6 Die Gesetze von Kepler

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1 6 DIE GESETE VON KEPER 1 6 Die Gesetze von Kele Wi nehmen an, dass de entalköe (Sonne) eine seh viel gössee Masse M besitzt als de Planet mit de Masse m, so dass de Schweunkt in gute Näheung im entum de Sonne zu liegen kommt. De Usung des Koodinatensystems wählen wi in diesem entum. 6.1 De Flächensatz Die einzige Kaft, die auf den Planeten wikt, ist die Gavitationskaft: ~F =,G Mm ~e wobei := j~j und ~e := ~=. Da es sich um eine entalkaft handelt, ist das mechanische Moment bezüglich des Usungs gleich null. Als Folge davon, ist de Dehimuls (bezüglich deselben Nullunkts) eine Konstante de Bewegung: ~ = m~ ~v = const Dies imliziet, dass die Bewegung in eine Ebene efolgt. Wi wählen unse Koodinatensystem nun so, dass die Bewegung in de Ebene z =0stattfindet und scheiben fü den Dehimuls: ~ = ~e z. Im letzten Kaitel haben wi gesehen, dass eine ebene Fläche, die duch beandet ist, wie folgt beechnet weden kann: I (xdy, ydx) A = 1 Angenommen ist die Bahnkuve des Planeten, dann haben wi in de natülichen duch die zeitliche Entwicklung vogegebene Paametisieung von : da = 1 x dy dt dt, y dx dt Da die z-komonente des Dehimulses gegeben ist duch: = m x dy dt, y dx dt folgt offensichtlich da = =(m) =const dt etztees ist de Inhalt des Flächensatzes. Fü eine fest vogegebene Bahnkuve eines Planeten übesteicht die Vebindungsgeade von de Sonne zum Planeten in gleichen eiten gleiche Flächen.

2 6 DIE GESETE VON KEPER 6. Die Kele schen Bahnkuven Die Heleitung de Bahnkuve wid hie skizziet als Beisiel zu ösung de Bewegungsgleichung duch Seaation de Vaiablen. Wi vewenden in de Ebene de Bahnkuve Polakoodinaten (;). Die momentane Geschwindigkeit ~v kann zelegt weden in den Anteil in Richtung ~e und senkecht dazu, d.h. in v und v. Es gilt: v = _ v = _ Die totale Enegie E ist die Summe aus kinetiche und otentielle Enegie: E = 1 mv + 1 mv, G Mm = const Weite kann die z-komonente des Dehimulses auch geschieben weden als: = mv = m _,sodassv duch =m esetzt weden kann: E = 1 m _ + m, GMm Diese Gleichung wude beeits in de Volesung diskutiet. Sie kann integiet weden. Gesucht ist die Bahnkuve! (): _ = d dt = d d d dt = d d m Auflösen de Gleichung E = ::: nach _ und Einsetzen de letzten Identität egibt: d = d m E m, m + GM Nun die Wuzel ziehen: d d = m E m, m + GM Im nächsten Schitt wid die Seaation duchgefüht: d = d m q E, m m + GM Und schlussendlich efolgt die Integation: + A = d m q E m + GM, m

3 6 DIE GESETE VON KEPER 3 Das Ganze sieht vielleicht etwas komliziet aus. Das Integal kann abe auf eine bekannte Funktion zuückgefüht weden. Beachten Sie, dass A eine Integationskonstante ist. Wi fühen die Substitution y := 1= duch. Es gilt dy=d =,,,sodassd =, dy und somit: Weite Veeinfachung: + A = + A = = q E m Folgende Abküzungen wuden nun eingefüht: (=m)dy +Gmy,, m dy +y, y y dy ( + ), (y, ) := Em= und := GMm = Mit de letzten Substitution x := y, ehalten wi nun: dx + A =, x wobei := +. Die Stammfunktion des Integanden de letzten Gleichung ist die invese Funktion von sin();also: + A = acsin x Wi wählen im Folgenden das ositive Vozeichen. Das negative gehöt offenba zu Bahnkuve, die in entgegengesetzte Richtung duchlaufen wid. Nun gehen wi ückwäts und esetzen x duch y und y duch den Radius : sin( + A) = x = y, Daaus ehalten wi endgültig fü die Abbildung (): () = 1+sin( + A) = 1=, (1) Die neuen Konstanten := 1= und := = dücken wi noch duch die hysikalischen Paamete aus: = = GMm 1+ E G M m 3

