Beweis. herleiten. Ist also z S α, so haben wir eine Darstellung der Form. Da log α die Umkehrfunktion ist gilt somit. log α (z) = x + iy.

Transkript

1 Tuto: Matin Fiesen, Übungsblatt 6 - Funktionentheoie, Pof. G. Hemion Hie weden wi die theoetischen Übelegungen de analytischen Fotsetzungen anhand diese beiden Beispiele diskutieen. Dieses ist etwas ausfühliche als es die Aufgabenstellung velangt, jedoch sollte daduch hoffentlich eine bessee Einsicht in dieses Gebiet möglich sein.. Fü z + iθ ist exp(z) e e iθ. Dahe ist die Exponentialfunktion eine Sujektion C C\{0}. Sei nun S α {z C : z x + iy und α π y < α + π} de halb offene Steifen um α. Dann ist exp : S α C\{0} eine Bijektion. Die zu exp invese Abbildung ist de Logaithmus, log. Indem veschiedene Zahlen fü α genommen weden, kann de Logaithmus imme, zumindest lokal, festgelegt weden. (a) Zeigen Sie, dass die Funktion log analytisch ist. Was ist log (z)? (b) Die Funktion log kann duch analytische Fotsetzung entlang des Weges z, dh γ(t) e it, festgelegt weden. Abe es gilt dann, dass log(γ(0)) log(γ(2π)), obwohl doch γ(0) γ(2π)! Waum? Beweis. Fü z S α gilt z + 2πik S α, k Z. Damit ist die Exponentialfunktion auf diesem Steifen nicht peiodisch und die Injektivität ist wegen de stengen Monotonie de eellen Exponentialfunktion gesichet. Die Abbildung: exp : S α C\{0} ist wegen de Polakoodinatendastellung sujektiv. Wi wollen zu Beginn eine allgemeine Fomel fü die Umkehfunktion log α : exp(s α ) S α heleiten. Ist also z S α, so haben wi eine Dastellung de Fom Da log α die Umkehfunktion ist gilt somit z e x+iy, α π < y < α + π. () log α (z) x + iy. Stellen wi z z e i ag(z) mit ag(z) [ π, π] in Polakoodinaten da, so ehalten wi mit () diekt e x z, y ag(z) mod 2π Aus de esten Gleichung ehalten wi: x ( log( z ) und aus de) zweiten finden wi ein α π ag(z). Damit haben wi die k k α Z mit y ag(z) + 2πk, dh. k allgemeine Dastellung 2π, α+π ag(z) 2π log α (z) log( z ) + i ag(z) + 2πik α, k α Z (2) Also ist jede Logaithmusfunktion von diese Fom. Dieses ist bishe nichts neues. Wi wussten ja, dass exp sujektiv ist und dass wi damit Zuodnungen wie obige basteln können (siehe fühee Aufgaben). Ein wichtige Unteschied ist jetzt, dass wi eine analytische Umkehung bekommen haben wie sich bald zeigen wid. Zuvo halten wi jedoch

2 fest, wie stak sich log α fü veschiedene Wete von α untescheiden. Und zwa folgt jetzt aus de Dastellung von (2) diekt log α (z) log β (z), z exp(s α S β ) (3) Mit diesen Zutaten lässt sich übeall ein schöne Logaithmus zusammenbasteln. (a) log ist analytisch: Wi betachten hie estmal nu das Innee von S α also die Menge welche unte exp auf I α {z C : z x + iy und α π < y < α + π} C\{te iϕ C : ϕ α π, t 0} abgebildet wid. De Gund ist, dass die ausgenommene Geade zum einen uns emöglicht den Satz de Gebietsteue zu benutzen und zum andeen an diese Stelle sich eine Unstetigkeit befindet wie in Aufgabenteil (b) zu sehen sein wid. Da exp als analytische Funktion offene Mengen auf offene Mengen abbildet folgt diekt, dass de Logaithmus log α stetig sein muss. Als nächstes zeigen wi, dass log α analytisch ist und bestimmen die Ableitung. Dazu seien z, z 0 exp(i α ) beliebig und w, w 0 I α Zahlen mit exp(w) z sowie exp(w 0 ) z 0. Es gilt jetzt log α (z) log α (z 0 ) log α(exp(w)) log α (exp(w 0 )) z z 0 exp(w) exp(w 0 ) exp(w) exp(w 0. ) w w 0 Gehen wi zu dem Genzwet z z 0 übe so folgt wegen de Stetigkeit von log α auch und somit w w 0. Damit ehalten wi log lim α (z) log α (z 0 ) z z 0 z z 0 w log α (z) log α (z 0 ) w 0, z z 0 lim w w 0 exp(w) exp(w 0 ) w w 0 exp (w 0 ) exp(w 0 ). z 0 Also ist log α analytisch und es gilt: log α(z) z. Fassen wi alles zusammen so haben wi fü die bijektive Abbildung eine analytische Umkehabbildung exp : I α exp(i α ) log α : exp(i α ) I α, log α(z) z konstuiet. Beispiele fü einige Funktionswete sind in den Bemekungen zu finden. Wi betachten den wichtigen Fall α 0. Hie haben wi die geschlitzte Ebene S 0 C\{ t C : t 0} als Definitionsbeeich und de Logaithmus sieht wie folgt aus 2

