Ouvertüre: Kreise in gotischem Maßwerk

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1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek 1 Wi beginnen unseen Spaziegang duch die Keisgeometie mit de Konstuktion einige inteessante und in de Kunst vielfach auftetende Figuen, die sich aus Keisbögen zusammensetzen. Die theoetischen Gundlagen, die wi hiefü benötigen, sind seh geing: Es genügt de Satz des Pythagoas. Zuvo wefen wi einen kuzen Blick auf die in diesem Buch vewendeten Bezeichnungen (siehe Abb. 1.1). Die Geade g duch die Punkte A und B bezeichnen wi mit AB, diestecke mit den Endpunkten A und B mit AB. Jede Geade ist die Tägegeade de auf ih liegenden Stecken. Punkte P;Q;:::auf eine Geaden heißen kollinea. Jede Punkt eine Geaden AB teilt diese in zwei, in diesem Punkt beginnende Halbgeaden. Die in A beginnende Halbgeade duch B bezeichnen wi mit AB C. Die Länge de Stecke AB ist de Abstand de Punkte A und B, denwialsd.a;b/ scheiben. Da Missveständnisse nicht zu befüchten sind, weden wi bisweilen auch vom Vehältnis zweie Stecken spechen, wenn wi das Vehältnis ihe Längen meinen. De C F B S S S A g Abb. 1.1 Gundbegiffe Spinge-Velag Belin Heidelbeg 2015 G. Aumann, Keisgeometie, Spinge-Lehbuch, DOI / _1 1

2 2 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek Sehne Q P M M k Duchmesse A k Abb. 1.2 Begiffe am Keis Abstand d.c;g/ eines Punktes C von eine Geaden g ist die Länge de Stecke CF, wobei F de Fußpunktdes vonc aufg gefällten Lotes ist. Zwei Halbgeaden mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S bilden einen Winkel mit dem Scheitel S. Zwei Geaden duch S ezeugen somit vie Winkel, von denen je zwei gegenübeliegende (als Scheitelwinkel) gleich goß sind und zwei benachbate sich zu 180 ı egänzen. Kennt man also einen Winkel, so kennt man alle. Wi spechen dahe kuz vom Schnittwinkel zweie Geaden. Handelt es sich bei den Geaden um die Tangenten zweie Kuven in einem gemeinsamen Punkt S, so ist dies auch de Schnittwinkel diese Kuven. Betägt e 0 ı (ode 180 ı ), so beühen sich die Kuven. In eine Ebene ist ein Keis k duch seinen Mittelpunkt M und seinen adius festgelegt als Ot alle Punkte de Ebene, die von M den Abstand haben. Die Vebindungsstecke zweie Keispunkte heißt Sehne des Keises, ist sie doppelt so lang wie ein adius, auch Duchmesse (siehe Abb. 1.2). Besitzt ein Keis den Duchmesse AB, so spechen wi kuz vom Keis übe AB. Jede Sehne teilt die Keisfläche in zwei Segmente. Einen duch zwei adien MP und MQ ausgeschnittenen Keisbogen und dessen Länge bezeichnen wi mit PQ (siehe Abb. 1.2). Es gibt davon zwei, die wi zueinande komplementä nennen. Die beiden Halbgeaden MP C und MQ C schließen den zugehöigen Mittelpunktswinkel ode Zentiwinkel ein. Wählen wi einen (von P und Q veschiedenen) Punkt A auf dem zu einem Bogen PQ komplementäen Bogen, so liefen die Halbgeaden AP C und AQ C einen Umfangswinkel ode Peipheiewinkel übe dem Bogen PQ. Wenn kla ist, welche Bogen mit den Endpunkten P;Q gemeint ist, spechen wi bisweilen auch vom Umfangswinkel übe de Sehne PQ. Schließlich nennen wi zwei Keise mit gleichem Mittelpunkt konzentisch.diegeade duch die Mittelpunkte zweie nicht konzentische Keise ist deen Zentale.

