Pfadwahrscheinlichkeiten

Transkript

1 Pfadahscheinlichkeiten Zei Kugeln eden nacheinande ohne Zuücklegen gezogen. Mit elche Wahscheinlichkeit ist die zeite Kugel schaz? Die Menge alle Elementaeeignisse ist Ω = {(s,s); (s,); (,s); (,)} Jedem Elementaeeignis entspicht ein Pfad duch den Baum. 8 8 s s s Wie beechnet sich die Wahscheinlichkeit eines Pfades? Betachten i hiezu zum Beispiel den Pfad 8 s s Bei de Definition de Pfadahscheinlichkeit lassen i uns von de Häufigkeitsintepetation de Wahscheinlichkeit leiten. Nehmen i dazu an, dass de zeistufige Vesuch n-mal iedeholt id. Welche Anteil de Wiedeholungen id diesen Pfad einschlagen? 8 de Wiedeholungen eden den Zeig s einschlagen und de 8 n Fälle eden von s nach s gehen. Deshalb id de Anteil 8 n de n Wiedeholungen entlang des Pfades s, s ablaufen. Die Wahscheinlichkeit eines Pfades ist das Podukt de Wahscheinlichkeiten längs des Pfades. P( zeite Kugel ist schaz ) = = 8. In einem dunklen Gang sind in einem Schubfach schaze, 6 ote und eiße Socken. Zei Socken eden zufällig gegiffen. Wie goß ist die Wahscheinlichkeit, dass beide die gleiche Fabe haben?. Eine Münze id solange geofen, bis zum. Mal escheint, höchstens abe mal. a) Mit elche Wahscheinlichkeit fällt beim. Wuf? b) Mit elche Wahscheinlichkeit fällt spätestens beim. Wuf?. Unte de Annahme, dass die Wahscheinlichkeit fü einen Geinn beim Setzen auf Rouge gleich ist, schöen viele Roulettspiele auf folgendes System: Man setzt einen geissen Betag. Geinnt man, höt man auf und ehält als Geinn den doppelten Einsatz. Veliet man, so vedoppelt man den Einsatz und spielt eite. Ein Spiele beginnt mit 0e Einsatz; e könnte bis zu 6 Spiele mitmachen. Beechnen Sie seinen zu eatenden Reingeinn.. Wie goß ist die Wahscheinlichkeit beim 0-maligen Wüfeln a) nie eine Sechs, b) genau eine Sechs, c) genau Sechsen, d) mindestens Sechsen zu efen? c Roolfs

2 Pfadahscheinlichkeiten Hineise. In einem dunklen Gang sind in einem Schubfach schaze, 6 ote und eiße Socken. Zei Socken eden zufällig gegiffen. Wie goß ist die Wahscheinlichkeit, dass beide die gleiche Fabe haben? 6 s s P =. Eine Münze id solange geofen, bis zum. Mal escheint, höchstens abe mal. a) Mit elche Wahscheinlichkeit fällt beim. Wuf? b) Mit elche Wahscheinlichkeit fällt spätestens beim. Wuf? Unte de Annahme, dass die Wahscheinlichkeit fü einen Geinn beim Setzen auf Rouge gleich ist, schöen viele Roulettspiele auf folgendes System: Man setzt einen geissen Betag. Geinnt man, höt man auf und ehält als Geinn den doppelten Einsatz. Veliet man, so vedoppelt man den Einsatz und spielt eite. Ein Spiele beginnt mit 0e Einsatz; e könnte bis zu 6 Spiele mitmachen. Beechnen Sie seinen zu eatenden Reingeinn

3 . Wie goß ist die Wahscheinlichkeit beim 0-maligen Wüfeln a) nie eine Sechs, 0,6 b) genau eine Sechs, 0, c) genau Sechsen, 0,9 d) mindestens Sechsen zu efen? 0,

4 Placebo-Aufgabe In eine Klinik bekommt ein Patient zei Tabletten, die zufällig eine Schachtel entnommen eden, in de acht Beuhigungstabletten und zei Placebos sind. Wi betachten die Eeignisse: A: Beide Tabletten sind echt. B: Genau eine de Tabletten ist ein Placebo. a) Emittle die Wahscheinlichkeiten P(A) und P(B). b) Fomuliee das Eeignis C = A B in Woten und emittle die Wahscheinlichkeit P(C). c Roolfs