3 Dabei ist links de Definitionsbeeich und echts de Wetebeeich. Die oten bzw. blauen Linien weden einfach wiede in die oten bzw. blauen Linien übefüht. Die schwaze Linie ist de Halbstahl mit t welche ausgeschnitten wude. Die Funktion log 0 wid auch als Hauptzweig des Logaithmus bezeichnet (k 0 0 in (2)). Wollen wi jedoch bei log 0 auch negative eelle Zahlen einsetzen so sind wi gezwungen den vekleineten Definitionsbeeich wiede auszuweiten. Allgemeine müssen wi also von I α zu S α übegehen. Dieses ist jedoch mit Einbußen vebunden wie de Aufgabenteil (b): zeigt. Nach einem Satz aus de Volesung ist die Existenz eine Fotsetzung entlang eine Kette äquivalent zu de Existenz eine Fotsetzung fü die Ableitung. Jetzt lässt sich die Funktion B : {w C : w < } C, w w als Ableitung de Funktion log( + z) : ( ) k+ z k, B C (4) k k auf ganz C\{0} fotsetzen. Es wude in andeen Untesuchungen beeits gezeigt, dass (4) einen Logaithmus (den Hauptzweig) liefet. Betachten wi jedoch den Beweis genaue so stellen wi fest das die Fotsetzung duch Bilden de Stammfunktion und anpassen de Konstanten gewonnen wid. Also ehalten wi: log(z) γ z dw w. (5) Dabei ist γ z ein Weg von einem festen Punkt z 0 nach z. Wählen wi z 0 und γ z als ein Weg wie im Tutoium bespochen so ehalten wi diekt (2) zuück. Das heißt die Konstuktion des Logaithmus übe Ketten und Stammfunktionen untescheidet sich nicht wiklich von de Kostuktion übe die Umkehfunktion (sollte wohl ja auch so sein ode). Genauso hätten wi abe auch die Fomel (5) diekt auf dem Beeich exp(i α ) anwenden können, da dieses Gebiet einfach zusammenhängend ist. Weten wi jetzt (5) auf Punkten de Fom z γ(t) e it wie aus de Aufgabenstellung. Mit de Paametaisieung γ z (s) e is, s [0, t] ehalten wi die Dastellung (übeaschende?) log(e it ) log(z) γ z dw t w 0 ie is e is it. Jedenfalls folgt somit log(γ(2π)) log(γ(0)) 2πit 0 3

4 Wi können uns dieses so vostellen, dass de Logaithmus als Definitionsbeeich nicht C sonden ehe die oben abgebildete Spiale haben sollte. Je nachdem welche Wahl wi fü α bzw. das k aus (2) teffen bewegen wi uns in eine andeen Höhe de Spiale. Genauso gelten die Logaithmusgesetze dann entwede nu, wenn wi diese Modulo 2πi betachten ode wenn wi diese Spialenveschiebung mit einbeziehen und uns aus allen S α einen ganzen Logaithmus basteln. Dieses wude beeits mit de Fomulieung lokal festgelegt in de Aufgabenstellung angedeutet. 2. Die Gammafunktion wid duch das paameteabhängige Integal 0 e u u z du definiet. (a) Zeigen Sie, dass das Integal konvegiet, fü R(z) > 0. (b) Zeigen Sie, das die Funktionalgleichung z Γ(z + ) gilt fü alle solche z. Beweis. Fü die Konvegenz eicht es zu zeigen, dass I,R : e u u z du in, R > 0 beschänkt ist. Denn de Integand ist positiv und somit fü wachsende R und fallende monoton wachsend, also konvegent. Wegen lim u ux+ e u 0, x > 0 sei > 0 so gewählt, dass u x+ e u <, u (6) 4

