HTL Kapfenberg Gravitation Seite 1 von 7. Gravitation

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1 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 1 von 7 Pichle oland oland.pichle@htl-kapfenbeg.ac.at Gavitation Matheatische / Fachliche Inhalte in Stichwoten: Gavitationskaft, Gavitationsfeldstäke, Gavitationspotenzial, potenzielle Enegie Potenzfunktionen, uneigentliche Integale Kuzzusaenfassung Diese Atikel bescheibt die veeinfachten Heleitungen von Gavitatiosfeldsäke und Gaviattionspotenzial de Ede ausgehend vo Newtonschen Gavitationsgesetz, sowie die Möglichkeitebn de gafischen Dastellungen de entpechenden Funktionen. Didaktische Übelegungen Eignet sich gut als fächeübegeifendes Pojekt (efeat) fü Angewandte Matheatik und Natuwissenschaften Lehplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahgang): Angewandte Matheatik, Natuwissenschaften, ab 3.Jahgang, alle Abteilungen Mathcad-Vesion: Mathcad 15 Liteatuangaben: Physik in Expeienten und Beispielen, Hans J Paus, HANSE Velag oland Pichle 01

2 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite von 7 Die Gavitationskaft I Jah 1687 veöffentlichte Isaac Newton in seinen "Matheatischen Pinzipien de Natulehe" (Philosophiae Natualis Pincipia Matheatica) das nach ih benannte Gavitationsgesetz, das die Kaft angibt, die zwei Köpe it den Massen 1 und i Abstand aufeinade ausüben. In odene Scheibweise lautet es: F 1 = γ. Die Gavitationskonstante γ konnte Newton selbst nicht angeben (est 1797 gelang dies Heny Cavendish it eine seh epfindlichen Tosionswaage i Labo). Die Popotionen F ~ 1 und F ~ 1/ allein genügen jedoch zu Ekäung de von Keple epiisch gefundenen Gesetzäßigkeiten de Planetenbewegungen. I Folgenden wid kuz skizziet, wie Newton zu Gavitationsgesetz ka. Aus Beobachtungen wa bekannt, dass die Ede Köpe it eine Kaft anzieht, die deen Masse popotional ist: F = g. Daaus schloss Newton, dass ugekeht diese Köpe auch die Ede it de gleichen Kaft anziehen üsste (actio = eactio), so dass an it M als Edasse scheiben kann: F ~ M ode allgeein F ~ 1. Außede uss die Kaft it wachsende Abstand zwischen den beiden Köpen abnehen, etwa nach eine Potenzgesetz : F ~ 1/ n. Daaus egibt sich de Ansatz fü das Gesetz: F ~ 1 / n. Nun wa noch de Exponent n zu bestien. Dazu veglich Newton die Anziehung, die ein Köpe (K) an de Edobefläche efäht, it de, die de Mond (Mo) auf seine Bahn duch die Edanziehung efahen uss. M K M Mo Es gilt dahe: F K = γ = k g und F Mo = γ = Mo a n n K Mo Die Beschleunigung g ist bekannt, nälich g 9.81 s. Die Beschleunigung a die de Mond auf seine Ulaufbahn efäht, kann an aus de bekannten Bahnadius Mo ~ 60 Edadien und de bekannten Ulaufzeit T ~ 8 Tage beechnen (Nebenechnung siehe weite unten). Man ehält dahe geundet: a s. Es gilt dahe: g a 3773 U n zu eitteln setzte Newton vesuchsweise fü K den Edadius ein und ehielt folgende Popotion: g n n Mo 60 = = a n = 60 n = De Vegleich liefet zielich ganau n = (n =.011). K Alle Beechnungen von Planetenbahnen und Bahnen andee Hielsköpe egaben dann, dass de Wet de Hochzahl it höchste Genauigkeit gilt. Nebenechnung: T 8 Tag 6371 Mo 60 π a Mo a T s oland Pichle 01

3 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 3 von 7 Gavitationsfeldstäke de Ede Außehalb de Ede efäht ein Pobeköpe de Masse an jede Punkt des aues eine Kaft die auf den Edittelpunkt hin geichtet ist und nach außen it de invesen Quadat des Abstands vo Edittelpunkt abnit. Wid in jede aupunkt die Kaft duch einen Vektopfeil akiet ehält an das Bild eines Kaftfeldes. Das heißt, das Gavitationsfeld ist ein Kaftfeld (ich vezichte auf die vektoielle Scheibweise, da sie fü das folgende nicht benötigt wid). Dividiet an nun das Kaftgesetz duch die Masse des Pobeköpes, ehält an die Gavitationsfeldstäke E(). γ N kg M kg Feldstäke fü den Beeich > E a () γ M I Gavitationsgesetz kot de Edadius nicht vo, die gesate Edasse könnte auch i Schwepunkt gedacht weden - die Gavitationswikung außehalb de Ede wäe dieselbe. Setzt an fü den Edadius (Edobefläche) ehält an die bekannte Edbeschleunigung g: g E a ( ) g 9.86 s Wie ändet sich die Kaft auf einen Pobeköpe de Masse, wenn an ins Edinnee vodingt (fü < ), z. B.wenn an in einen tiefen senkechten Schacht hinuntesteigt? Dann gelten die obigen Bedingungen ie noch fü den inneen (schaffieten) Teil it de Masse M de Abb. 1.Es gilt nälich: Heleitung: fü eine konstante Dichte gilt: M i V i = M = M 3 V 3 M i einsetzen liefet E () = γ γ M 3 Abb. 1 Feldstäke fü den Beeich < E i () γ M 3 oland Pichle 01

