Stochastik: Nutzung sozialer Netzwerke

Transkript

1 Stochastik: Nutzung soziale Netzweke Die Nutzung von sozialen Netzweken wid imme beliebte. Dabei nutzen imme meh Jugendliche veschiedene soziale Netzweke. Es wid davon ausgegangen, dass 30 % alle Jugendlichen das (fiktive) soziale Netzwek Feundschaftsbuch nutzen. Diese Pozentsatz soll im Folgenden als Wahscheinlichkeit dafü vewendet weden, dass eine zufällig befagte jugendliche Peson Feundschaftsbuch nutzt. a) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit, dass von 100 zufällig ausgewählten Jugendlichen (1) genau 33 Jugendliche Feundschaftsbuch nutzen, (2) höchstens 25 Jugendliche Feundschaftsbuch nutzen, (3) die Anzahl de jugendlichen Nutze, die Feundschaftsbuch nutzen, einem Wet entspicht, de sich um maximal 5 vom Ewatungswet untescheidet. b) (1) Emitteln Sie (ggf. duch Pobieen), welche positive Anzahl an Jugendlichen mindestens zufällig ausgewählt weden muss, damit man mit eine Wahscheinlichkeit von höchstens 5 % maximal einen Jugendlichen antifft, de Feundschaftsbuch nutzt. (2) Beechnen Sie, welche positive Anzahl an Jugendlichen mindestens zufällig ausgewählt weden muss, damit man mit eine Wahscheinlichkeit von höchstens 5 % maximal einen Jugendlichen antifft, de Feundschaftsbuch nutzt. c) In eine Schule gibt es zu schulintenen Kommunikation ein eigenes Netzwek, das sowohl von Jugendlichen genutzt wid, die Feundschaftsbuch nutzen, als auch von Jugendlichen, die Feundschaftsbuch nicht nutzen. Dabei ist in beiden Guppen de Anteil dejenigen, die das schulintene Netzwek nutzen, identisch. Im Folgenden wid diese Anteil mit h bezeichnet und auch als Wahscheinlichkeit fü den jeweiligen Fall vewendet. (1) Zeigen Sie, dass man den Anteil de Jugendlichen, die genau eines diese Netzweke nutzen, mithilfe des Tems 0,3 1 h 0,7h bescheiben kann, und ekläen Sie die ( einzelnen Bestandteile des Tems. ) (2) Beechnen Sie den Anteil alle Jugendlichen, die das schulintene Netzwek nutzen, wenn de Anteil de Jugendlichen, die genau eines diese Netzweke nutzen, bei 0,4 liegt. (3) Beechnen Sie fü h 0,25 die Wahscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Peson mindestens eines de beiden Netzweke nutzt. (4) Eine zufällig ausgewählte jugendliche Peson nutzt das schulintene Netzwek. Geben Sie die Wahscheinlichkeit an, dass sie Feundschaftsbuch nicht nutzt, und ekläen Sie, wieso diese Wet auch ohne einen Ansatz übe bedingte Wahscheinlichkeiten emittelt weden kann. d) Die Schülevetetung möchte, dass de Nutzungsgad des schulintenen Netzweks vebesset wid. Dazu soll mit Aktionen das schulintene Netzwek bekannte gemacht weden. Nach einem Jah möchte die Schülevetetung die Vemutung übepüfen, dass de Nutzungsgad von vomals 25 % gestiegen ist, und möchte dazu 50 zufällig ausgewählte Jugendliche de Schule befagen. (1) Geben Sie eine geeignete Nullhypothese an und emitteln Sie eine passende Entscheidungsegel auf dem Signifikanzniveau von 0,05. (2) Bei de Befagung kommt heaus, dass 19 Jugendliche das schulintene Netzwek nutzen.

2 Beuteilen Sie die Situation aus Sicht de Schülevetetung. Zum Signifikanzniveau von 0,025 egibt sich die Entscheidungsegel: Vewif die Nullhypothese, falls 20 ode meh Jugendliche das schulintene Netzwek nutzen. (3) In den Abbildungen 1 4 sind die Wahscheinlichkeiten de jeweils angegebenen Binomialveteilung als Säulen dagestellt. Die Höhe de Säule zum Wet k entspicht dabei P(X = k). Stellen Sie den Beeich, in dem die Nullhypothese abgelehnt wid, in Abbildung 1 gafisch da. (4) Bescheiben Sie den Fehle 2. At im Sachzusammenhang und beechnen Sie die Wahscheinlichkeit seines Auftetens fü den Fall, dass de Nutzungsgad in Wiklichkeit bei 40 % liegt. (5) Bei gleichbleibende Entscheidungsegel und steigendem Nutzungsgad wid die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At imme kleine. Ekläen Sie, inwieweit dies an den Abbildungen 2 bis 4 abgelesen weden kann. Abbildung 1: Binomialveteilung fü p 0,25 und n 50 Abbildung 2: Binomialveteilung fü p 0,4 und n 50