5 Placebo-Aufgabe In eine Klinik bekommt ein Patient zei Tabletten, die zufällig eine Schachtel entnommen eden, in de acht Beuhigungstabletten und zei Placebos sind. Wi betachten die Eeignisse: A: Beide Tabletten sind echt. B: Genau eine de Tabletten ist ein Placebo. a) Emittle die Wahscheinlichkeiten P(A) und P(B). P(A) = = 0,6 P(B) = = 0,6 b) Fomuliee das Eeignis C = A B in Woten und emittle die Wahscheinlichkeit P(C). C: Beide Tabletten sind Placebos. P(C) = 0 9 = 0,0 c Roolfs

6 Beline Spotle Laut Statistischem Jahbuch aen im Jah 0 von..89 Einohnen de Stadt Belin. als Mitglied in einem Spotveein oganisiet. Diese eden im Folgenden kuz Spotle genannt. a) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass eine zufällig ausgeählte Peson Spotle ist. Geben Sie diese Wahscheinlichkeit auch in Pozent an. Bei Telefonumfagen eden zufällig ausgeählte Pesonen nach ihe Veeinsmitgliedschaft befagt. Rechnen Sie bei den folgenden Aufgaben mit eine Wahscheinlichkeit von 6% dafü, dass eine zufällig befagte Peson Spotle ist. b) Emitteln Sie folgende Wahscheinlichkeiten, z. B. unte Veendung eines Baumdiagamms: E : Von dei befagten Pesonen ist est die ditte ein Spotle. E : Unte den esten dei befagten Pesonen ist genau ein Spotle. c) Fomulieen Sie das Gegeneeignis zum Eeignis E Unte den esten vie befagten Pesonen sind höchstens dei Spotle. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit von E mit Hilfe des Gegeneeignisses. d) Es eden viele Telefonumfagen mit stets 00 Pesonen duchgefüht. Geben Sie an, elche Anzahl von Spotlen bei solchen Umfagen duchschnittlich zu eaten ist. Unte den 6.0 Einohnen de Altesguppe 9- Jahe gab es im Jah 0 insgesamt.08 Spotle. In diese Altesguppe gab es Mädchen, davon aen.0 in einem Spotveein oganisiet. e) Stellen Sie diese Daten in eine Viefeldetafel da und vevollständigen Sie diese. Nennen Sie ggf. die Bedeutung von Abküzungen, die Sie veenden. f) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass A: eine zufällig ausgeählte Peson diese Altesguppe männlich und Spotle ist B: ein zufällig ausgeählte Spotle männlich ist. g) Untesuchen Sie unte Veendung de gegebenen Daten, ob es einen stochastischen Zusammenhang zischen de Mitgliedschaft in einem Spotveein und de Zugehöigkeit zu eine Altesguppe gibt. 6

7 Beline Spotle Laut Statistischem Jahbuch aen im Jah 0 von..89 Einohnen de Stadt Belin. als Mitglied in einem Spotveein oganisiet. Diese eden im Folgenden kuz Spotle genannt. a) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass eine zufällig ausgeählte Peson Spotle ist. Geben Sie diese Wahscheinlichkeit auch in Pozent an.,% Bei Telefonumfagen eden zufällig ausgeählte Pesonen nach ihe Veeinsmitgliedschaft befagt. Rechnen Sie bei den folgenden Aufgaben mit eine Wahscheinlichkeit von 6% dafü, dass eine zufällig befagte Peson Spotle ist. b) Emitteln Sie folgende Wahscheinlichkeiten, z. B. unte Veendung eines Baumdiagamms: E : Von dei befagten Pesonen ist est die ditte ein Spotle. 0,6 0,8 = 0, E : Unte den esten dei befagten Pesonen ist genau ein Spotle. 0,6 0,8 = 0,9 c) Fomulieen Sie das Gegeneeignis zum Eeignis E Unte den esten vie befagten Pesonen sind höchstens dei Spotle. E: Unte den esten vie befagten Pesonen sind genau Spotle. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit von E mit Hilfe des Gegeneeignisses. P(E) = P(E) = 0,999 d) Es eden viele Telefonumfagen mit stets 00 Pesonen duchgefüht. E(X) = n p = 00 0,6 = 80 Geben Sie an, elche Anzahl von Spotlen bei solchen Umfagen duchschnittlich zu eaten ist. Unte den 6.0 Einohnen de Altesguppe 9- Jahe gab es im Jah 0 insgesamt.08 Spotle. In diese Altesguppe gab es Mädchen, davon aen.0 in einem Spotveein oganisiet. e) Stellen Sie diese Daten in eine Viefeldetafel da und vevollständigen Sie diese. Nennen Sie ggf. die Bedeutung von Abküzungen, die Sie veenden. W W S P(W S) = S S: Die beteffende Peson ist Mitglied eines Spotveeins. W: Die beteffende Peson ist eiblich = 0, P(W S) = = 0,8 =,8% f) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass A: eine zufällig ausgeählte Peson diese Altesguppe männlich und Spotle ist B: ein zufällig ausgeählte Spotle männlich ist. g) Untesuchen Sie unte Veendung de gegebenen Daten, ob es einen stochastischen Zusammenhang zischen de Mitgliedschaft in einem Spotveein und de Zugehöigkeit zu eine Altesguppe gibt. h Altesguppe (S) = = 0,9 > h(s) = 0, Die el. Häufigkeit von Spotlen in de vogegebenen Altesguppe ist höhe als die el. Häufigkeit de Spotle Belins.

