Von Kepler III zu Kepler III

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1 Von Keple III zu Keple III Joachi Hoffülle Luitpold-Gynasiu München Seeaust München

2 Voaussetzungen: F a t Geschwindigkeit als Göße it Betag und Richtung Vetautheit it de Beechnung on in t bei eindiensionalen Bewegungen (Beispiel eine Schüleabeit: Claie.xls; es sollte de Fall eine Blei- it de Fall eine Styopokugel eglichen weden; jede Schüle usste in oodle die eigene Lösung hochladen.) Eigene Efahung, dass eine Bescheibung genaue wid, wenn an t kleine wählt (z.b. Haonische Schwingung it t 0, s bzw. 0,00 s) (Beispiel eine Schüleabeit: SchwingungenWagenDoinik_0.s_0c.xls und SchwingungenWagenDoinik_0.00s_0c.xls es sollte als Hausaufgabe die i Unteicht beobachtete Schwingung eines zwischen hoizontalen Feden eingespannten Wagens it unteschiedliche Zeit-Schittweite untesucht weden. Die Fedehäte de Anodnung hatten wi expeientell eittelt, die an de nueischen Lösung abgelesene Schwingungsdaue stit gut it de geessenen übeein.) Keplesche Gesetze (0.) Pfeiladdition (bei Käften, Jgst. 7) Die i Unteicht ewendeten dynaischen Abeitsblätte (*.ggb) wuden it de fei ehältlichen Softwae GeoGeba estellt und den Schüleinnen und Schülen auch in unsee oodle-ugebung zu Download angeboten. Bei Nachollziehen des hie angebotenen Weges sollte an unbedingt die entspechenden Dateien öffnen und dait spielen.

3 Keple III: Fü alle Planeten de Sonne hat de Quotient ( Ulaufdaue ) adius den gleichen Wet. ( ) 3 Wau? Hinweis: Das ist das ugekehte Poble wie bei de nueischen Lösung de Bewegungsgleichung: Dot wa das Kaftgesetz bekannt, wi beechneten daaus den Velauf de Bewegung und eglichen die Egebnisse it de Realität. (Beispiele Fall it Luftwidestand, Fallschispinge, Haonische Schwingung ) Hie haben wi die Bewegung und eschließen daaus das Kaftgesetz.

4 Keisbewegung Modell: Eine Peson schwingt eine Kugel an eine Seil i Keis. Illustation: Keisbewegung_eineposition.ggb Nötige Begiffe: Ulaufdaue T Geschwindigkeit hat Betag und Richtung: Betag: Tachoanzeige, geschwindigkeit Ufang Ulaufdaue π T Richtung: ändet sich laufend Winkelgeschwindigkeit ω o Fahstahl übestichene Winkel (Bogenaß) ω benötigte Zeit ω π T Offenba ist ω Übungen: Winkelgeschwindigkeit des goßen Zeiges π/(3600s); geschwindigkeit de Zeigespitze bei Tuuh, : 3,5/s

5 Eabeiten: Tägheitssatz: Bewegung, wenn Seil eißen wüde? (Beispiel: Funken bei Schleifstein / Flex) also: Zu jede Zeitpunkt steht auf de Seil senkecht. Ein Seil zieht ie nu in seine Richtung. Hie: Zu Mittelpunkt. Die Kugel a Seil fliegt nicht geadeaus (tangential) weite, sonden u die Kue. Die Usache fü diese dauende Bewegungsändeung ist die Kaft des Seils, die ie nach innen zieht. Diese Kaft zu Zentu heißt Zentipetalkaft. Die Efahung zeigt: Schleudet an die Kugel schnelle, so uss an stäke nach innen ziehen. (Wenn das Seil diese Kaft nicht eh übetagen kann, eißt es, es wikt keine Kaft eh, die Kugel fliegt tangential weite.)

