Wir teilen das Intervall [a,b] in n Teilintervalle der Breite x (Skizze: n = 5). Wir ersetzen die im k-ten Teilintervall f x und der

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Wir teilen das Intervall [a,b] in n Teilintervalle der Breite x (Skizze: n = 5). Wir ersetzen die im k-ten Teilintervall f x und der"

Nadine Geier
vor 5 Jahren
Abrufe

olumen von Rotationsköpen Die Fläce zwiscen de stetigen Kuve y = f(x), de x-acse und den Paallelen x = a und x = b ezeugt bei Rotation um die x-acse einen sogenannten Rotationsköpe.

Wi esetzen die im k-ten Teilintevall f x und de liegende Fläce duc ein Recteck mit de Höe ( ) k Beite x. Bei Rotation um die x-acse ezeugt dieses Recteck einen Zylinde mit Radius f x und de Höe x.

1 olumen von Rotationsköpen Die Fläce zwiscen de stetigen Kuve y = f(x), de x-acse und den Paallelen x = a und x = b ezeugt bei Rotation um die x-acse einen sogenannten Rotationsköpe. Gesuct ist das olumen dieses Köpes. Wi teilen das Intevall [a,b] in n Teilintevalle de Beite x (Skizze: n = 5). Wi esetzen die im k-ten Teilintevall f x und de liegende Fläce duc ein Recteck mit de Höe ( ) k Beite x. Bei Rotation um die x-acse ezeugt dieses Recteck einen Zylinde mit Radius f x und de Höe x. Fü das olumen des aus n zylindiscen Sceiben besteenden ( ) k Teppenköpes gilt dann: n n = π f k = ( x k ) x Das olumen des Köpes ist dann definiet duc: n = lim π f n k = ( x ) x k De Genzwet diese Summe kann nac Definition des bestimmten Integals in de folgenden Fom gescieben weden: b = π f ( x) = π f ( x) a b a olumen eines Rotationsköpes bei Rotation um die x-acse..7 IR_olumen_Rot_koepe.docx

2 Beispiele: Kegelvolumen Skizze: = 9, = 6 Gleicung de Randkuve: y = f ( x ) = x π = π x = π = = π x π = olumen eines Paaboloids..7 IR_olumen_Rot_koepe.docx x Kegelvolumen Bestimme den Paamete a so, dass die Paabel y = a x duc den Punkt P(,) get. = a a = = = π a x π a x π = π = π = olumen eines Paaboloids egleict man die Inalte de otieenden Fläcen und die ezeugten olumen so egibt sic die folgende Zusammenstellung: Köpe Anteil de otieenden Fläce Anteil olumen Zylinde Kegel Paaboloid Fläcenstücke, die näe bei de Deacse liegen ezeugen kleinee olumen als gleic gosse abe weite entfente. Es gilt die sogenannte Guldin sce Regel: Das olumen eines Rotationsköpes ist gleic dem Podukt aus dem Inalt des otieenden Fläcenstücks und dem Weg des Scwepunkts. Die y-koodinate des Scwepunkts S im Deieck ACD ist doppelt so goss wie die des Scwepunkts S im Deieck ABC. Kugelvolumen

3 Gleicung de Randkuve: x + y = nac y auflösen: y = - x ( x ) = π ( x ) = π = π x x = π π = π = Kugelvolumen Die sogenannte Fassegel von Simpson ( ) = G + M + D 6 mit G: Gundfläce, M Mittelfläce, D: Deckfläce kann bei de Kugel getestet weden: ( π ) = + + = π 6 Mit de Guldinscen Regel kann de Scwepunkt eines Halbkeises bestimmt weden: π Kugelvolumen π Inalt des Halbkeises y S π Weg des Fläcenscwepunkts π = π π y Guldinsce Regel S π. y = y-koodinate des Scwepunkts Uebungsaufgabe Ellipsoid: Te volume of te solid obtained by evolving te egion enclosed by te ellipse x + 9y = 9 is π = 9 = π 9 (9 x (9x ) = x = π..7 IR_olumen_Rot_koepe.docx

4 Die Fomel fü das olumen eine Kugel wa beeits Cavaliei bekannt, nac dem folgenden Pinzip von Cavaliei: Steen zwei Köpe auf deselben Ebene und weden sie von jede Paallelebene in fläcengleicen Figuen gescnitten, so aben sie denselben Rauminalt. Fü die Kugel füt die folgende Idee auf die olumenfomel: on einem Zylinde mit Radius und Höe wid de einbesciebene Kegel subtaiet. Zeige: Diese Köpe und eine Halbkugel aben die gleice Quescnittsfunktion. Halbkugel: De Quescnitt in de Höe x ist ein Keis mit Radius ρ und dem Inalt πρ = π ( x ) egleicsköpe: De Quescnitt ist ein Keising mit den Radien und x und dem Inalt: π ( x ) Nac dem Pinzip von Cavaliei ist das olumen de Halbkugel gleic dem olumen des egleicsköpes nämlic: π = π = π und damit π Kugelvolumen ==..7 IR_olumen_Rot_koepe.docx

5 5 Kugelsegment de Höe Wal eines geeigneten Koodinatensystems: esciebe den Keis mit Mittelpunkt M(/) und Radius in x-rictung um : Gleicung des vescobenen Keises: ( ) x + y = nac y auflösen: y = x x = π x π ( x x ) = π x = π = ( ) ( ) = π Kugelsegment de Höe Kontolle: Im Falle = egibt sic eneut das Kugelvolumen...7 IR_olumen_Rot_koepe.docx

6 6 olumen eines Tous Ein Keis mit Mittelpunkt M(/a) und Radius < a ezeugt bei Rotation um die x-acse einen sogenannten Tous. Gafik -> Wikipedia Gleicung de Randkuven: obee Halbkeis: y = a + x = a + b untee Halbkeis y = a x = a b Fü spätee Zwecke beecnen wi y - y : (*) ( ) ( ) y y = a + b a b = ab = a x = π a x = π a π = π a Das Integal entspict dem Inalt eines ietelskeises mit Radius. x = π aπ olumen eines Tous De Guldin scen Regel entspecend ist das olumen des Tous gleic dem Podukt aus dem Inalt de otieenden Fläce und dem Weg des Fläcenscwepunkts. (*) Hin und wiede wid fälscliceweise als Integand ( y y ) gewält (falsce Analogie zu Fomel fü die von zwei Kuven eingesclossene Fläce). Dies wüde im Widespuc zu Guldinscen Regel ja bedeuten, dass de Abstand de otieenden Fläce keinen Einfluss auf das olumen at...7 IR_olumen_Rot_koepe.docx

Ähnliche Dokumente

r [0, ), φ [0, 2π), ϑ [0, π]

r [0, ), φ [0, 2π), ϑ [0, π] ET2 Koodinatenssteme 1 Koodinatenssteme Zlindekoodinaten Kugelkoodinaten P(,,) P(,,) P(,,) P(,,ϑ) cos ϑ sin ϑ sin ϑ sin cos sin ϑ cos sin ϑ = cos = sin = [, ), [, 2π), (-, ) = sin ϑ cos = sin ϑ sin = cos