GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses

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1 GMFH - Gesellschaft fü Mathematik an Schweize Fachhochschulen SMHES - Société pou les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses Mathematik-Refeenzaufgaben zum Rahmenlehplan fü die Beufsmatuität (RLP-BM ) Gundsatzfage - elementae tigonometische Funktionsbeziehungen bestimmen (tigonometische Pthagoas Peiodizität Smmetien ). - die Akusfunktionen als Umkehfunktionen de tigonometischen Funktionen (mit eingeschänktem Definitionsbeeich) intepetieen und gafisch visualisieen (auch ohne Hilfsmittel). - elementae tigonometische Gleichungen am Einheitskeis visualisieen und mithilfe de Akusfunktionen lösen. Hannes Böhi (HSR Rappeswil)

2 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite von 8 Vobemekung zu den Aufgaben bis 8 Wie sind die tigonometischen Funktionswete eines beliebigen Winkels α definiet und wie lassen sich diese Funktionswete aus eine Einheitskeis-Figu ablesen? s ( ) t ( ) α sin( α ) cos( α ) ( tan( α )) Zuest wid de Winkel α von de positiven Abszissenachse aus abgetagen (positive Winkel im Gegenuhzeigesinn negative Winkel im Uhzeigesinn) Auf diese Weise gehöt zu jedem Winkel α ein vom Uspung ausgehende Stahl s. ( ) sei ein beliebige Punkt auf dem zu α gehöenden Stahl s und de Abstand dieses Punktes vom Nullpunkt. ( ) sei de zum Winkel α gehöige Punkt auf dem Einheitskeis (= Schnittpunkt des Stahls s mit dem Einheitskeis). Dann gilt: sin( α) Odinate eines beliebigen Punktes auf s Nullpunktsabstand dieses Punktes Definition Stahlensatz = = = = = Odinate des zu α gehöenden Punktes auf dem Einheitskeis cos( α) = = Definition Abszisse eines beliebigen Punktes auf s Stahlensatz = = Nullpunktsabstand dieses Punktes = Abszisse des zu α gehöenden Punktes auf dem Einheitskeis tan( α) = = Definition Eweiten mit Odinate eines beliebigen Punktes auf s sin( α) = = Abszisse dieses Punktes cos( α) t sei die Tangente an den Einheitskeis im Punkt ( ). Dann lässt sich tan( α ) wie folgt aus de obigen Figu heauslesen: De Stahl s ode die den Stahl s enthaltende Geade schneidet t im Punkt ( tan( α )).

3 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite von 8 Aufgabe (Aufgabe zu den Quadantenbeziehungen de tigonometischen Funktionen) a) Veeinfachen Sie: sin( ) + sin( ) + cos( ) + cos( ) : sin( ) + sin( ) + cos( ) + cos( ) = sin( ) sin( ) cos( ) Die im obigen sweg benützten Quadantenbeziehungen lassen sich sowohl aus eine Einheitskeisfigu als auch aus den Gaphen von sin und cos heauslesen: sin( ) = sin( ) cos( ) sin sin( ) = sin( ) cos( ) cos cos( ) = cos( ) cos( ) = cos( ) b) Veeinfachen Sie: sin( ) cos( ) + sin( ) + cos( ) + sin( + ) : sin( ) cos( ) + sin( ) + cos( ) + sin( + ) = cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) Die im obigen sweg benützten Quadantenbeziehungen lassen sich am einfachsten aus den Gaphen von sin und cos heauslesen: + sin( ) = sin( ) = cos( ) cos( ) = sin( ) sin + cos

4 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite von 8 Aufgabe Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel [ ;[ sin ( + ) = welche die folgende Gleichung efüllen: De Sinus eines Winkels ist die Odinate (=. Koodinate) des zum Winkel gehöenden Punktes auf dem Einheitskeis. Es gibt zwei Punkte auf dem Einheitskeis mit de Odinate und somit zweimal unendlich viele Winkel mit dem Sinuswet : 5 Diese Winkel ist ( = ) denn die kleine Kathete des schattieten Deiecks ist halb so goss wie seine Hpotenuse. Damit ist das schattiete Deieck ein halbes gleichseitiges Deieck also ein / Deieck. sin ( + ) = ode 5 k k k k k k + = + k + = + k wobei = + k = + k = + = + = + = + Gesucht sind in diese Aufgabe nu die Winkel aus dem Intevall [ ; [ also { 5 } Zwei Bemekungen: Es gibt Winkel im Intevall [ ; [ mit dem Sinuswet. Zusammen mit de in de Bedingung sin ( + ) = ehält man dahe = Winkel im Intevall [ ; [. De ote Winkel in de obigen Figu ist übigens acsin ( ). E kann hie bestimmt weden ohne dass man die Funktion acsin bzw. sin benützt. In den folgenden Aufgaben 5 und 7 ist man abe auf die Akusfunktionen angewiesen weshalb diese hie kuz eklät seien.