8 Abituienten Betachtet eden die folgenden Eeignisse in Bezug auf deutsche Abituienten: Ein zufällig ausgeählte Abituient A: nimmt ein Studium auf B: absolviet diekt nach de Schulzeit ein feiilliges soziales Jah. Die folgende Viefeldetafel stellt die Zusammenhänge von A und B da. A A B % % B 60% 0% a) Bescheiben Sie jeeils im Sachzusammenhang die Bedeutung de Eeignisse A und A B. b) Geben Sie fü die Eeignisse A B und A B jeeils die Wahscheinlichkeit an. c) Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass ein zufällig ausgeählte Abituient, de diekt nach de Schulzeit ein feiilliges soziales Jah absolviet, ein Studium aufnimmt. d) Emitteln Sie, ob die Eeignisse A und B unabhängig sind. 8

9 Abituienten Betachtet eden die folgenden Eeignisse in Bezug auf deutsche Abituienten: Ein zufällig ausgeählte Abituient A: nimmt ein Studium auf B: absolviet diekt nach de Schulzeit ein feiilliges soziales Jah. Die folgende Viefeldetafel stellt die Zusammenhänge von A und B da. A A B % % 0% B 60% 0% 80% % % 00% a) Bescheiben Sie jeeils im Sachzusammenhang die Bedeutung de Eeignisse A und A B. A: Ein zufällig ausgeählte Abituient nimmt kein Studium auf. A B: Ein zufällig ausgeählte Abituient nimmt kein Studium auf und absolviet ein feiilliges soziales Jah. b) Geben Sie fü die Eeignisse A B und A B jeeils die Wahscheinlichkeit an. % bz. 0% c) Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass ein zufällig ausgeählte Abituient, de diekt nach de Schulzeit ein feiilliges soziales Jah absolviet, ein Studium aufnimmt. P(A B) = 0 = % d) Emitteln Sie, ob die Eeignisse A und B unabhängig sind. P(A) = P(A B) A und B sind dahe unabhängig. 9

10 Eine Une enthalte zei ote und dei eiße Kugeln. Es id ein zufällig eine Kugel entnommen. Anschließend id die gezogene Kugel zuückgelegt und de Une eine eitee Kugel gleiche Fäbung hinzugefügt. a) Die Ziehung id zeimal iedeholt. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit, dass ) beide Kugeln ot sind ) genau eine Kugel ot ist ) keine Kugel ot ist. b) Die Ziehung id deimal iedeholt. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit, dass alle dei Kugeln ot sind. In de Une befinden sich nun eine ote und eine eiße Kugel. Ist die gezogene Kugel ot, so ist das Expeiment beendet. Wid eine eiße Kugel gezogen, id ie bishe vefahen. c) Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass das Expeiment im esten Vesuch (zeiten, ditten, vieten,...) beendet id. Diese At des Unenmodells ist nach Pólya benannt. Die epidemieatige Ausbeitung zeie veschiedene, sich abe gegenseitig behindende Kankheitseege id hiemit modelliet. 0

11 Eine Une enthalte zei ote und dei eiße Kugeln. Es id ein zufällig eine Kugel entnommen. Anschließend id die gezogene Kugel zuückgelegt und de Une eine eitee Kugel gleiche Fäbung hinzugefügt. a) Die Ziehung id zeimal iedeholt. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit, dass ) beide Kugeln ot sind P() = ) genau eine Kugel ot ist P( ) = ) keine Kugel ot ist. P() = b) Die Ziehung id deimal iedeholt. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit, dass alle dei Kugeln ot sind. P() = 6 = In de Une befinden sich nun eine ote und eine eiße Kugel. Ist die gezogene Kugel ot, so ist das Expeiment beendet. Wid eine eiße Kugel gezogen, id ie bishe vefahen. c) Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass das Expeiment im esten Vesuch (zeiten, ditten, vieten,...) beendet id.. Vesuch P() =. P() =. P() = =. P() = = k. Vesuch P(... }{{} ) = k (k )mal k+

12 Statseite