Analytische Geometrie Übungsaufgaben 2 Gesamtes Stoffgebiet

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Christa Baum
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1 Analytische Geometie Übungsaufgaben Gesamtes Stoffgebiet Pflichtteil (ohne Fomelsammlung und ohne GTR): P: a) Püfe, ob das Deieck ABC gleichschenklig ist: A(/7/), B(-//), C(//) b) Püfe, ob das Deieck ABC echtwinklig ist: A(//), B(//), C(-//) P: Gegeben sind die Punkte A(//), B(//) und C(-//-). a) Bestimme den Punkt D so, dass das Vieeck ABCD ein Paallelogamm ist. b) Bestimme den Punkt D* so, dass das Vieeck ABD*C ein Paallelogamm ist. c) Bestimme den Punkt D so, dass das Vieeck AD BC ein Paallelogamm ist. P: Fü welchen Wet von a sind die Vektoen,, a linea abhängig? P: Löse die lineaen Gleichungssysteme. Deuten die Lösungen jeweils geometisch. a) b) 9 9 P: Begünde, dass die Geade g: s ; s R paallel zu Vebindungsgeaden h de Punkte P(/-/) und Q(//) ist. Gib eine Gleichung fü die Mittelpaallele von g und h an. P: Bescheibe, welche unteschiedlichen Lagen zwei veschiedene Geaden g und h im Raum zueinande haben können. Eläutee die einzelnen Fälle jeweils duch selbst gewählte Beispiele. P7: Die Punkte O(//), P(//), Q(//) und R(//) sind die Eckpunkte eines Quades. Stelle den Quade in einem Koodinatensystem da und gib die Koodinaten de übigen Quadeecken an. Die Ebene E: schneidet den Quade in eine Fläche. Zeichne diese Schnittfläche in die Figu ein. Bescheibe kuz deine Vogehensweise.

2 P: Welche Punkte de Achse haben von de Ebene E: den Abstand? Wahlteil (mit Fomelsammlung und mit GTR): W: a) Duch die Punkte A(//), B(//), C(//), D(//), E(//), F(//), G(//) und H(//) sind die Eckpunkte eine Hütte mit Pultdach gegeben ( LE = m). Zeichne ein Schägbild de Hütte in ein geeignetes Koodinatensystem. b) Zum Anbingen von Solazellen sollte die Dachneigung bezüglich de -Ebene mindestens betagen. Püfe, ob diese Wet eingehalten wid und beechne die mögliche Solazellenfläche, wenn % de Dachfläche mit Solazellen bestückt weden. Fü a> veläuft vom Punkt P(//a) zum Punkt Q(-//a) eine geadelinige Stomleitung. Bestimme a so, dass die Stomleitung von de Dachfläche einen Abstand von mindestens m hat. c) Zeige, dass in einem ebenen Dachen ABCD die Diagonalen senkecht aufeinande stehen. A B D C

3 Analytische Geometie Übungsaufgaben Gesamtes Stoffgebiet Mustelösungen P: a) AB AB AC AC 9 BC BC ; zwei Seiten sind gleich lang, es st gleichschenklig. b) AB AC BC Es gilt BC AB, also liegt ein echtwinkliges Deieck vo. De 9 -Winkel befindet sich in B. P: a) Fü D(/y/z) soll gelten: z y DC AB und daaus folgt D(/-/-). b) Fü D*(/y/z) soll gelten: z y CD * AB und daaus folgt D*(-/7/-). c) Fü D (/y/z) soll gelten: 7 z y CB ' AD und daaus folgt D (7/9/). P: Die Vektoen sind linea unabhängig, wenn das Gleichungssystem a als einzige Lösung die Lösung besitzt. Gibt es unendlich viele Lösungen, sind die Vektoen linea abhängig. a a Dieses Gleichungssystem besitzt fü a = unendliche viele Lösungen, da aufgund de dann entstehenden Nullzeile in de letzten Zeile die letzte Zeile entfällt und dann nu noch Gleichungen mit Vaiablen übig bleiben. Fü a = sind die Vektoen linea abhängig.

