Oberfläche des Zylinders

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1 Zylinde und Kegel Zylinde: Jede Zylinde hat zwei keisfömige Gundflächen (G), die zueinande paallel sind. Die gekümmte Seitenfläche heißt Mantelfläche (M). De Abstand de beiden Gundflächen voneinande ist die Höhe (h) des Zylindes. Alle Flächen zusammen bilden die Obefläche (O) des Zylindes. Aufgabe: Zeichne die Abwicklung eines Zylindes mit dem Radius () = cm und de Höhe (h) = 8 cm. a.) Wie viel cm Pappe benötigt man fü den Zylinde? b.) Entwickle eine Fomel fü die Mantelfläche (M) und die Obefläche (O) des Zylindes. h π G = π M = π h G = π = π + π O h O = π + π 8 O = 5, ,5 O = 15,66 cm Obefläche des Zylindes O = Gundfläche + Mantel O = π + πh O = π ( + h) Seite 1 von 1

2 Volumen eines Pismas: V = G h Volumen des Zylindes Volumen des Zylindes: V = π h Wiedeholung de Volumenmaße: 1mm 1cm 1dm 1m 1km ml 1l Aufgabe: Bestimme das Volumen de Beispielaufgabe mit = cm und h = 8 cm. V = π V = π 8 V = 100,51 cm V 0,101 dm 0,101Lite = = Das Volumen des Zylindes ist 0,101 dm = 0,101 Lite. Seite von 1

3 Keisteile und Zylinde 1.) Eine zylindische Regentonne hat einen Innenduchmesse von 60 cm und eine Höhe von 85 cm. a.) Wie viel Lite Wasse (V) fasst sie? b.) Wie hoch (h) stehen 150 Lite Regenwasse in ih?.) Das abgebildete Wekstück stellt einen Quade da, in den ein Zylinde eingefäst wude. (Maße in Zentimete!) a.) Welches Volumen (V) besitzt das Wekstück? b.) Das Wekstück soll komplett mit Fabe bestichen weden. Wie goß ist die zu besteichende Fläche (O)?.) Wie goß sind das Volumen (V) und die Obefläche (O) de abgebildeten Antiebswelle (Maße in Millimete!)? 4.) Im Zuge des Staßenbaus soll eine Kuve eneuet weden. (Siehe Zeichnung echts, Maße in Mete!). a.) Wie goß ist die zu asphaltieende Kuvenfläche (A)? b.) Die Kuve soll innen und außen mit Leitplanken vesehen weden. Wie viele Mete Leitplanken (b) müssen angebacht weden? c.) De Asphalt wid mit eine 8 cm dicken Schicht in de Kuve aufgetagen. Wie viel Kubikmete Asphalt (V) weden benötigt? 5.) Fü integiete Schaltungen in Computen weden extem dünne Dähte vewendet. Ein solche Daht hat einen Duchmesse von 0,01 mm. a.) Wie viel Mete Daht (h) haben ein Volumen von 1 cm? b.) De Daht besteht aus fast einem Gold. 1 cm Gold wiegt 19, Gamm. Wie viel wiegt 1 Kilomete Daht (M)? 6.) Im Bild echts ist ein Hohlzylinde aus Gusseisen dagestellt. a.) Wie schwe ist de Hohlzylinde (M), wenn 1 cm Gusseisen 7, Gamm wiegt? b.) De Hohlzylinde soll komplett mit eine Rostschutzschicht vesehen weden. Wie viele cm (O) müssen gestichen weden? Seite von 1

4 Keisteile und Zylinde (Lösungen) zu 1.) a.) b.) V = π h V = π = π V = π = = π 0 h = 5, 05 cm V 0 85 h V 40.1,88 cm h V = 40, dm = 40, Lite zu.) a.) b.) V = V V O = M + ( G G ) + M Wüfel Zylinde Wüfel Wüfel Zylinde Zylinde = π = + π + π V O ( 6 6 ) 6 V = 16 75,98 O = (48 5,1) + 75,4 V = 140,60 cm O = 66,7 cm zu.) V = V + V O = O + M Zylinde klein Zylinde goß Zylinde goß Zylinde klein V = π π 16,5 14 O = π 16,5 + π 16, π V = 1566, ,0 O = 1710, , ,55 V = ,77 mm O = 19.59,55 mm zu 4.) a.) b.) c.) A = A A b = b + b V = A Sekto außen Sekto innen außen innen Fahbahn π π π π A b V 44,46 m 0,08 m = = + = A = 498, 1954,77 b = 146,61+ 97,74 V = 195,477 m A = 44,46 m b = 44,5 m zu 5.) a.) b.) V = π h V = π V = = π π 1000 h = V = 78,54 mm π 0,005 h V 0, h = mm V = 0,07854 cm h = 1.7, 4 m M = 0, , M = 1,516 g Seite 4 von 1

