Anhang 1: Gradient, Divergenz, Rotation

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1 Anhang : Gadient, ivegen, Rotation Felde Anhang : Gadient, ivegen, Rotation Wid jedem Punkt im Raum eine skalae Göße U ugeodnet (.. Tempeatu, elektisches Potential,...), so spicht man von einem skalaen Feld. Wid jedem Punkt im Raum ein Vekto u ugeodnet (.. Geschwindigkeit von Teilchen in einem stömenden Medium, elektisches Feld,...), so spicht man von einem Vektofeld. Anmekung: Vaiablennamen von skalaen Gößen weden kusiv, jene von Vektoen fett geduckt. Nabla Opeato Zu Veeinfachung de Scheibweise von Ableitungen nach dem Ot wid de iffeentialopeato Nabla (Smbol ) definiet. Im katesischen Koodinatensstem hat e folgende Fom: = i + j + k (A) wobei i, j und k die Einheitsvektoen in -, -, und -Richtung d. Wid diese Opeato mit eine Göße veknüpft, so ist diese dahe in die dei Raumichtungen abuleiten. Ist die Göße ein Skala so ehält man den Gadienten. Will man Nabla auf einen Vekto anwenden, so gibt es wei Möglichkeiten: ie Veknüpfung übe ein Skalapodukt egibt die ivegen, die Veknüpfung übe ein Vektopodukt die Rotation. Gadient eines skalaen Feldes U sei ein skalaes Feld. Fü jede Raumichtung gibt die patielle Ableitung die Göße de Ändeung von U an, also.. U die Ändeung in -Richtung. Um diese dei Ändeungen usammenufassen definiet man den Gadienten als g ad U U U U = U = i + j + k (A2) gad U ist also ein Vekto in Richtung des maimalen Zuwachses von U, de etag von gad U gibt die Göße de Ändeung an. ivegen eines Vektofeldes u = u i + u j + u k sei ein Vektofeld im katesischen Koodinatensstem. ie ivegen beechnet sich u d iv u u u u = u = + + (A3) div u ist ein Skala und bescheibt die Quellen des Feldes u. ahe bedeutet div u = 0, dass das Feld quellenfei ist.

2 Anhang : Gadient, ivegen, Rotation 2 ie 3. Mawellgleichung bescheibt das elektische Feld als Quellenfeld, dessen Quelle eine elektische Ladung ist. efiniet man die dielektische Veschiebung übe die Mateialgleichung = ε E (A4) (ε ielektiitätskonstante) und veallgemeinet man die Ladung als veteilte Ladungsdichte ρ, so lautet die Gleichung: d iv = ρ 3. Mawellgleichung (A5) Es gibt keine einelnen magnetischen Pole, das Magnetfeld ist also quellenfei. ies dückt die 4. Mawellgleichung übe die magnetische Flussdichte folgendemaßen aus: d iv = 0 4. Mawellgleichung (A6) Rotation eines Vektofeldes u = u i + u j + u k sei ein Vektofeld im katesischen Koodinatensstem. ie Rotation beechnet sich u ot u i j k u u = u = = u u u u u u u i + j + k (A7) ot u ist ein Vekto und bescheibt die Wibel des Feldes u. ahe bedeutet ot u = 0, dass das Feld wibelfei ist. ie. Mawellgleichung bescheibt das magnetische Feld als Wibelfeld, dessen Usache (Wibel) ein elektische Stom ist. eeichnet man die Leitungsstomdichte mit J, so ist die magnetische Feldstäke, welche mit de magnetischen Flussdichte übe die Mateialgleichung = µ (A8) veknüpft ist (µ... Pemeabilitätskonstante), ot = J + t. Mawellgleichung (A9) e Tem t sagt aus, dass Wibel des magnetischen Feldes auch duch eitliche Veändeung des elektischen Feldes hevogeufen weden können. Im Gegensat um Leitungsstom ist t Vakuum. ein Veschiebungsstom. iese emöglicht die Wellenausbeitung im

3 Anhang : Gadient, ivegen, Rotation 3 In de Elektostatik ist das elektische Feld wibelfei, es gibt dahe keine geschlossenen Feldlinien des elektischen Feldes. Ändet sich jedoch die magnetische Flussdichte ( ) t gibt es laut 2. Mawellgleichung auch Wibel des elektischen Feldes: 0, so ot E = t 2. Mawellgleichung (A0) ei de Wellenausbeitung im feien Raum d die Feldlinien von magnetische und elektische Feldstäke übe die Wibel Gaußsche Integalsat t und t miteinande vebunden. en Übegang von einem Volumtegal u einem Flächenintegal übe jene geschlossene Fläche, welche das Volumen begent, liefet: Volumen div u d V = u d A (A) ülle abei weist da nach außen und steht senkecht auf die üllfläche. Stokessche Integalsat en Übegang von einem Flächenintegal u einem Linienintegal übe jenen geschlossenen Weg, welche die Fläche begent, liefet: Fläche ot u d A = u d s (A2) eandung abei ist ds de Fläche da echtswendig ugeodnet.

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5 Anhang 2: e Nablaopeato in veschiedenen Koodinatensstemen 4 Anhang 2: e Nablaopeato in veschiedenen Koodinatensstemen e Allgemein gilt: = u i U i u i 3 (A3) wobei die Koodinaten u i und die metischen Koeffiienten U i fü die einelnen Koodinatenssteme folgendemaßen lauten: Ko. sstem k atesisch linde k ugel u u u U U U d s d s d s d d d d d d d d d aaus folgen in katesischen Koodinaten in Zlindekoodinaten in Kugelkoodinaten Nabla: = = =

6 Anhang 2: e Nablaopeato in veschiedenen Koodinatensstemen 5 Gadient, ivegen und Rotation lauten in katesischen Koodinaten in Zlindekoodinaten in Kugelkoodinaten Gadient : g ad = g ad = = gad ivegen: d iv = + + div = + + div = Rotation: ot = ot = ot = ei Vewendung von Zlinde- ode Kugelkoodinaten scheibt man das skalae Potential goß ( statt ), um Vewechslungen mit de Koodinate u vemeiden.