3 1.1 De bekannteste Keis De bekannteste Keis De wohl bekannteste Keis ist nach Thales benannt, de etwa von 625 bis 547 v. Ch. in Milet, eine Stadt an de Westküste Kleinasiens, lebte. In seine weitestgehenden Fomulieung lautet de entspechende Satz wie folgt. Satz 1.1 (Satz des Thales) Das Deieck ABC besitzt genau dann bei C einen echten Winkel, wenn de Punkt C auf dem (Thales-)Keis übe AB liegt. Da die Winkelsumme im Deieck 180 ı betägt, egeben in einem echtwinkligen Deieck die nicht echten Winkel zusammen 90 ı. Hat also das Deieck ABC bei C einen echten Winkel, so kann man diesen duch eine Stecke CD so teilen, dass im Deieck ADC zweimal de Winkel und im Deieck BCD zweimal de Winkel ˇ auftitt (siehe Abb. 1.3a). Da ein Deieck mit zwei gleichen Winkeln gleichschenklig ist, folgt hieaus d.a;d/ D d.c;d/ D d.b;d/; weshalb die Punkte A; B; C auf einem Keis mit Mittelpunkt D liegen. Liegt umgekeht C auf dem Keis übe AB, so gilt fü den Mittelpunkt M de Stecke AB d.a;m/ D d.b;m/ D d.c;m/ (siehe Abb. 1.3b). Also sind die Deiecke MCA und MBC gleichschenklig, weshalb ihe Basiswinkel jeweils gleich goß sind. Somit gilt C ˇ D 180 ı W 2 D 90 ı : a C b C ˇ ˇ A D ˇ B A M ˇ B Abb. 1.3 De Satz des Thales

4 4 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek 1.2 De gotische Spitzbogen Mit de Gotik löste de Spitzbogen den omanischen undbogen ab. E emöglichte den Bau höhee Kichen, deen Lichtachitektu Gott, die Quelle allen Lichts, efahba machen sollte. Die fabigen Fenste diese Kichen faszinieen den Betachte bis heute. Als estes Bauwek de Hochgotik gilt die Kathedale von Chates (siehe Abb. 1.4). Begonnen wude mit ihem Bau im Jahe 1194, nachdem ein Stadtband den omanischen Vogängebau zestöt hatte. Offiziell eingeweiht wude die Kiche est Die Gesamtfläche ihe Fenste betägt und 5000 m 2, was etwa de Fläche eines Fußballfeldes entspicht. Ein gotisches Kichenfenste besteht aus einem echteck, das nach oben duch die so genannte Kämpfelinie begenzt ist (ot in Abb. 1.5). Ihe Endpunkte heißen die Kämpfepunkte. Daübe ehebt sich das von zwei Keisbögen (mit gleichem adius) begenzte Bogenfeld. Wi betachten im Folgenden ausschließlich den Fall, de in Abb. 1.5a zusehen ist. Hie fallen die Mittelpunkte de Keisbögen mit den Kämpfepunkten zusammen. Diese Konstuktion de Spitzbögen kann man vaiieen, indem man die Mittelpunkte de Keise nach außen (übehöhte Spitzbogen; siehe Abb. 1.5b) ode innen (gedückte Spitzbogen; siehe Abb. 1.5c) veschiebt. Das Bogenfeld ist meist eich mit Maßwek, also duch die filigane Abeit von Steinmetzen, veziet (siehe Abb. 1.6). Noch aufwendige waen diese Vezieungen in den Abb. 1.4 Die Kathedale von Chates (Olv / Wikimedia Commons)

5 1.2 De gotische Spitzbogen 5 a b c Abb. 1.5 Kichenfenste Abb. 1.6 Bogenfeld in Fontfoide (bei Nabonne) pächtigen unden, im Duchmesse bisweilen meh als 10 Mete goßen Fensten übe dem Hauptpotal ode in den Fassaden des Queschiffes, die als Fensteosen ode osetten bekannt sind. Die Abb. 1.7 zeigt ein eich vezietes Kichenfenste mit eine andkuve, die aus dem ahmen fällt. Im Kap. 10 weden wi auf diese andkuve zuückkommen.