5 zu 6.) a.) b.) V = V V O = M + M + A Zylinde goß Zylinde klein Zylinde außen Zylinde innen Keising V = π π O = π π ( π 175 π 160 ) V = O = , , ,5 V = mm O = ,9 mm V = 10.10,6 cm O = 1.786,88 cm M = 10.10,6 cm 7, g O = 1,8 m M = 7.754,54 g = 7,755 kg Seite 5 von 1

6 De Kegel Mantelfläche und Obefläche: Nach Pythagoas egibt sich: s = h + h s s = Mantellinie h = s = s h Wenn man einen Kegel aufklappt (abwickelt), so ehält man folgendes Bild: α De Mantel des Kegels ist ein Keissekto, de bestimmt wid duch die Göße des Winkels α (Mittelpunktswinkel). s Da die Mantelfläche (M) des Kegels einem Deieck ähnelt, kann man sie beechnen mit: b s π s M D AS = = = π s Die Obefläche (O) des Kegels wid dann beechnet mit: π π O = Gundfläche + Mantel O = π + πs O = π ( + s) außedem: α 60 = π πs 60 α = s Volumen des Kegels: Das Volumen eines Kegels wid beechnet mit: π 1 V = = π h Aufgabe: Löse die Volumenfomel des Kegels nach und h auf: π π V = V = h h V = π V = π V V = h = π π Seite 6 von 1

7 Aufgabe: Ein Kegel hat einen Radius () von,5 cm und eine Höhe (h) von 8,5 cm. Bestimme die Obefläche und das Volumen dieses Kegels. π h s = h + O = π ( + s) V = π,5 8,5 s = 8,5 +,5 O = π,5 (,5 + 9,) V = s = 9, cm O = 19,64 cm V = 109,09 cm Seite 7 von 1

8 Mantelfläche (M) und Obefläche (O) eines Kegels Auf dem Abeitsblatt sieht man dei Keise mit s = 5 cm, die fü die Mantelfläche von Kegeln dienen sollen. Schneide dazu die Keise aus, schneide danach aus den Keises Sektoen mit folgenden Winkelgößen aus: 1. Keis: Sekto mit α = 150. Keis: Sekto mit α = 10. Keis: Sekto mit α = 70 Fome die Sektoen zu einem Kegel. Was stellst du fest? Beechne mit Hilfe de Fomeln Obefläche (O) deine Kegel. 60 α = ; M = π s ; O = π + πs die Mantelfläche (M) und die s Seite 8 von 1