5 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite von 8 Definition de Akusfunktionen acsin ist die Umkehfunktion von sin* wobei sin* nu auf dem Intevall definiet ist und dot mit de Sinusfunktion übeeinstimmt. acsin liefet zu einem gegebenen Sinuswet stets nu einen Winkel aus dem Intevall. acsin - sin* - accos ist die Umkehfunktion von cos* wobei cos* nu auf dem Intevall [ ] definiet ist und dot mit de Cosinusfunktion übeeinstimmt. accos accos liefet zu einem gegebenen Cosinuswet stets nu einen Winkel aus dem Intevall [ ]. - - cos* actan ist die Umkehfunktion von tan* wobei tan* nu auf dem Intevall definiet ist und dot mit de Tangensfunktion übeeinstimmt. actan liefet zu einem gegebenen Tangenswet stets nu einen Winkel aus dem offenen Intevall tan* actan -

6 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite 5 von 8 Aufgabe Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel welche die folgende Gleichung efüllen: sin ( 7 ) =.8 acsin(.8) acsin(.8) ( ) sin 7 =.8 7 = acsin(.8) + k 7 = acsin(.8) + k wobei 7 = + acsin(.8) + k 7 = + acsin(.8) + k.8 + acsin(.8) + acsin(.8) = + k = + k Aufgabe.a) Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel [ ;[ cos(5 ) = welche die folgende Gleichung efüllen: Nach Pthagoas: Also / Deieck da Hpotenuse = = doppelt so goss wie kleine Kathete 5 5 ± 5 ± 5 ± 5 cos(5 ) = 5 = + k 5 = + k wobei 5 = + k k = + k = + k Gesucht: { } 5 5

7 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite von 8 Bemekung: Es gibt Winkel im Intevall [ [ in de Bedingung cos( 5 ) = ehält man dahe 5 ; mit dem Cosinuswet. Zusammen mit de 5 = Winkel im Intevall [ [ ;. Aufgabe.b) Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel α welche die folgende Gleichung efüllen: cos( α) = cos( α) = =. =.7 : fü die Skizze Nach Pthagoas: = = cos( α) = Also gleichschenkligechtwinkliges Deieck α = ± + k k α = ± + Aufgabe 5 Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel welche die folgende Gleichung efüllen: cos( + ) =. accos(.). cos( + ) =. + = ± accos(.) + k = ± accos(.) + k = ± accos(.) + k accos(.)

8 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite 7 von 8 Aufgabe Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel β [ ;[ welche die folgende Gleichung efüllen: tan( β ) = tan( β ) = =.7. : fü die Skizze t Nach Pthagoas: + = = Also / Deieck da Hpotenuse doppelt so goss wie kleine Kathete ( ) tan( β ) = k k β = + β = + k = + k Gesucht: β { } Bemekung: Es gibt Winkel im Intevall [ ; [ mit dem Tangenswet in de Bedingung tan( β ) = ehält man dahe. Zusammen mit de ;. = Winkel im Intevall [ [ Aufgabe 7 Bestimmen Sie das Bogenmass alle Winkel γ welche die folgende Gleichung efüllen: tan(8 γ ) = t ( ) actan ( )

9 Gundsatzfage : Tigonometische und Akusfunktionen (Hannes Böhi) Seite 8 von 8 tan(8 γ ) = ( ) ( ) 8γ = actan + k 8 k 8 γ = actan + Aufgabe 8 (Aufgabe zum tigonometischen Pthagoas-Satz) Veeinfachen Sie: a) + tan ( α) + cos ( α) b) cos( ) sin( ) tan( ) a) sin ( α) cos ( α) + sin ( α) + tan ( α) + = + + = + cos ( α) cos ( α) cos ( α) cos ( α) cos ( α) = cos ( α) b) cos ( ) sin ( ) sin ( ) sin( ) tan( ) = = cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) = cos( )