6 6 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek Abb. 1.7 Fenste in de Kathedale von Bilbao Wi sehen, dass sich das Maßwek aus veschiedenen geometischen Fomen zusammensetzt, bei denen de Keis eine wichtige olle spielt. Wie sich solche Fomen konstuieen und ihe Maße beechnen lassen, sehen wi uns in diesem Kapitel an einigen Beispielen an. Zunächst betachten wi Maßwek in einem Spitzbogen. Dabei gehen wi stets davon aus, dass diese Spitzbogen von de Kämpfelinie AB de Länge und von zwei Keisbögen mit den Mittelpunkten A und B begenzt wid. Als estes füllen wi den Spitzbogen mit einem Keis (siehe Abb.1.8a). Wie lassen sich de Mittelpunkt M und de adius dieses Keises bestimmen? a b M M A B A =2 B Abb. 1.8 Einbeschiebene Keis

7 1.2 De gotische Spitzbogen 7 Abb. 1.9 Einfache Konstuktion D P M m A C B Die Abb. 1.8b zeigt die Lösung. Da de Mittelpunkt aus Symmetiegünden auf de Mittelsenkechten de Stecke AB liegt, gilt fü das gelbe echtwinklige Deieck nach dem Satz des Pythagoas 2. / 2 D C 2 : 2 Hieaus folgt D 3 8 : Wie man den Keismittelpunkt leicht konstuktiv findet, sagt ein altes Anleitungsbuch fü Steinmetze (siehe Abb. 1.9): Schneidet de Keis mit dem adius um den Mittelpunkt C de Kämpfelinie deen Mittelsenkechte im Punkt D, so tifft die Mittelsenkechte m de Stecke AD die Mittelsenkechte de Kämpfelinie im gesuchten Mittelpunkt M. Ist nämlich M de gesuchte Mittelpunkt, so hat diese wegen d.a;m/ D d.a;p/ d.m;p/ D d.c;d/ d.m;c/ D d.m;d/ von den Punkten A und D den gleichen Abstand. Also liegt M auf de Mittelsenkechten m de Stecke AD. Wi fügen nun in den Spitzbogen zwei weitee Keise ein (siehe Abb. 1.10a). Um den adius s und die Mittelpunkte diese Keise zu bestimmen, wenden wi zweimal den Satz des Pythagoas an. Zunächst zeigt das gelbe Deieck in Abb. 1.10b x 2 D 8 C s 8 s D 3 2 s : Da im blauen Deieck die gößee Kathete die Länge p. s/2 s 2 D p 2 2s besitzt, gilt fene x 2 D p2 2s 2 D s p 2 2s :

8 8 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek a b s 3 8 C s x 3 8 s Abb Zwei weitee Keise Zusammen zeigt dies Quadieen liefet 7 2 s C 5 4 D p 2 2s : s D p 2/ : Da s kleine als 3 ist, ehält man schließlich 8 s D p 2/ 10 : Nun setzen wi zunächst zwei Halbkeise (mit dem adius 4 ) auf die Kämpfelinie und anschließend in die estfläche einen beühenden Keis (siehe Abb. 1.11a). Gesucht sind de adius und de Mittelpunkt dieses Keises. Wenden wi wiede zweimal den Satz des Pythagoas an, ehalten wi (siehe Abb. 1.11b) h 2 D. / 2 2 D C : 4 a b h 4 2 Abb Zwei Halbkeise

9 1.2 De gotische Spitzbogen 9 Abb Dei und vie Bögen Hieaus folgt C 2 2 D 2 C 1 2 ; was D 5 2 und schließlich D 3 10 egibt. Dass man auch meh als zwei Halbkeise auf die Kämpfelinie setzen kann, zeigen die Spitzbögen aus dem Keuzgang des ehemaligen Klostes Fontfoide (bei Nabonne), die in Abb zu sehen sind. Nun setzen wi in den Spitzbogen est zwei weitee Bögen mit halbem adius und dann einen Beühkeis ein (siehe Abb. 1.6 und Abb. 1.13a). a b M Abb Spitzbögen im Spitzbogen

