Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

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1 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Zusatzvolesungen: Z- Ein- und mehdimensionale Integation Z- Gadient, Divegenz und Rotation Z-3 Gaußsche und Stokessche Integalsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektomagnetische Felde an Genzflächen Z-6 Beechnung von Magnetfelden 8

2 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Z- Integation Z-. Eindimensionale Integation Hauptsatz de Diffeential und Integalechnung: Die Integation ist die Umkehung de Diffeentiation f() F( ) f ( ξ) dξ df d f ( ) Die gelbe Fläche kann mittels eines (bestimmten) Integals ausgedückt weden: F( ) f ( ξ) dξ F() ist eine Stammfunktion. Mit de Stammfunktion kann ein bestimmtes Integal sofot beechnet weden: b a f ) d F( ) F( ) ( b a [ F( ) ] b a Dahe scheibt man auch das so genannte unbestimmte Integal (d.h. das Integal ohne Genzen) in de Fom: f ( ) d F( ) + C 8

3 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Z-. Wiedeholung: Wegintegale Die beit, um einen Köpe von nach zu bingen, wa: W, C F ( ) d Es ist das Integal übe das Kaftfeld von entlang des Weges C nach zu beechnen. C d F() Solche Linien- ode Wegintegale beechnet man duch eine Paametisieung des Weges C als Kuve im deidimensionalen Raum. Dann können sie auf nomale Integale zuückgefüht weden. Paametisieung des Weges C: t [ t, t W, C ] mit ( t) ( t) y( t) z( t) ( t ), ( t F( ) d t t F ( ( t) ) ) d ( t) dt dt De Wet des Integals hängt nicht von de gewählten Paametisieung des Weges C ab. 8

4 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Z-.3 Wiedeholung: Mehdimensionale Integation f (, y) Es soll folgendes Zweifachintegal beechnet weden mit d d dy y Fläche y y f (, y) d ( y) f (, y) ddy ( y) d d dy y 83

5 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Paametisieung von Flächen ( s, t) ( s, t + dt) d b ( s + ds, t + dt) ( s, t) + d ( s, t) a ( s + ds, t) t const. s const. Eine Fläche im Raum kann mit zwei Paameten beschieben weden. Fü beliebige Zahlen s und t liegt de Endpunkt des Vektos ( s, t) auf diese Fläche. Dann gilt fü die totale Ändeung dieses Vektos: d ( s, t) ds + dt Die beiden Ändeungen geben die Richtungen de Koodinatenlinien t const. und s const. an. Dahe sind und somit a ds, b dt d a b ds dt 84

6 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Da de Vekto des Flächenelementes senkecht auf de Fläche d stehen soll, kann einfach d ds dt dsdt sinϑ cosϕ ( ϑ, ϕ) R sinϑ sinϕ cosϑ ϑ [, π ] ϕ [, π ] z geschieben weden. Beispiel: Paametisieung de Obefläche eine Kugel mit dem Radius R Einen Vekto auf de Obefläche eine Kugel mit dem Radius R lässt sich mit den beiden Paameten s ϑ und t ϕ bescheiben. Es gilt dann: dϕ ϑ ϕ R dϑ a b d a b y 85

7 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Fü das infinitesimale Flächenelement auf de Kugelobefläche gilt dann: z ϕ cosϑ cosϕ sinϑ sinϕ d dϑdϕ R cosϑ sin ϕ R sinϑ cosϕ dϑdϕ ϑ ϕ sinϑ dϕ ϑ R dϑ a b y d a b usechnen des Vektopoduktes egibt fü das Flächenelement: sinϑ cosϕ sinϑ sinϑ sinϕ ϑ ϕ cosϑ d R d d Es lässt sich leicht zeigen, das de Richtungsvekto die Länge hat. 86

8 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Beechnung von Obeflächenintegalen duch Paametisieung Mit den Resultaten des voigen bschnittes egibt sich als Fomel zu Beechnung von Obeflächenintegalen übe die Fläche, die in paametisiete Fom voliegt, die folgende Fomel: t s E( ) d E ( ( s, t) ) dsdt t s nmekung: uf de echten Seite steht ein Doppelintegal, dass wie üblich von Innen nach ußen beechnet und somit auf gewöhnliche Integale zuückgefüht weden kann. Die Fomel ist quasi die zweidimensionale Veallgemeineung de Beechnung von Wegintegalen entlang von Kuven im Raum. 87

9 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Beispiel: Beechnung des elektischen Flusses eine Punktladung duch eine Obefläche eine Kugel mit dem Radius R. Das elektische Feld eine Punktladung ist: E( ) uf de Kugelobefläche ist R und: sinϑ cosϕ ( ϑ, ϕ) R sinϑ sin ϕ ϑ [, π ] ϕ [, π ] cosϑ Einsetzen de Resultate des Beispiels aus dem voigen bschnitt egibt: t s E( ) d E ( ( s, t) ) dsdt t s sin cos sin cos π π ϑ ϕ ϑ ϕ sin sin sin sin sin R ϑ ϕ R ϑ ϑ ϕ d ϑ d ϕ R R cosϑ cosϑ 88

10 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Das usechnen des Skalapoduktes unte dem Integal auf de echten Seite füht auf: π π E( ) d ( sin ϑ + cos ϑ ) sinϑ dϑdϕ π π sinϑ dϑ dϕ 4π ε lso egibt sich fü den Fluss duch die Kugelobefläche: Die folgende Scheibweise ist gebäuchlich fü den Fluss duch eine geschlossene Obefläche : E( ) d ε E( ) d Damit lässt sich das Resultat des Beispiels scheiben als: E( ) d ε 89

11 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Beechnung von Obeflächenintegalen duch usnutzung von Symmetien In de Regel weden Obeflächenintegale duch usnutzung von Symmetien und mit Hilfe des Gaußschen Satzes viel einfache beechnet. Fü das letzte Beispiel des Flusses duch eine geschlossene Kugelobefläche mit dem Radius R gilt: dφ E d E( R) d Das elektische Feld auf de Kugelobefläche ist konstant: E( R) R 9

12 Epeimentalphysik II (Kip SS 7) lso folgt: Φ dφ E( ) d E( ) d E( R) d d R E( ) d 4π R R ε Kugelobefläche 4π R De Inhalt de. Mawell-Gleichung ist, dass duch jede beliebige geschlossene Obefläche, die die Ladung umschließt, de gleiche elektische Fluss titt. Duch eine geschickte Wahl diese Fläche kann dahe (fast) imme die aufwendige Beechnung des Obeflächenintegals mittels eine diekten Paametisieung vemieden weden. 9