3 Abbildung 3: Binomialveteilung fü p 0,5 und n 50 Abbildung 4: Binomialveteilung fü p 0,6 und n 50

4 Lösung a) Die Zufallsgöße X gibt die Anzahl de zufällig ausgewählten Jugendlichen an, die das soziale Netzwek Feundschaftsbuch nutzen. X wid als binomialveteilt mit n 100 und p 0,3 angenommen ,0685 6,85 % (1) P(X 33) ,3 0,7 Altenativ: P(X 33) P(X 33) P(X 32) 0,0685 6,85 % (2) 25 P(X 25) 100 0,3k 0,7100 k k k 0 0, ,31% (3) Fü den Ewatungswet gilt: n p 100 0,3 30 Die betachtete Anzahl soll sich maximal um 5 vom Ewatungswet untescheiden, also gilt 25 X 35. Die gesuchte Wahscheinlichkeit ist: P(25 X 35) P(X 35) P(X 24) 0, ,04 % b) Die Zufallsgöße X gibt weitehin die Anzahl de zufällig ausgewählten Jugendlichen an, die das soziale Netzwek Feundschaftsbuch nutzen. X wid wiede als binomialveteilt mit p 0,3 angenommen. Die Anzahl n ist unbekannt und soll so emittelt weden. n n P (X 1) 0,05 0,3 P(X 0) P(X 1) 0,05 0 n 1 n 1 0,3 0,7 0,3 0,7 0, n n 1 0,7 n 0,3 0,7 0,05

5 GTR CAS Zunächst wid die Anzahl n so bestimmt, dass folgende Gleichung efüllt ist: 0, 7n n 0,3 0, 7n 1 0, 05 n1 2, 28; n 2 13,82 Die este Lösung ist nicht positiv und scheidet dahe aus. Fü n 13 ist die Ungleichung noch nicht efüllt. Fü n 14 ist die Ungleichung efüllt. Es müssen folglich mindestens 14 Jugendliche auswählt weden. c) (1) Es ist hilfeich den beschiebenen Sachvehalt in einem Baumdiagamm dazustellen. Hiefü weden folgende Eeignisse definiet: FB: Jugendliche nutzt Feundschaftsbuch FB: SNW: Jugendliche nutzt Feundschaftsbuch nicht Jugendliche nutzt das schulintene Netzwek SNW: Jugendliche nutzt das schulintene Netzwek nicht De gesuchte Anteil de Jugendlichen, die genau eines de Netzweke nutzen, setzt sich aus den folgenden Anteilen zusammen: Anteil de Jugendlichen, die Feundschaftsbuch nutzen, abe nicht das schulintene Netzwek. Diese Anteil entspicht: P(FB SNW) 0,3 (1 h) (Pfadegel) Anteil de Jugendlichen, die Feundschaftsbuch nicht nutzen, abe das schulintene Netzwek. Diese Anteil entspicht: P(FB SNW) 0,7 h (Pfadegel)