4 P: a) Umscheiben des Gleichungssystems in Matischeibweise: also Lösungsmenge L = { (//) } Geometische Deutung: Jede Zeile des Gleichungssystems stellt anschaulich die Koodinatengleichung eine Ebene da. Die Lösung des Gleichungssystems bedeutet einen Schnitt diese dei Ebenen. Die Lösung bedeutet, dass die dei Ebenen sich in genau einem Punkt S(//) schneiden. b) Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, da die Anzahl de Vaiablen göße ist als die Anzahl de Gleichungen. Setze t mit t R t t t 9 t t t also Lösungsmenge L = { t / t /t ; t R } Die Lösungsmenge kann auch als Geadengleichung geschieben weden: t g: t Geometische Deutung: Jede Zeile des Gleichungssystems stellt anschaulich die Koodinatengleichung eine Ebene da. Die Lösung des Gleichungssystems bedeutet einen Schnitt de zwei Ebenen. Die Lösung bedeutet, dass die zwei Ebenen die gemeinsame Schnittgeade g besitzen.

5 P: Geadengleichung von h: De Richtungsvekto von g ist ein Vielfaches des Richtungsvektos de Geaden g. Folglich sind die Geaden entwede echt paallel ode identisch. Nun wid gepüft, ob de Punkt P(/-/) von h auch auf g liegt: s Aus de.zeile egibt sich s =, aus de.zeile s =. Aufgund des Widespuches liegt P nicht auf g, folglich sind die Geaden echt paallel. Die Mittelpaallele von g und h besitzt den gleichen Richtungsvekto wie g (ode einen Vielfachen davon). R g M Mittelpaallele P h Nun wid noch ein Punkt de Mittelpaallelen benötigt. Hiezu weden zwei beliebige Punkte auf g (z.b. R(//)) und h (z.b. P(/-/)) gewählt. De Mittelpunkt M de Stecke PR liegt auf de Mittelpaallele, wie die Skizze zeigt. In diesem Fall wäe M(/-,/,). Also gilt fü die Gleichung de Mittelpaallele:,,.

6 P: Zwei Geaden g und h können vie veschiedene Lagen zueinande besitzen:. identisch: Beispiel: g: und h: Begündung: De Punkt P(//) von g liegt auch auf h und Richtungsvektoen sind linea abhängig (Vielfache).. echt paallel: Beispiel: g: und h: Begündung: De Punkt P(//) von g liegt nicht auf h und Richtungsvektoen sind linea abhängig (Vielfache).. sich schneidend: Beispiel: g: und h: Begündung: De Punkt P(//) liegt auf und auf h (also gemeinsame Punkt) die Richtungsvektoen sind jedoch linea unabhängig, somit sind die Geaden nicht paallel.. windschief: Beispiel: g: t und h: Begündung: Die Richtungsvektoen sind linea unabhängig (also nicht paallel) und beim Schnitt de Geaden egibt sich ein Widespuch, also schneiden sich die Geaden nicht. P7: Die übigen Quadeecken haben die Koodinaten S(//), T(//), U(//), V(//). Die Ebene E: schneidet den Quade in eine Fläche. Zeichne diese Schnittfläche in die Figu ein. Bescheibe kuz deine Vogehensweise. Die Ebene E schneidet die Koodinatenachsen in folgenden Punkten: ) / ( / S und ) / ( / S und ) / ( / S. Die Vebindungsstecken diese Punkte sind die so genannten Spugeaden de Ebene. Bei de Schnittfigu des Quades mit de Ebene handelt es sich um ein Fünfeck.

P: Ein Punkt de Achse hat die Koodinate P(//s). Es handelt sich dabei um ein Abstandspoblem Punkt Ebene, weshalb die Hesse sche Nomalenfom angewandt wid.