4 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 4 von 7 Die daübe befindliche Kugelschale it de Dicke - übt keine Kaftwikung auf den Pobeköpe aus; an kann diesen Befund etwa so heleiten (Abb. ) A A 1 A 1 1 d 1 F 1 F 1 Man zelegt die Kugelschale in seh dünne Kugelschalen it de Dicke. Betachtet an einen duch den Pobeköpe gelegten Doppelkegel it infinitesial kleinen Öffnungswinkel. Diese Doppelkegel schneidet aus de Kugelschale die Masseneleente 1 und heaus. Aus de Stahlensatz ekennt an, dass sich die Duchesse d 1 und d de Gundkeisflächen wie die Abstände 1 und vehalten - die Gundkeisflächen A 1 und A also wie deen Quadate: A 1 1 = ode A 1 = A 1 A Mit de Dichte ρ ehält an Δ 1 = ρ Δ A 1 : Abb. d Δ 1 A 1 ΔF 1 = γ = γ ρ Δ 1 1 bzw. ΔF γ Δ A = = γ ρ Δ Die beiden Käfte sind offensichtlich gleich und entgegengesetzt. Sie heben dahe einande auf. Man ekennt: I Inneen eines kugelföigen Köpes (it konstante Dichte ρ) nit die Gavitationsfeldstäke popotional zu Abstand vo Mittelpunkt zu. I Äußeen nit die Gavitationsfeldstäke ugekeht popotional zu Quadat de Entfenung vo Mittelpunkt ab. oland Pichle 01

5 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 5 von 7 Die gaphische Dastellung de beiden Feldstäken: E () E i () if dabei wid auf die beiden obigen Definitionen zugegeiffen E a ( ) othewise K o ( x) x 3 Dastellung de "Nodhalbkugel" K u ( x) x 3 Dastellung de "Südhalbkugel" x 30 neue Vaiable, dait die "Ede" gaphisch dagestellt weden kann. Beachten Sie die unteschidliche Skalieung de Vaiablen und x. E () s 0 K o ( x) K u ( x) s x oland Pichle 01

6 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 6 von 7 Gavitationspotenzial de Ede M M γ γ In kleinen aubeeichen nahe de Edöbefläche ist die Gavitationsfeldstäke konstant. Das Feld ist dann in gute Näheung hoogen. Jede Köpe de Masse hat in ih in de Höhe h die potenzielle Enegie E p = gh, wobei de Enegienullpunkt (wilkülich) auf h = 0 gelegt wid. Die Gleichung E p = gh wude duch Beechnung de Abeit gewonnen, die aufzuwenden ist, u den Köpe gegen die konstante Kaft F = g auf die Höhe h zu heben. M Wendet an fü diese Kaft nun F = γ an und beechnet die Abeit, die aufzuwenden ist, u den Köpe gegenn diese Kaft an einen bleibiegen Ot zu tanspotieen, so ehält an folgende Abeit (wobei als Ausgangspunkt des Tanspots üblichewiese nicht die Edobefläche sonden = gewählt wid) W = F dz --> W = li γ M z a z d annehen 0 a γ M W = Die Abeit W = -γm/ ist aufzuwenden, das heißt an gewinnt die Abeit +γm/. Man ehält die potenzielle Enegie eines Köpes de Masse i Schweefeld de Ede fü > : E pot () γ M = Die Fotsetzung ins Edinnee egibt sich, wenn an die Kaft F i = γ M in das Abeitsintegal einsetzt und beücksichtigt, dass an den Wet an de Edobefläche kennt. Heleitung: Die potenzielle Enegie i Edinneen ehält an, inde an die Kaft F i i Inneen in das Abeitsintegal einsetzt und beücksichtigt, dass an den Wet an de Edobefläche kennt 3 E poti () = E pot ( ) F i ( z) dz E pot ( ) γ M z 3 z d γ M esetzen E pot ( ) = eweiten γ M 3 3 γ M Potenzielle Enegie eines Köpes de Masse i Schweefeld de Ede fü < : M E poti () = γ 3 oland Pichle 01

7 HTL Kapfenbeg Gavitation Seite 7 von 7 Man kann nun die beiden Gleichungen fü die potenzielle Enegie des pobeköpes de Masse von den speziellen Eigenschaften des Pobeköpes befeien, wenn an duch die Masse dividiet. Auf diese Weise kot an zu Gavitationspotenzial Φ de Ede Potenzial fü den Beeich > Φ a () γ M Potenzial fü den Beeich < M Φ i () γ 3 Gaphische Dastellung de beiden Potenziale Φ() Φ i () if Φ a ( ) othewise K o ( x) K u ( x) x x Φ() J kg K o ( x) K u ( x) x oland Pichle 01