Aufgabe S 1 (4 Punkte)

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1 Aufgabe S 1 (4 Punkte) In ein gleichschenklig-echtwinkliges Deieck mit Kathetenlänge 2 weden zwei Quadate so einbeschieben, dass a) beim esten Quadat eine Seite auf de Hypotenuse liegt und b) beim zweiten Quadat zwei Seiten auf den Katheten liegen. Welches Quadat hat die gößee Fläche? Beechnen Sie die Kantenlänge des andeen Quadates. Lösung: a) b) In de Situation a) besteht das uspüngliche Deieck aus dem einbeschiebenen Quadat und dei gleichschenklig-echtwinkligen Deiecken. Bei zwei diese Deiecke ist die Kathetenlänge gleich de Quadatseite. Diese beiden Deiecke haben zusammen also die gleiche Fläche wie das Quadat. Insbesondee ist die Quadatfläche kleine als die Hälfte de Deiecksfläche. Im Fall b) dagegen besteht das goße Deieck aus dem Quadat und zwei gleichschenkligechtwinkligen Deiecken, deen Kathetenlänge gleich de Quadatseite ist. Also ist die Quadatfläche gleich de halben Deiecksfläche und damit göße als in a). In Zahlen: Bei a) ist die Quadatseite s ein Dittel de Deieckshypotenuse, also s = 1 3 8, die Quadatfläche also 8 9. Bei b) ist die Quadatseite halb so lang wie eine Kathete des Deiecks, also 1, die Quadatfläche ist also 1. Zusammengefasst: Das Quadat in b) hat die gößee Fläche, die Kantenlänge des andeen Quadates betägt

2 Aufgabe S 2 (4 Punkte) Bestimmen Sie alle x R, fü die gilt: (x 2 5x + 5) (x2 9x+20) = 1. Lösung: Sind a und b eelle Zahlen mit a b = 1, so liegt eine de folgenden Fälle vo: 1. b = 0, a beliebig. 2. a = 1, b beliebig. 3. a = 1, b Z geade. In de Situation de Aufgabe titt Fall 1 ein, wenn x 2 9x + 20 = 0 ist, also fü x = 4 und x = 5. Fall 2 titt ein, wenn x 2 5x + 5 = 1 ist, also fü x = 4 und x = 1. Damit Fall 3 eintitt, muss x 2 5x + 6 = 0 sein, also x = 2 ode x = 3. Ist x = 2, so ist x 2 9x + 20 ungeade, 2 ist also keine Lösung. Fü x = 3 ist dagegen x 2 9x + 20 geade, 3 ist also Lösung. Insgesamt ist die Gleichung also fü x = 1, 3, 4 und 5 efüllt, fü alle andeen eellen Zahlen nicht.

3 Aufgabe S 3 (4 Punkte) Gegeben ist ein egelmäßiges Neuneck. Wie goß ist de Winkel α? α Lösung: De Innenwinkel im egelmäßigen n-eck betägt , im Neuneck also n 140. Die Winkelsumme in dem Vieeck, das den Winkel α und dei Ecken des Neunecks enthält, ist also 360 = α , woaus α = 60 folgt. Elegante ist es, die Schenkel des Winkels α zu velängen und ebenso die α gegenübeliegende Neuneckseite zu velängen. Es entsteht ein gleichseitiges Deieck, dessen Winkel α ist: α

4 Aufgabe S 4 (4 Punkte) Ein L-fömige Block wid wie abgebildet aus 63 weißen Einheitswüfeln gebildet. Anschließend wid die gesamte Obefläche des Blocks ot angestichen. Wie viele de 63 Wüfel haben a) keine ote Fläche, b) genau eine ote Fläche, c) genau zwei ote Flächen, d) dei ote Flächen? Lösung: a) 4 b) 20 c) 29 d) 10

5 Aufgabe S 5 (4 Punkte) Welche Koodinaten hat de Schnittpunkt S de beiden duch die folgenden Gleichungen beschiebenen Geaden? 628x + 372y = x + 628y = 4488 Lösung: Addition und Subtaktion de beiden Gleichungen egibt 1000(x + y) = (x y) = 1024 und damit x + y = 10 und x y = 4. Somit hat S die Koodinaten (7, 3).