7 P: Ein Punkt de Achse hat die Koodinate P(//s). Es handelt sich dabei um ein Abstandspoblem Punkt Ebene, weshalb die Hesse sche Nomalenfom angewandt wid. HNF von E: s Einsetzen von P: d(p,e) (Wichtig ist hie das Betagszeichen!!) Diese Betagsgleichung muss nun gelöst weden. Es egeben sich Fälle: s.fall: s also P(//). s.fall s also P(//-). W: a) 7

8 Püfung, ob die Punkte E,F,G,H in eine Ebene liegen: Ebenengleichung duch E,F,G: E: s Kontolle, ob H(//) auf Ebene E liegt: aus de.zeile: s s s aus de.zeile: s eingesetzt in.zeile: s wahe Aussage Also liegt H auf E und damit liegen alle Punkte E,F,G,H in eine Ebene. Hinweis: Altenativ hiezu hätte man auch püfen können, ob die Vektoen EF, EG und EH linea abhängig sind. b) Beechnung des Schnittwinkels zwischen de Ebene E und de -Ebene: Nomalenvekto de -Ebene (Koodinatengleichung ): n Nomalenvekto n de Ebene E: n n n () n n n n () Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen: Setze n. Damit folgt n und n. Also n. Schnittwinkel: cos 7, Somit wid die gefodete Dachneigung von meh als eingehalten. Fläche des Vieecks EFGH: Zunächst ist zu püfen, um welche At von Vieeck es sich hie handelt.

9 Dies geschieht daduch, dass die Seiten des Vieecks als Vektoen beechnet weden: Es gilt: EH ; HG ; GF ; FE Die Vektoen EH und GF sind Vielfache, also sind diese paallel. Die Vektoen HG und FE sind nicht Vielfache und somit auch nicht paallel. Da es sich somit um ein Vieeck mit einem paallelen Seitenpaa handelt, ist es ein Tapez. EH GF Dachfläche = A Tapez htapez Es gilt: EH und GF 9 Die Höhe des Tapezes entspicht dem Abstand de paallelen Geaden duch (EH) und (GF). De Abstand zweie paallele Geaden entspicht dem Abstand eines beliebigen Punktes de einen Geaden von de andeen Geaden. Somit wid de Abstand des Punktes H(//) von de Geaden (GF) beechnet. Geade duch (GF): g GF : t Um den Abstand von H(//) auszuechnen, wid eine Hilfsebene K benötigt. Die Hilfsebene K steht senkecht zu Geaden und enthält den Punkt H. (De Richtungsvekto de Geaden entspicht dem Nomalenvekto de Ebene) K : (- ehält man duch Einsetzen von H in die Ebene) Schnittpunkt von K mit de Geaden: ( t) ( t) t t und somit S ( / / ). h Tapez SH SH A Tapez, 7,7 m² % de Dachfläche =, 7,7, m² 9, m Geadengleichung de Stomleitung: a Ein allgemeine Punkt auf de Stomleitung lautet L( / / a). Diese Punkt L soll von de Dachfläche (Ebene E) einen Abstand von mindestens Meten besitzen, also d(l,e).

Fü die Abstandsbeechnung benötigt man die Hesse sche Nomalenfom (HNF) Die Koodinatengleichung von E lautet: E : (Nomalenvekto wude beeits emittelt, - ehält man duch Einsetzen eines beliebigen

10 Fü die Abstandsbeechnung benötigt man die Hesse sche Nomalenfom (HNF) Die Koodinatengleichung von E lautet: E : (Nomalenvekto wude beeits emittelt, - ehält man duch Einsetzen eines beliebigen Ebenenpunktes). HNF von E: d(l,e) ( ) ( ) a a 7 a 7.Fall: a 7 a, a 7.Fall: a 7 a, 9 Da die Stomleitung obehalb de Dachfläche veläuft und a den -Wet de Punkte angibt, kommt nu de Fall a, in Fage. c) Es soll gezeigt weden, dass e f Voaussetzung: Es gilt a d und b c f b f c a d f b f c f b f c (es gilt f b f b f f c c (nun gilt b c, da b c ) a a ) b f f c f (b c) f e f e was zu zeigen wa.

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