5 gilt. Folglich haben wi mit z x + iy, x > 0 und 0 < < < R I,R e u u x du () ux x e u u x du + u x du + ux 0 x + u R du u 2 ux e u u x+ du u 2 0 x x R + Fü die Funktionalgleichung benutzen wi jetzt patielle Integation. Diese vewenden wi estmal auf dem kompakten Intevall [, R] und betachten anschließend die Genzwete 0 und R wo dann die Randteme veschwinden. Es gilt jetzt und R e u u z dz e u u z + z e z e x e +x log() 0, 0 e R R z e R R x e R+x log(r) 0, R. e u u z dz. (7) Gehen wi jetzt in (2) zu dem Genzwet übe und benutzen obige Resultate so bekommen wi Γ(z + ) z zγ(z). Bemekung 0.. Aufgabe. Jetzt haben wi in de esten Aufgabe die Existenz de Logaithmusfunktionen bewiesen und auch explizite Fomeln konstuiet. Mit diesen wollen wi vielleicht ein wenig spielen. Als estes bestimmen wi einige Funktionswete fü alle Zweige mittels de Fomel aus (2), also k Z: log() 2πik, log(i) i π 2 + 2πik 2πi(k + 4 ) log( x) log( x ) + 2πik πi log( x ) + πi(2k ), x < 0 Den Hauptzweig ehalten wi jeweils fü k 0. Jetzt wollen wi zu etwas inteessanteen Anwendungen kommen und einnen uns an die Definition a b : exp(b log(a)), a, b C 5

6 wann imme diese Ausduck definiet ist. Wollen wi jetzt zum Beispiel die Potenzfunktionen f(z) a z exp(z log(a)) untesuchen so müssen wi lediglich uns fü einen Logaithmus entscheiden, seinen Definitionsbeeich finden und ehalten eine analytische Funktion. Genauso können wi auch f(z) sin(z), g(z) Γ(z),... untesuchen wann imme diese definiet sind. Dabei schänkt man sich häufig auf den Hauptzweig des Logaithmus ein. Abe auch Ausdücken wie i i, i i kann jetzt eine Bedeutung gegeben weden. Das zweite zum Beispiel hat mit dem Hauptzweig die Dastellung i i exp( i log(i)) exp( 2 ( + i)π i) exp( π) exp(iπ ) Zum Beispiel die Funktion f(z) i z hat mit dem Hauptzweig des Logaithmus die Fom f(z) e πi 2 z und die die Funktion mit dem Hauptzweig die Dastellung g(z) i z g(z) ( ) z 4 In Bilden lässt sich die Wikung dabei wie folgt dastellen: Aufgabe 2. Die Gammafunktion ist eine seh wichtige Funktion. Diese findet zum Beispiel Anwendung in de Physik, Wahscheinlichkeitstheoie, Funktionentheoie... De este Teil zeigt, dass diese wohldefiniet ist. Die Funktionalgleichung zeigt uns mit Γ() insbesondee die Identität Γ(n + ) n!, n N. Damit lässt sich diese Funktion als analytische Intepolation de Fakultät deuten (es sollte kla sein, dass Γ analytisch ist). Weitehin können wi mit diese Gleichung abe auch Γ auf R(z) 0 fotsetzen. Dieses funktioniet mit Γ(z + ), R(z) > 0 z 6

7 duch die fomale Rechnung ( Γ 3 ) 23 ( 2 Γ ) 4 ( ) 2 3 Γ 4 π. 2 3 Im allgemeinen sei also x + iy z C mit z n, n N und x 0. Wähle k N mit x + k 0 so haben wi Γ(z + ) z Γ(z + 2) z(z + ) Γ(z + k) k (z + j) j0. Damit bekommen wi eine analytische Fotsetzung de Gammafunktion auf mit de Identität {x + iy C : x + iy n, n 0} Γ(z + k) z(z + )... (z + k ) mit x + k 0, k N. (8) Man mache sich kla, dass dieses eine analytische Fotsetzung ist und diese unabhängig von de Wahl von k N ist. An de dastellung (3) sehen wi, dass diese Funktion an den negativen ganzen Zahlen einfache Pole besitzt. Fü das Residuum gilt es z n ( )n. n! Zum Schlußwollen wi einige Identitäten, welche sich mit de Funktionentheoie zeigen lassen, festhalten: ( e γz + z ) z e k, γ lim z k n k π Γ(z)Γ( z) sin πz Γ(z) 2πz z 2 e z, R(z). n k k log n Zum Schluss schauen wi uns das Abbildungsvehalten de Gammafunktion an 7