6 Aufgabe S 6 (4 Punkte) Ein Kegel mit de Höhe 12 cm und dem Gundkeisadius 6 cm steht auf de Spitze und wid mit Wasse gefüllt, bis es 10 cm hoch steht. Wie hoch steht das Wasse, wenn de Kegel umgedeht wid? h =? 6 Lösung: R d h =? De Radius de Wasseobefläche egibt sich aus 10 = 6, also zu = Somit ist das Wassevolumen V W = 1 3 π Da de gesamte Kegel das Volumen V = 1 3 π62 12 hat, ist das Volumen des (luftgefüllten) Kegelstumpfes obehalb des Wasses V L = V V W = 1 3 π( ) = 1 3 π182. Nach Umdehen des Kegels füllt die Luft einen Kegel de Höhe d und des Gundkeisadius R, wobei wiede gilt R = 1, also d = 2R. d 2 Das Volumen dieses Kegels ist 1 3 πr2 d = 1π 3 2R3. Da dies gleich dem vohe beechneten Volumen V L sein muss, folgt R 3 = 91 und somit h = 12 d =

7 Aufgabe S 7 (4 Punkte) a) Wie viele deistellige Zahlen mit dei veschiedenen Ziffen gibt es? b) Bei wie vielen diese Zahlen ist eine Ziffe de Mittelwet de beiden andeen Ziffen? (Beispiel: 195 und 210 sind solche Zahlen, denn es gilt 5 = und 1 = ) Lösung: a) Fü die este Ziffe gibt es 9 Möglichkeiten, nämlich 1, 2,..., 9. Fü die zweite Ziffe gibt es jeweils wiede 9 Möglichkeiten, nämlich jede de Ziffen 0, 1,..., 9 auße de esten. Schließlich gibt es fü die ditte Ziffe jeweils noch acht Möglichkeiten. Also gibt es insgesamt = 648 deistellige Zahlen mit dei veschiedenen Ziffen. b) Ist eine Ziffe de Zahl Mittelwet de beiden andeen Ziffen, so sind die beiden andeen die gößte und die kleinste Ziffe de Zahl, und sie sind entwede beide geade ode beide ungeade. Umgekeht ist de Mittelwet duch die beiden andeen Ziffen natülich festgelegt. Abgesehen von de Reihenfolge gibt es also zu jedem Paa von geaden und jedem Paa von ungeaden Ziffen eine solche Zahl. Von jede Sote gibt es ( 5 2) = 10 Paae, insgesamt also 20. Fü jede deatige Kombination von Ziffen gibt es 6 veschiedene Reihenfolgen, wenn keine de Ziffen 0 ist, sonst nu 4. Also gibt es solche Zahlen = 112

8 Aufgabe S 8 (4 Punkte) Ein gleichseitiges Deieck ABC habe die Seitenlänge 4 cm. Velänget man zwei de Seiten, lässt sich ein Keis finden, de sowohl an den velängeten Seiten als auch an de vebleibenden Deiecksseite anliegt. M C Wie goß ist de Keisadius? A B Lösung: M C P A D h B Da die Deiecke BMP und BAD ähnlich sind, ist 2 = + h 4, wobei h die Höhe des Deiecks ABC ist, also h = 12. Also ist = h = 2 3.

9 Aufgabe S 9 (4 Punkte) In einem Gaten liegen eine quadatische und sieben unde Steinplatten keisfömig im Gas. Minnie steht auf de quadatischen Platte und wift eine Münze. Bei Kopf hüpft sie im Uhzeigesinn eine Platte weite, bei Zahl hüpft sie eine Platte entgegen dem Uhzeigesinn. Mit welche Wahscheinlichkeit steht Minnie nach achtmaligem Münzwuf und Hüpfen wiede auf de quadatischen Platte? Lösung: Es gibt folgende Möglichkeiten, am Ende wiede auf de quadatischen Platte zu sein: 1. Achtmaliges Hüpfen im Uhzeigesinn; die Wahscheinlichkeit hiefü ist ( 1 2 )8. 2. Achtmaliges Hüpfen gegen den Uhzeigesinn, ebenfalls mit Wahscheinlichkeit ( 1 2 )8. 3. Viemal mit und viemal gegen den Uhzeigesinn hüpfen; das geschieht mit Wahscheinlichkeit ( 8 4). Also ist die gesuchte Wahscheinlichkeit = 9 32.