10 10 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek Die Abb. 1.13b zeigt, dass sich de adius dieses Keises seh einfach beechnen lässt. Es gilt nämlich C 2 D ; 2 also D 4 : De Mittelpunkt M des Keises ist damit Schnittpunkt de Mittelsenkechten de Kämpfelinie mit dem Keis um einen Kämpfepunkt mit dem adius 2 C D 3 4 : 1.3 Pässe und Fischblasen Die Keise, die wi im voigen Abschnitt in die Spitzbögen gesetzt haben, lassen sich natülich weite vezieen. In den Abbildungen 1.6 und 1.7 haben wi hiefü beeits Beispiele gesehen. Ein weitees Beispiel aus de Kathedale von Nabonne zeigt die Abb Besondes beliebte Motive waen dabei Fischblasen und Dei- ode Viepässe. Mit ihnen weden wi uns in diesem Abschnitt beschäftigen. Wi beginnen mit dem Viepass und de vieschweifigen Fischblase. Dazu setzen wi in einen Keis k mit adius vie konguente beühende Keise (siehe Abb. 1.15). Indem man die Beühkeise geeignet abschneidet, ehält man unteschiedliche Figuen. In de Abb Pässe und Fischblasen

11 1.3 Pässe und Fischblasen 11 Abb Viepass und vieschweifige Fischblase Mitte sehen wi den Viepass, echts die vieschweifige Fischblase. Beide Figuen sind auch eich veziet in de Abb zu sehen. Wie goß ist de adius de vie Beühkeise? De Satz des Pythagoas liefet im gelben Deieck de Abb. 1.16a also ode Da positiv ist, egibt dies.2/ 2 D 2. / 2 ; 2 C 2 D 2. C / 2 D 2 C 2 C 2 D 2 2 : D C p 2: a b k k 9 >= >; Abb Beechnung und Konstuktion

12 12 1 Ouvetüe: Keise in gotischem Maßwek Die Abb. 1.16b zeigt, dass die Konstuktion diese Göße seh einfach ist. Ein Beühquadat des Keises k hat die Seitenlänge 2. Die halbe Diagonale des Quadats hat dahe nach dem Satz des Pythagoas die Länge p 2. Zieht man hievon ab, so ehält man nach unsee echnung den adius de vie Beühkeise. De Keis um eine Quadatecke, de den Keis k von außen beüht, hat somit den gesuchten adius. Auchde Abstand de vie Keismittelpunkte vom Mittelpunkt des Keises k lässt sich diekt ablesen. Die Abb. 1.6 zeigt, dass bisweilen auf die vie Keise ein fünfte gesetzt wid. Geht e (wie de gestichelte Keis in Abb. 1.16b) duch die vie Beühpunkte de einbeschiebenen Keise, so ist e zu diesen konguent (man betachte im gelben Deieck de Abb. 1.16a die Höhe auf die Hypotenuse). Wi kommen nun zum Deipass und zu deischweifigen Fischblase. Dazu setzen wi in unseen Keis k mit adius dei konguente beühende Keise (siehe Abb. 1.17). Duch geeignetes Abschneiden enthält man wiede unteschiedliche Figuen, in de Mitte den Deipass, echts die deischweifige Fischblase. Wie goß ist de adius de dei Beühkeise? Da ein gleichseitiges Deieck mit de Seitenlänge s den Umkeisadius s 3p 3 besitzt, besitzt ein gleichseitiges Deieck mit Umkeisadius die Seitenlänge p 3. Dahe liefet de 2. Stahlensatz (man betachte in Abb die gelbe Figu). / W D 2 W p 3: Dies egibt den adius D.2 p 3 3/ und die fü die Konstuktion de Mittelpunkte inteessante Göße D.4 2 p 3/ : Abb Deipass und deischweifige Fischblase

13 1.3 Pässe und Fischblasen 13 p 3 k Abb Beechnung und Konstuktion In de Abb sehen wi auch, dass sich beide Gößen einfach konstuieen lassen. Da die Höhe in einem gleichseitigen Deieck mit de Seitenlänge 4 die Länge 2 p 3 besitzt, liefet nach obige echnung de ote Keis mit dem adius 3 den adius sowie de blaue Keis (mit dem adius 2 p 3/ die Göße.

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