Kapitel 4 Energie und Arbeit

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1 Kapitel 4 negie und Abeit

2 Kaftfelde Wenn wi jedem unkt des Raums eindeutig einen Kaft-Vekto zuodnen können, ehalten wi ein Kaftfeld F ( ) Häufig tauchen in de hysik Zental-Kaftfelde auf : F( ) f ( ) ˆ Die Kaft zeigt imme auf ein festes Zentum Stäke de Kaft hängt (nu) von ab. f() < 0 : Kaft ist attaktiv (z.b. Gavitation) f() > 0 : Kaft ist epulsiv (z.b. zwischen gleichen elektischen Ladungen)

3 Beispiel Zentalfeld Attaktives Kaftfeld de Gavitation eine Vollkugel (ot makiet) : Äquientialflächen def. Beeiche gleichen otentials (bzw. in diesem Fall auch gleiche Kaft). Die Äquientialflächen sind konzentische Keise. Die attaktive Kaft F ist senkecht zu den otentialflächen, in Richtung ( ) geichtet. 3

4 Beispiel fü ein Nicht-Zentalfeld Gavitationsfeld zweie Massen: z.b. Kaft auf eine obemasse m zwischen de und Mond. Da beide inzelfelde von de und Mond attaktive Zentalfelde sind, wid es igendwo zwischen de und Mond einen Beeich geben, wo sich die Gavitationskäfte de beiden Himmelsköpe geade aufheben ( Tennkuve ). Auch außehalb dieses Beeiches sind die Gavitationsfelde von de und Mond modifiziet im Vegleich zum Feld eine einzelnen Masse. Das gesamte Kaftfeld kann als Übelageung de inzelfelde geschieben weden. 4 M M G m F F F M M M M ˆ ˆ ˆ

5 Homogene und inhomogene Kaftfelde in Kaftfeld heißt homogen (innehalb eines Raumbeeichs), wenn Richtung und Betag eine Kaft nicht vom Ot abhängen, andenfalls ist das Kaftfeld inhomogen. Das Feld tief im Inneen (z << L) eines lattenkondensatos kann als homogen angenommen weden. Am Rand entstehen inhomogene Felde h Auch das Gavitationsfeld kann in de Nähe de dobefläche (h << R) als homogen angenommen weden, d.h. Kaft und Beschleunigung vaiieen nu venachlässigba wenig mit de Höhe. 5

6 Bewegung in Kaftfelden : Abeit 6 F F t t Abeit = Kaft Weg Wi betachten die Bahnkuve eines Teilchens in einem Kaftfeld : An einem beliebigen unkt wikt eine Kaft. Wi können die Kaft zelegen in Komponenten F und F, d.h. senkecht und paallel zu Tangente an die Bahn in F ist paallel zu Bahn, d.h. paallel zu Geschwindigkeit v F bewikt eine Beschleunigung, d.h. Veändeung des Betages de Geschwindigkeit v; F ist senkecht zu Bahn, d.h. senkecht zu Geschwindigkeit v F bewikt eine Kümmung de Bahn, d.h. lediglich Veändeung de Richtung de Geschwindigkeit v

7 7 Allg. Definition de Abeit längs eines Weges von nach auf de Bahn : W F( ) d Definition de Leistung W d.h. Abeit po Zeit inheiten : [Abeit] = Nm = Joule [Leistung] = Joule/s = Watt

8 Abeit bei einfache Bewegung im Schwefeld h Bahn gegeben duch x = x(y) von y = 0 bis y = h Kaft in unkt (x,y) : F F G mg eˆ y W F d mg eˆ y d mg y y dy mg h 0 dy mgh 8

9 Konsevative/nicht-konsevative Kaftfelde 9 Wenn die Abeit in einem Kaftfeld unabhängig vom Weg ist, gilt : W F( ) d 0 Das Kaftfeld heißt dann konsevativ Wenn die Abeit in einem Kaftfeld abhängig vom Weg ist, gilt i.d.r. : W F( ) d 0 Das Kaftfeld heißt dann nicht-konsevativ Anmekung : Nu wenn das Kaftfeld konsevativ ist, kann die entielle negie (d.h. negie abhängig von osition) sinnvoll definiet weden (andenfalls wüde die negie vom voheigen Weg zu aktuellen osition abhängen)