6 Duch Addition egibt sich de gesuchte Tem: P(FB SNW) P(FB SNW) 0,3 (1 h) 0, 7 h (2) De Anteil alle Jugendlichen, die das schulintene Netzwek nutzen, ist h. E lässt sich duch die folgende Gleichung bestimmen: 0,3 (1 h) 0,7 h 0, 4 0,3 0,3h 0,7h 0, 4 0, 4h 0,1 h 0,25 (3) Die Wahscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Peson mindestens eines de beiden Netzweke nutzt, setzt sich aus folgenden Wahscheinlichkeiten zusammen: Eine zufällig ausgewählte jugendliche Peson nutzt beide Netzweke: P(FB SNW) 0,3 h 0,3 0,25 0,075 (Pfadegel) Eine zufällig ausgewählte jugendliche Peson nutzt genau eines de beiden Netzweke: P(FB SNW) P(FB SNW) 0, 4 (nach Teilaufgabe c (2)) Duch Addition egibt sich die gesuchte Wahscheinlichkeit: 0,075 0,4 0,475 (4) Um die Situation anschaulich zu machen, wid zu dem Baumdiagamm aus Teilaufgabe c (1) das umgekehte Baumdiagamm estellt. Dabei können die Gesamtwahscheinlichkeiten aus dem beeits aufgestellten Baumdiagamm übenommen weden. Da laut Aufgabentext de Anteil dejenigen, die das schulintene Netzwek nutzen, in beiden Guppen identisch ist, lauten die Wahscheinlichkeiten auf de esten Stufe h und 1 h. Die Wahscheinlichkeiten de zweiten Stufe egeben sich dann mittels Pfadegel. Aus dem umgekehten Baumdiagamm kann nun die gesuchte Wahscheinlichkeit abgelesen weden: P SNW (FB) 0,7 Wegen de Unabhängigkeit de Eeignisse kann die Wahscheinlichkeit ohne einen Ansatz übe bedingte Wahscheinlichkeiten emittelt weden. d) (1) Als Nullhypothese sollte man die Annahme wählen, die man widelegen möchte. Die Schülevetetung möchte mit de Befagung übepüfen, ob de Nutzungsgad des schulintenen Netzweks von vomals 25 % göße gewoden ist. Folglich wählt man als Nullhypothese: H 0 : p 0,25

7 Um eine passende Entscheidungsegel zu emitteln, wid die Zufallsgöße X: Anzahl de Nutze des schulintenen Netzweks als binomialveteilt mit n 50 und p 0,25 angenommen. Gesucht ist de Wet k, fü den gilt: P (X k) 0, 05 und P (X k 1) 0,05 p 0,25 p 0,25 Mit dem Taschenechne lässt sich de gesuchte Wet expeimentell emitteln: k 18 Die Entscheidungsegel lautet: Vewif die Nullhypothese, falls X 19, d. h., falls 19 ode meh Jugendliche das schulintene Netzwek nutzen. Altenativ: Fü die binomialveteilte Zufallsgöße gilt: n p 50 0, 25 12,5 n p (1 p) 50 0,25 0,75 3,062 3 Damit ist die Laplace-Bedingung efüllt und es können -Umgebungen um den Ewatungswet zu Abschätzung von Wahscheinlichkeiten eingesetzt weden. Bei de hie zu untesuchenden Fagestellung ist zu püfen, ob Abweichungen nach eine Seite, nämlich nach oben, aufteten. Es handelt sich also um einen echtsseitigen Test. Zum vogegebenen Signifikanzniveau von 0,05 ist bei einem echtsseitigen Test die 1,64 -Umgebung von heanzuziehen: P(X 1,64 ) 95 % Als Genze egibt sich: 1,64 12,5 1, 64 3,062 17,522 Somit lautet die Entscheidungsegel: Vewif die Nullhypothese, falls X 18, d. h., falls 18 ode meh Jugendliche das schulintene Netzwek nutzen. (2) Im Fall X 19 ist nach de Entscheidungsegel aus Teilaufgabe d (1) die Nullhypothese zu vewefen und die Schülevetetung kann ihe Aktion als gelungen beweten.

8 (3) Abbildung 1: Binomialveteilung fü p 0,25 und n 50 Die Nullhypothese wid abgelehnt, wenn X 20 ist. Die dunkel eingefäbten Wahscheinlichkeiten geben den Ablehnungsbeeich an. (4) Beim Fehle 2. At ist die Nullhypothese H 0 : p 0,25 in Wahheit falsch, d. h., es gibt in Wiklichkeit inzwischen meh Nutze des schulintenen Netzweks. Aufgund des Egebnisses de Befagung wid die Nullhypothese abe nicht vewofen und die Aktion de Schülevetetung als nicht gelungen bewetet. Bei einem tatsächlichen Nutzungsgad von 40 % beechnet sich die Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At mit n 50 und p 0,4 wie folgt: P p 0,4 (X 19) 0, ,7 % (5) Mit steigendem Nutzungsgad p wid de Ewatungswet 50 p göße. Die Wahscheinlichkeitsveteilung de Zufallsgöße X veschiebt sich in den Abbildungen 2 bis 4 mit dem Ewatungswet nach echts. Die Säulen de Wahscheinlichkeiten fü X 19 weden kleine. Daduch wid auch die Summe de Säulenhöhen, die die Auftittswahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At angibt, kleine. Auf diese Weise kann aus den Abbildungen 2 bis 4 die kleine wedende Wahscheinlichkeit fü den Fehle 2. At abgelesen weden.