vewendet man den Gaußchen Algoithmu, dh folgende Vogehenweie: ) Da lineae Gleichungytem au Gleichungen und Unbekannten wid in Matixdatellung umgechieben; eine Gleichung entpicht eine Zeile, eine Unbekannten eine Spalte in de Matix, die echte (Zahlen-) Seite de Gleichungytem bildet die letzte Spalte de Matix; die Anzahl de Gleichungen und Unbekannten kann auch vechieden ein ) Beim Gaußchen Algoithmu weden, beginnend vom Anfangtableau, Nullen unte de Hauptdiagonalen wie folgt ezeugt: Schitt: Ezeugen von Nullen in de Spalte, beginnend mit de Gleichung in Zeile ; it a da ete Element in Zeile und b da ete Element in Zeile, o weden alle Matixelemente in Zeile mit a multipliziet, alle Matixelemente in Zeile mit b multipliziet und Podukt minu Podukt al neue Matixelemente de Zeile gebildet (Vogehenweie, auch unte Beachtung de kleinten gemeinamen Vielfachen de Zahlen a und b) It a da ete Element in Zeile und b da ete Element in Zeile, o gilt die analoge Vogehenweie uw, bi die letzte Matixzeile eeicht it / Schitt: Ezeugen von Nullen in de Spalte, beginnend mit de Gleichung in Zeile ; it a da zweite Element in Zeile und b da zweite Element in Zeile, o gilt die analoge Vogehenweie, und die weite fü Zeile uw, bi die letzte Matixzeile eeicht it / Schitt uw, bi die letzte Matixpalte eeicht it E entteht daduch da Endtableau de Algoithmu, da auf die At de Löungen und die Löungen de lineaen Gleichungytem hinweit E entteht daduch da Endtableau de Algoithmu, da auf die At de Löungen und die Löungen de lineaen Gleichungytem hinweit gemäß den folgenden Fällen: Fall I eindeutige Löun /I) It im Endtableau de Gaußchen Algoithmu die Deieckgetalt (Stufenfom) gegeben, o gilt fü die Vaiable z de letzten Spalte mit dem dazugehöenden Matixelement a und dem Element b de echten Seite: az b z b/a / Fü die Vaiable y de voletzten Spalte mit dem dazugehöenden Matixelement c, dem Matixelement d und dem Element e de echten Seite gilt: cydz e cy e db/a y e/c db/(ac) / uw, bi die Vaiable de eten Matixpalte eechnet it /I) Die Löungmenge beteht in dieem Fall wegen de Eindeutigkeit de Löung au einem Zahlentupel, alo: L {(l m t)} mit eellen Zahlen l, m, t Fall II keine Löun /II) Da Endtableau enthält im Beeich de linken Seite eine Nullzeile, wähend die damit koepondieende echte Seite ein Element f it /II) Wi ehalten alo die Gleichun f und damit einen Widepuch Da lineae Gleichungytem beitzt keine Löung Fall III mehdeutige Löun /III) Da Endtableau enthält im Beeich de linken Seite eine Nullzeile, wähend die damit koepondieende echte Seite ebenfall ein Element enthält /III) Wi ehalten eine mehdeutige Löung, indem wi die Vaiable z, deen Diagonalelement it, gleich einem eellen Paamete etzen Die Löungmenge it dann vom Typ L {(l() m() t()) εr} mit lineaen, von abhängigen Funktionen l() l l, m() m m,, t() t t Bei meheen Nullzeilen de Endtableau ind auch entpechend viele Vaiablen gleich Paameten,, zu etzen, die Komponenten de Löungmenge ind Lineakombinationen de Paamete,, II Allgemein kann hinichtlich de Lage zwichen zwei Geaden g und h untechieden weden: a) Geaden ind identich (gh); b) Geaden chneiden ich im Schnittpunkt S (g h {S}); c) Geaden chneiden ich nicht und ind paallel (g h); d) Geaden chneiden ich nicht und ind windchief (g, h windchief) Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden

2 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden Dabei gilt folgende Vogehenweie, die in jedem Fall auf ein lineae Gleichungytem (mit den zwei Geadenpaameten al Unbekannten und dei Gleichungen) füht vemöge de Gleichetzen de Geadengleichungen von g und h E gilt dann: a) Gleichungytem it mehdeutig löba; die Geaden ind identich (gh) b) Gleichungytem it eindeutig löba; die Geaden chneiden ich im Schnittpunkt S c) Gleichungytem it nicht löba; die Geaden chneiden ich nicht und ind entwede paallel ode windchief III Wi eläuten im Folgenden anhand von Beipielen, auf welche At von lineaem Gleichungytem da Gleichetzen de Geadengleichungen von g und h (g h) bei den jeweiligen Lagebeziehungen zwichen den zwei Geaden (Identität, Paallelität, Schneiden, Windchiefheit) füht IV Identität de Geaden g und h: Wi geben die zwei identichen Geaden g und h vo mit: > > x, wobei die Gleichheit de Richtungvektoen und die Lage de Punkte P( ) owohl auf de Geaden h al auch g die Identität de Geaden ichet Gleichetzen de Geadengleichungen egibt: Wi wandeln nun die votehende Vektogleichung in ein lineae Gleichungytem um, indem wi die Vektokomponenten tabellaich zuammenfaen: Zu Löung de lineaen Gleichungytem wid de Gauß-Algoithmu vewendet E geifen damit die nachtehenden Umfomungen: Anfangtableau: RS Schitt: *() - *() / *() - *() / Endtableau: - Löung(en) de lineaen Gleichungytem: t t (mit eellem Paamete t) Wi ehalten auf Gund de beiden Nullzeilen im Endtableau de Gauß-Algoithmu unendlich viele Löungen de lineaen Gleichungytem und haben damit die Identität de beiden Geaden gezeigt Offenichtlich gilt: Die zwei Geaden ind identich, wenn da Endtableau de Gauß- Algoithmu zwei Nullzeilen aufweit (Die untee Nullzeile it fü die Betimmung de Löungen de lineaen Gleichungytem entbehlich und kann eatzlo getichen weden, o da zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu Löung fühen) V Paallelität de Geaden g und h: Wi änden die oben unte IV angefühten