10 Beispiel fü konsevative Kaftfelde F ( 0,0, F ) Abeit in einem homogenen Kaftfeld : Übelegungen (ohne Rechnung) : Homogenes Feld Kaft übeall konstant. Betachte mögliche Wege I,II zwischen und : Senkecht zu Kaft wid auf beiden Wegen keine Abeit geleistet, da dot die Kaft F senkecht auf dem Weg-lement d steht. s bleiben gleich goße Weg-Teile paallel zu Kaft übig. Da F = const. ist die Abeit auf beiden Teilwegen W = F (z -z ), d.h. hängt lediglich von Anfangs- und ndpunkt ab. Jeden beliebigen Weg III im Kaftfeld kann man in infinitesimal kleine Wege zelegen, auf denen ebenfalls die Diffeenz (z -z ) fü die Abeit elevant ist und nicht die Fom des Weges. mathematische Beweis (Annahme : konstante Kaft sei in z-richtung geichtet) : W F( ) d F dz F ( z z) F( z z) 0 0

11 otentielle negie (im konsevativen Kaftfeld) Wie wi gesehen haben, hängt in einem konsevativen Kaftfeld die Abeit nu von den Koodinaten des Anfangs- und ndpunktes eine Bewegung ab. Wi können dahe die entielle negie eines Köpes im unkt definieen als die Abeit, die zu leisten ist, wenn man den Köpe von einem Bezugspunkt 0 nach bingt W F( ) 0 d 0 0 Anmekung : Beachte das Minus-Zeichen in (), da nach Defnition die Abeit zu leisten ist (und nicht gewonnen wid), um den Köpe von 0 nach zu bingen. in Köpe am unkt hat also das otential (d.h. die Möglichkeit) diese Abeit wiede zu gewinnen, indem e nach 0 bewegt wid. Wenn wi den Bezugspunkt 0 so wählen, dass ( 0 ) = 0, dann gilt : W 0

12 Beispiel : otentielle negie im homogenen Kaftfeld (F = const.) wi wählen den Bezugspunkt = (0,0,0) und legen z-richtung paallel zu Kaft : Abeit : W AB W AB' F 0 h dz F h z.b. im Schweefeld de de nahe de Obefläche : F = -mg W mgh entielle negie de Schwekaft : B B z h mgh F ( 0,0, F ) A 0

13 negiesatz de Mechanik F mit : mit : m a m v v F m v v t t v F dt m v v dt v dt kin t v dv dt dv v F dt m v dv m v v dt mv kinetische negie t v t kin (v ) kin (v ) t und : v dt d dt dt d t t v F dt F d ( ) ( ) kin kin negie- haltungssatz 3

14 Beispiel negieehaltung : Schwingung eine Fede otentielle negie de Schwingung : D x x x 0 x 0 x kin in Köpe de Masse m schwingt in x-richtung unte dem influss eine Kaft F = D (x-x 0 ). In jedem unkt x ist die Gesamtenegie = + kin = (x = x m ) = kin (x = 0) = const. 4

15 Zusammenhang zwischen Kaft und entielle negie Geht man in einem konsevativen Kaftfeld vom unkt um die infinitesimal kleine Stecke Δ = (Δx, Δy, Δz) zum unkt, so ändet sich die entielle negie um : x x y y z z 5 Anmekung : Das Vogehen ist äquivalent zu Näheung eine Funktion y(x) duch xtapolation von unkt y(x) mittels de Tangenten : y(x+x) = y(x) + y/x x Vaiation y = y/x x

16 andeeseits gilt : dw F d d F x F y F z x y z Vegleich mit : x x y y z z liefet : x F x ; y F y ; z F z F x ; y ; z Kaft = Gadient de. negie Die Kaft zeigt in Richtung de gößten (negativen) Vaiation des otentials, d.h. in Richtung des otential-minimums 6

17 otential und Feldstäke wi betachten z.b. das Gavitationsential M F m sei : M >> m (obemasse) Definition des otentials : V lim m0 m d.h. otential V = entielle negie po obemasse Gavitationsential : V G G M Definition de Feldstäke : Kaft po obemasse F m m V d.h. die Feldstäke ist de Gadient des otentials 7