9 Abeitsblatt Kegel 1.) Beechne von einem Kegel: a.) Die Länge de Seitenlinie (s), das Volumen (V) und die Obefläche (O) aus: Radius () = 6 cm; Kegelhöhe (h) = 8 cm. b.) Die Kegelhöhe (h), das Volumen (V) und die Obefläche (O) aus: Duchmesse (d) = 18 cm; Seitenlinie (s) = 41 cm. c.) Den Radius (), das Volumen (V) und die Obefläche (O) aus: Seitenlinie (s) = 5 cm; Kegelhöhe (h) = 0 cm. d.) Die Kegelhöhe (h), die Seitenlinie (s) und die Obefläche (O) aus: Radius () = 9 cm; Volumen (V) = 400 cm. e.) Die Seitenlinie (s), die Kegelhöhe (h) und das Volumen (V) aus: Radius () = 5 cm; Obefläche (O) = 00 cm..) Ein kegelfömiges Tinkglas soll 0,15 Lite fassen und am obeen Rand einen Duchmesse (d) von 5 cm aufweisen. Wie hoch muss das Glas (ohne Fuß) sein?.) Aus einem Vietelkeis, einem Halbkeis und einem Deivietelkeis, jeweils mit dem Radius 10 cm, weden offene Kegel gefomt. Beechne jeweils ih Volumen (V) und ihe Obefläche (O). Beachte dabei den Unteschied zwischen dem Radius de Mantelfläche (s) und dem Gundkeisadius (). 4.) Übe ein Födeband weden 55,9 m Salz kegelfömig aufgeschüttet. Welche Bodenfläche (A) bedeckt de Salzhaufen, wenn e 6, m hoch ist? 5.) Ein kegelfömiges Senklot aus Stahl mit einem Duchmesse (d) von 4 mm ist insgesamt 75 mm hoch. a.) Wie goß ist sein Gewicht (M), wenn 1 cm Stahl 7,8 Gamm wiegt? b.) Das Senklot soll mit eingefäbt weden. Wie viel cm müssen mit Fabe vesehen weden? 6.) 6 cm lange Bleistiftminen mit einem Duchmesse von mm weden bei de Poduktion auf 5 mm Länge angespitzt. Wie viel Pozent des Gesamtvolumens gehen dabei als Abfall veloen? Seite 9 von 1

10 Abeitsblatt Kegel (Lösungen) zu 1.) a.) π s = h + V = O = π + πs π 6 8 s = V = O = π 6 + π 6 10 s = 10 cm V = 01,59 cm O = 01,5 9 cm b.) π h = s V = O = π + πs π 9 40 h = 41 9 V = O = π 9 + π 9 41 h = 40 cm V = 9,9 cm O = 141,7 cm c.) π = s h V = O = π + πs π 15 0 = 5 0 V = O = π 15 + π 15 5 = 15 cm V = 471,89 cm O = 1884,96 cm d.) π V = s = h + O = π + πs V h = s = 4,7 + 9 O = π 9 + π 9 10, π 400 h = s = 10, cm O = 54,87 cm π 9 h = 4,7 cm e.) π O = π + π s h = s V = O π π 5 5,9 s = h = 7,7 5 V = π 00 π 5 s = π 5 h = 5,9 cm V = 154,46 cm s = 7,7 cm Seite 10 von 1

11 zu.) π V 150 V = h = h = h =,9 cm π π,5 zu.) Vietelkeis α = 90 Halbkeis α = 180 Deivietelkeis α = 70 π α π α π α b = = s = 10 cm b = = s = 10 cm b = = s = 10 cm π π π b = b = b = b = 15,7 cm b = 1,4 cm b = 47,1 cm Gundkeis =,5 cm Gundkeis = 5 cm = 7,5 cm Gundkeis h = 10,5 h = 10 5 h = 10 7,5 h = 9,7 cm h = 8,7 cm h = 6,6 cm π π π V = V = V = π,5 9,7 π 5 8,7 π 7,5 6,6 V = V = V = V = 6,486 cm V = 7,765 cm V = 88, 77 cm O = π s (Offene Kegel! ) O = πs O = πs O = π,5 10 O = π 5 10 O = π 7, 5 10 O = 78,54 cm O = 157,08 cm O = 5,6 cm zu 4.) π V 55,9 V = = = π π 6, A = π A = π 9 A = 54,47 m = 9 m zu 5.) kleine Kegel goße Kegel k kleine Kegel goße Kegel V = V + V s = 7 + 1,5 O = M + M π π k g V = + sk =, 6 mm O = π sk + π s π 1,5 7 π 1,5 68 V = + sg = ,5 O = π 1,5,6 + π 1,5 71, V = 88, ,561 s = 71, mm O = 156, ,9 g V = 605,0 mm = 6,05 cm O = 64,4 mm = 6,4 cm g M = V ρ M = 6, 05 7,8 M = 8,179 g Seite 11 von 1

12 zu 6.) V = V V V = π Zylinde (Höhe 5mm) Kegel Mine π Mine V = π V = π 1 60 π 1 5 V = π 1 5 VMine = 188,5 mm V = 15,708 5,6 V = 10,47 mm (Abfall) Pw 100 p = G 10, p = 188, 5 p = 5,56% Seite 1 von 1