2.12 Kurvenparametrisierung

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1 2.12 Kuvenpaametiieung Definition Funktionen γ : [a, b] R R m beheiben Kuven im R m. Bemekung Kuven laen ih viualiieen duh... (1) den Gaphen Γ γ {t, γ(t) t [a, b]} R m+1 ode (2) die Bildmenge γ([a, b]). Beipiele (1) Zu > 0 betahte γ : R R 2 t (o(t), in(t)). (2) Modikation: γ : R R 2 t t(o(t), in(t)). (3) Zykloide: γ : R R 2 t t in(t), 1 o(t). Beipiel (otieende Rad) Ein Rad mit Radiu > 0 bewege ih mit kontante Gehwindigkeit v > 0. Kuve de Radahe: A(t) (0, ) + (tv, 0) e }{{} 1 +t ve }{{} 2. Statpunkt Gehwindigkeitvekto Sei K K(t) ein augezeihnete Punkt auf dem Rand de Rade (Kieeltein). Wi unteuhen die Bewegung de Vebindungvekto B(t) : K(t) A(t) in Abhängigkeit de Zeit t. Matin Gubih 31 SS 2008

2 K(t) A(t) deht ih im Uhzeigeinn mit kontante Dehgehwindigkeit, alo ϕ(t) ωt, wobei ω R + kontant und ϕ(t) Winkel zwihen B(t) und B(0). Wi betimmen zunäht ω. Nah eine Umdehung hat da Rad den Weg 2π zük gelegt und dafü die Zeit t 1 2π v benötigt, alo ωt 1 ϕ(t 1 ) 2π ω 2π t 1 2πv 2π v. Bezeihnet alo R α die Dehung um den Winkel α in mathematih poitive Rihtung, dann B(t) R ϕ(t) B(0). Duh Einetzen von A(t) in B(t) A(t) K(t) ehalten wi al Koodinatendatellung bzgl. de Standadbai: ( ) ( ) ( ) ( ) K1 (t) tv o ϕ(t) in ϕ(t) tv + in ϕ(t) +, K 2 (t) in ϕ(t) o ϕ(t) o ϕ(t) die allgemeine Zykloidenkuve mit Radiu und Gehwindigkeit v. Im Fall v 1 ehalten wi dann geade die hon bekannte Paametiieung ( ) t in(t) K(t). 1 o(t) Allgemein wid zu eine patiell dieenziebaen Funktion f duh mit g(t) f(x + tξ) eine Kuve im R n behieben. Wi wollen die phyikalihe Bedeutung von D ξ f(x) d dt g(t) t0 d dk (t) betimmen. Wegen d K(t + h) K(t) K(t) lim dt h 0 h gibt die Ableitung von K bei t den Momentangehwindigkeitvekto (Quotient au zuükgelegtem Weg und benötigte Zeit) an. E gilt: Damit folgt weite: K (t) 2 K (t) (v v o ϕ(t), v in ϕ(t)) (v, 0) v(o ϕ(t), in ϕ(t)). v 2 2v 2 o ϕ(t) + v 2 o 2 ϕ(t) + v 2 in 2 ϕ(t) 2v 1 o ϕ(t) it die Momentangehwindigkeit de Kieel zum Zeitpunkt t. Matin Gubih 32 SS 2008

3 Dabei nimmt K (t) v K (t) ein Maximum vk max an bei o ϕ(t) 1 mit Wet K (t) 2v und ein Minimum vk min bei o ϕ(t) 1 mit Wet K (t) 0; bei o ϕ(t) 1 2 wid die Gehwindigkeit v angenommen. v K (t) it peiodih: Fü t 2π v N 0 gilt v K (t) 0; fü t π v (1 + N 0) it v K (t) 2v. Phyikalihe Bedeutung von (K ) (t): Momentanbehleunigungvekto zu Zeit t; hie: Fü den Wet de Behleunigung bei t gilt: K (t) v2 K (t) v2 ( in ϕ(t), o ϕ(t)). in 2 ϕ(t) + o 2 ϕ(t) v2 ont. Intepetation De Stein bleibt teken, o lange die Hafteibung die benötigte Kaft m v2 aufbingt. Veallgemeineung Sei γ : (a, b) R m eine Kuve. Fall alle Komponenten γ i, i 1,..., m, dieenzieba in t ind, exitiet de Tangentialvekto γ (t) zum Paametewet t. Diee Beheibt die Ändeungate und die Rihtung von γ in t. Bei glatten Kuven gilt nah dem Satz von Taylo: Alo: γ i (t + h) γ i (t) + γ i(t)h γ i (ϑ i )h 2, 1 i m : ϑ i (t, t + h), h > 0. γ(t + h) γ(t) + hγ (t) h2 2 γ 1 (ϑ 1 ),..., γ m(ϑ m ) Ch 2 h 0 0, fall γ behänkt it. Intepetation Fü γ (t) goÿ wid die Kuve bei t hnell duhlaufen und fall γ (t) 0, läuft die Kuve bei t in Rihtung γ (t) γ (t). Definition Sei γ C 1 ([a, b], R n ). Dann heiÿt L(γ) die Länge de duh γ paametiieten Kuve. b a γ (t) 2 dt Intepetation It γ tetig dieenzieba, dann it die Länge von γ appoximativ gleih de Länge eine Polygonzug: Matin Gubih 33 SS 2008