4 6 DIE GESETE VON KEPER 4 Die Integationskonstante A in de Gleichung (1) gibt die Oientieung de Bahnkuve an, sozusagen den Nullunkt fü den Winkel.Wiwählen die Konstante so, dass fü =0de Radius extemal ist, d.h. es soll d=d =0sein. Eine mögliche Wahl fü A ist dann: A = = und aus sin( + A) wid cos(): () = 1+cos() () Nun sind wi am iel. Die letzte Gleichung wid in de Geometie behandelt und bescheibt die sogenante Polagleichung (in Polakoodinaten) de Kegelschnitte bezogen auf einen Bennunkt als Pol, d.h. de Punkt =0ist ein Bennunkt. Die Gleichung bescheibt je nach Wet von Keis, Ellise, Paabel ode Hyebel: = 0 Keis 0 <<1 Ellise = 1 Paabel >1 Hyebel In de Figu 1 sind ein Paa Bahnkuven dagestellt und aussedem die Beziehungen zwischen, und de gossen und kleinen Halbachse a, b de Ellise. Das Kele sche Gesetz zu Bahnkuve des Planten müsste ichtigeweise besagen, dass die geometischen Bahnen Ellisen ode abe auch Hyebeln und Paabeln mit de Sonne im Bennunkt sein können. Die Bahnkuve ist eine Ellise (mit Keis als Sezialfall, wenn die Gesamtenegie E negativ ist, d.h. alle gebundenen Bahnen sind Ellisen. Die Bahnkuve ist genau dann ein Keis, wenn E =, G M m 3 Übung: eigen Sie, dass in diesem Fall E =,E ot =.

5 6 DIE GESETE VON KEPER ε= ε=/3 a b (φ) φ ε=0 b = a 1-ε = a(1-ε ) Dittes Kele sche Gesetz Dieses Gesetz ehalten wi nun seh leicht. Die Fläche o eiteinheit ist gleich =m. Wenn T die Umlaufzeit de (geschlossenen) Bahnkuve bezeichnet gilt: m T = ab Auflösen nach T und quadieen egibt einen Ausduck, de zu b ootional ist. Die kleine Ellisenhalbachse im Quadat ist gleich a, sodasst / a 3. Exlizit egibt sich: T = 4 (3) a 3 GM Die Quadate de Umlaufszeiten vehalten sich wie die Kuben de gossen Halbachsen, wenn veschiedene mögliche Bahnkuven fü den gleichen entalköe veglichen weden. Man beachte, dieses Gestz ist unabhängig von m.

6 6 DIE GESETE VON KEPER 6 Seit den Raumfahtmissionen zum Mond kann de Abstand vom Mond zu Ede seh genau bestimmt weden. Auch die Umlaufszeit des Mondes um die Ede kann seh genau gemessen weden, so dass das Podukt GM (Ede) seh genau bekannt sein müsste (eigentlich die eduziete Masse Ede-Mond). Schlussbemekung: Die Bahnkuve kann auch diekt aus de Newton schen Gleichung bestimmt weden (diese Heleitung ist vielleicht soga einfache). Fü die x-komonente de Geschwindigkeit v x v_ x =, GM cos() Danach dividiet man beide Seiten duch _,woausfü die linke Seite dv x =d folgt: dv x d =,GMm cos() Diese Gleichung (und die analoge fü die y-komonente) kann nun integiet weden. Es folgt: (v x ;v y ) = GMm (,sin() +A; cos() +B) Nun kann man _x und _y ola dastellen und aus beiden Gleichungen _ eliminieen, fetig.