6 Wie goß uss die Zentipetalkaft sein? FZ az t Wi nehen also einen Zeitschitt t und schauen, u wie iel sich die Geschwindigkeit geändet hat. Illustation: Keisbewegung_zwei positionen.ggb Zu Einneung: t + t t + ( ) ( ) Fallbewegung: Fedewagen echts on Gleichgewichtslage: (t) (t+ t) (t+ t) (t) Veallgeeineung: t + t t + ( ) ( ) ( t) ( t + t)

7 Man zeichnet also die Pfeile fü ( t) und ( t + t) an einen geeinsaen Punkt und ebindet die Spitzen it. Illustation: 3 Keisbewegung.ggb Hie Abeitsblatt beschiften (Folie). eintagen. Illustation: 4 Keisbewegung_delta.ggb Duch Vaiation de Dehweite Beobachtungen heausabeiten: zeigt in Seilichtung, wie ewatet (Beschleunigung in Richtung de Kaft!). De Winkel zwischen ( t) und ( t + t) ist gleich de Mittelpunktswinkel! Wie goß ist de Betag on? Illustation: 5 Keisbewegung_Deiecke.ggb Entscheidende Beobachtung: Geschwindigkeitsdeieck und Radiendeieck sind beide gleichschenklig it gleiche Winkel an de Spitze: Sie sind ähnlich. Deshalb sind entspechende Seitenehältnisse gleich:

8 Sehne Die Kugel bewegte sich zwa nicht auf de Sehne, sonden auf de Bogen x. Wie ie wollen wi jedoch die Bewegung seh fein in kleine Zeitintealle zelegen. Dann ist auch de Mittelpunktswinkel seh klein. Was das bedeutet, sieht an it unsee dynaischen Abeitsblatt: Illustation: 6 Keisbewegung_b_s_näheung.ggb

9 Man sieht: Die Sehnenlänge untescheidet sich ie wenige on de Bogenlänge. Also: t t x t x x a Z

10 Diese Zentipetalbeschleunigung efäht jede Köpe, de sich it geschwindigkeit auf eine Keis it Radius bewegt. Hat e die Masse, so bedaf es dazu eine Kaft F Z a Z. Expeientelle Übepüfung it de Zentalkaftgeät bestätigt!

11 Anwendung: Welche Zentipetalbeschleunigung efäht de Mond? Duch welche Kaft wid sie bewikt? adius : De Mond ist ca. 60 Edadien o Edittelpunkt entfent. ( 60,3*6370 k 3,84*0 8 ) geschwindigkeit: T 7,3 d 7,3*4*3600s,36*0 6 s,0*0 3 /s a Z ( 3 ),0 0 s 3, ,84 0 s Was bedeutet das? Vegleich it de Fallbeschleunigung auf de Ede: g 9, s a Z

12 Newtons Ekenntnis: Die Beschleunigung des fallenden Apfels und die Zentipetalbeschleunigung des Mondes haben die gleiche Usache: Die Gaitationseinwikung de Ede. Diese ist in de 60-fachen Entfenung nu eh so goß. One had to be a Newton to notice that the oon is falling, when eeyone sees that it doesn't fall. Paul Valéy

13 Wechselwikungsgesetz: Gaitationskaft uss zu beiden Massen popotional sein. Ansatz also insgesat: F G G (Gaitationsgesetz) Dieses Gesetz nehen wi nun auch fü die Käfte zwischen de Sonne und den Planeten an: F G G Sonne Planet Dait können wi auch die Zentipetalbeschleunigung ausechnen, die ein Planet auf seine efäht: a Z F G Planet G Sonne Diese gehöt abe, wie wi jetzt wissen, bei gegebene zu eine ganz bestiten geschwindigkeit. Zusaenhang:

14 a Z Mit ω. π T Planet ehält an a Z 4 π T Planet Gleichsetzen egibt schließlich: G Sonne 4π T Planet T Planet 3 G 4π Sonne Dait ist das ditte Keplesche Gesetz eklät.

15 Zusaenfassung: ) Beobachtung: Keple III (fü Keisbahnen) ) Untesuchung de gleichföigen Keisbewegung it gegebene geschwindigkeit > a z, F z 3) Expeientelle Übepüfung 4) Anwendung auf die Mondbahn > Gaitationsgesetz 5) Gaitationsgesetz > Ekläung on Keple III fü Keisbahnen