4 Dann gilt L n : MWS n max t i t i 1 0 n γ(t i ) γ(t i 1 ) 2 i1 n γ(t i ) γ(t i 1 ) t i1 i t i 1 (t i t i 1 ) 2 n γ (ϑ i ) 2 (t i t i 1 ) (ϑ i (t i 1, t i )) i1 b a γ (t) dt. Beipiel Sei γ(t) (o(t), in(t)), t [0, 2π], > 0. Dann γ (t) ( in(t), o(t)) und γ (t) ( 2 in 2 (t) + 2 o 2 (t)) 1 2. Alo L(γ) 2π 0 dt 2π. Bemekung Die Denition maht nu Sinn, wenn L(γ) unabhängig von de Paametiieung von γ it. Betahte γ : [, d] R n τ γ(ϕ(τ)) mit Paametewehel ϕ : L( γ) d γ (τ) 2 dτ d Mit de Subtitution t ϕ(τ) und dt ϕ (τ)dτ egibt ih... (1) mit ϕ > 0: (2) mit ϕ < 0, d.h. ϕ ϕ : L( γ) L( γ) aϕ(d) bϕ() bϕ(d) aϕ() γ (t) 2 dt [, d] [a, b] t ϕ(t). Dann γ (ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ. γ (t) dt L(γ). b a γ (t) 2 dt L(γ). Spezialfall Sei Ψ(t) t a γ (τ) dτ. Dann Ψ (t) γ (t) > 0, fall γ (t) 0 fü t [a, b]. Ψ : [a, b] [0, L(γ)] it bijektiv mit Umkehfunktion Ψ 1 ϕ : [0, L(γ)] [a, b], wobei alo mit γ : γ ϕ: ϕ () 1 Ψ (Ψ 1 ()) 1 γ (ϕ()), γ () γ (ϕ())ϕ () γ (ϕ()) γ (ϕ()) 1, d.h. mit γ wid die Kuve mit kontante Gehwindigkeit duhlaufen. γ wid dann al die Bogenlängenpaametiieung de Kuve bezeihnet. Matin Gubih 34 SS 2008

5 Beipiel Wi betahten die duh γ : [0, 6π] R 3 t ( o(t), in(t), t) gegebene Helix ( R). Dann γ (t) ( in(t), o(t), ); γ (t) ; t Ψ(t) (2 + 2 )dτ t ; ϕ() , d.h. die Bogenlängenpaametiieung γ de Kuve it gegeben duh ( ( ) ( ) ) γ() o, in, Beobahtungen (1) De Tangenteneinheitvekto θ() γ () de Bogenlängenpaametiieung γ eine Kuve Γ efüllt θ() : θ()θ() 1. (2) Geneell gilt fü die Ableitungen von Einheitvektoen: θ ()θ() 0, d.h. die Ableitung de Einheitvekto it othogonal zum Einheitvekto: 0 d d 1 θ ()θ() + θ()θ () 2θ()θ () θ()θ () 0. (3) Die Kümmung K() θ () gibt an, wie hnell ih die Rihtung de Kuve lokal ändet: (4) Im Fall K() 0 bezeihnet n() : θ () K() den Einheitnomalenvekto. (5) Die Kuve Γ veläuft lokal annähend in de θ-n-ebene: In eine Umgebung von γ() wählen wi al Baivektoen a : γ() γ( h) und b : γ(+h) γ() bzw. äquivalent dazu (d.h. übe Baiwehel) b+a b a 2h und h, dann 2 b + a 2h b a h 2 γ( + h) γ( h) 2h γ( + h) 2γ() + γ( h) h 2 denn mit Taylo-Entwiklung (um den Punkt ) gilt: h γ () θ(); h γ () θ () K()n(), γ( + h) γ() + hγ () + h2 2 γ () + h3 6 γ (ϑ); γ( h) γ() hγ () + h2 2 γ () h3 6 γ (ϑ) mit gleihmäÿig behänktem Retglied, fall γ C 3 ([a, b], R n ). (6) Im Deidimenionalen egänzen wi θ() und n() mit dem Binomalenvekto b() : θ() n() zu eine Othonomalbai. Matin Gubih 35 SS 2008

6 Dabei denieen wi da Vektopodukt (Keuzpodukt) folgendemaÿen: a, b R 3 a b : a 2b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3. a 1 b 2 a 2 b 1 n liegt in de θ-b-ebene, denn n ()n() 0. Weite gilt fü die Kümmung de Kuve: K n(kn) nθ (nθ) nθ n θ. }{{} 0 Wi wollen noh unteuhen, wie tak ih Γ lokal au de n-θ-ebene entfent. Betahte dazu τ() : n ()b(). τ gibt die Ändeung de Nomalenvekto n in Rihtung b an und wid al die Toion de Kuve bezeihnet. Beipiel Wi betahten wiede die Bogenlängenpaametiieung de Helix ( ( ) ( ) ) γ() o, in, (1) Die Kümmung de Kuve betägt K() θ () Im Fall 0 it Γ ein Kei mit K() 1 kontant und abhängig vom Radiu. Man nennt 1 K dahe auh den Kümmungadiu de Kuve Γ. (2) De Nomalenvelto zeigt nah innen (d.h. auf die z-ahe). ( ( ) ( ) ) n() o, in, (3) Fü den Binomalenvelto ehalten wi ( ( ) ( ) ) b() 2 + in, o, ; bei 0 : b() (0, 0, 1 ). (4) Die Toion von Γ it T () ; bei 0 : τ() 0. Matin Gubih 36 SS 2008