3 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden Geadengleichungen entpechend ab: > > x, o da bei Gleichheit de Richtungvektoen und nicht auf de Geaden g liegendem Punkt P( ) auf h die Paallelität de Geaden gilt Gleichetzen de Geadengleichungen egibt: Wi wandeln nun die votehende Vektogleichung in ein lineae Gleichungytem um, indem wi die Vektokomponenten tabellaich zuammenfaen: Zu Löung de lineaen Gleichungytem wid de Gauß-Algoithmu vewendet E geifen damit die nachtehenden Umfomungen: Anfangtableau: RS Schitt: *() - *() / *() - *() Schitt: *() - *() / Endtableau: - - Löung(en) de lineaen Gleichungytem: keine Wi ehalten auf Gund de Widepuch in de Zeile de Endtableau de Gauß-Algoithmu keine Löung E gilt: Die zwei Geaden ind paallel, wenn die mittlee Zeile im Endtableau de Gauß-Algoithmu einen Widepuch aufweit, die letzte Zeile eine Nullzeile it VI Schneiden de Geaden g und h: Wi änden die oben unte IV angefühten Geadengleichungen o ab, da die Geaden ich im Schnittpunkt S( ) bei nicht paallelen Richtungvektoen chneiden: > > x Gleichetzen de Geadengleichungen egibt:

4 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden Wi wandeln nun die votehende Vektogleichung in ein lineae Gleichungytem um, indem wi die Vektokomponenten tabellaich zuammenfaen: Zu Löung de lineaen Gleichungytem wid de Gauß-Algoithmu vewendet E geifen damit die nachtehenden Umfomungen: Anfangtableau: RS Schitt: *() - *() / *() - *() - Schitt: *() - *() / Endtableau: - Löung(en) de lineaen Gleichungytem: Die eindeutige Löung de lineaen Gleichungytem lät ich am Endtableau de Gauß- Algoithmu ableen; in de Tat egibt ich etwa duch Einetzen de Löung in die Paametegleichung de Geaden h de Schnittpunkt S( ) Weite gilt: Die zwei Geaden chneiden ich in einem Schnittpunkt, wenn da Endtableau de Gauß-Algoithmu keinen Widepuch aufweit, die letzte Zeile eine Nullzeile it VII Windchiefheit de Geaden g und h: Wi kombinieen die Geadengleichungen de Abchnitte V und VI zu den windchiefen Geaden: > > x Gleichetzen de Geadengleichungen egibt: Wi wandeln nun die votehende Vektogleichung in ein lineae Gleichungytem um, indem wi die Vektokomponenten tabellaich zuammenfaen: Zu Löung de lineaen Gleichungytem wid de Gauß-Algoithmu vewendet E geifen damit die nachtehenden Umfomungen:

5 Anfangtableau: RS Schitt: *() - *() / *() - *() Schitt: *() - *() / Endtableau: Löung(en) de lineaen Gleichungytem: keine De Widepuch in de letzten Zeile im Endtableau de Gauß-Algoithmu weit daauf hin, da ich die Geaden nicht chneiden und wegen de nichtpaallelen Richtungvektoen omit windchief ind E gilt: Die zwei Geaden ind windchief, wenn die letzte Zeile im Endtableau de Gauß-Algoithmu einen Widepuch aufweit VIII Zuammenfaun Fü zwei Geaden g und h in Paametefom mit: a u > x a u, h: a u b > x b b v v v egibt ich duch Gleichetzen ein lineae Gleichungytem (dei Gleichungen; zwei Paamete, al Unbekannte) mit dem Anfangtableau: u v b a u v b a, u v b a da mit Hilfe de Gauß-Algoithmu in Deieckgetalt umgefomt wid Die auftetenden Aten von Endtableau haben dann eine de folgenden Getalten: * a) * b) * c) * d) * * >, Zeile al Nullzeilen > Geaden ind identich: g h * > Zeile mit Widepuch, Zeile al Nullzeile > Geaden ind paallel: g h > Zeile al Nullzeile > Geaden chneiden ich im Schnittpunkt S: g h {S} > Zeile mit Widepuch > Geaden ind windchief: g, h windchief * (*: eelle Zahl, : eelle Zahl ode ) Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden

6 IX Lagebeziehungen zwichen zwei Geaden: Identität, Paallelität, Schneiden, Windchiefheit: g h g h g h {S} g, h windchief wwwmichael-buhlmannde / 68 / Aufgabe 9 Michael Buhlmann, Mathematikaufgaben > Vektoechnung > Geaden 6

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