Übungen zur Mechanik Lösungen Serie 7

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1 Übungen zu Mechanik Lösungen Seie 7. Edumundung im Space Shuttle (a) De Obite (Masse m) wid duch die Gavitation zu Ede auf de Umlaufbahn gehalten. F G ist die einzig wikende Kaft und muss somit gleich de Zentipetalkaft sein:. Daaus schliesst man unte Ausnutzung de Fomel fü die Zentipetalkaft, dem Gavitationsgesetz und de Gleichung fü die Bahngeschwindigkeit bei eine gfk auf den Zusammenhang zwischen Bahnadius und Umlaufszeit. De Bahnadius (und um den Edmittelpunkt) ist die Summe aus Edadius und Flughöhe, also R E +h 670km+450km 680km: m v G ME m v Fomeln einsetzen m v π : ( ) (...)... Wete einsetzen (680000m) 5606s 9min N m kg 4 kg Die Angabe aus dem Film ist also duchaus plausibel. Zwei Anmekungen seien diese Rechnung nachgestellt: In de Rechnung küzt sich die Masse des keisenden Köpes heaus. Das ist imme so bei einem Köpe, de gavitativ um einen viel massigeen Zentalköpe keist. Und dieses Wegküzen de Masse ist de Gund fü die Schweelosigkeit de Astonauten im Obite: Astonauten und Obite keisen auf die genau gleiche Weise (gleiche Höhe, gleiche Geschwindigkeit, gleiche Umlaufszeit) um die Ede sozusagen: Paallelflug. Relativ zueinande heschen dabei keine Käfte, die fü diese Keisbahnen notwendig wäen. D.h., die Astonauten weden im Obite gegen keine Wände gedückt. Es teten aufgund de Keisbewegung keine Nomalkäfte auf und efahen somit kein Schweegefühl. Offenba gibt es bei de gavitativen Keisbewegung eines leichteen Köpes um einen wesentlich schweeen Zentalköpe einen diekten Zusammenhang zwischen Bahnadius und Umlaufszeit: Zu jede Umlaufszeit ein bestimmten Bahnadius! (b) Die Beechnung de Bahngeschwindigkeit fällt nach de Beechnung von in Aufgabe (a) leicht: v π π m 7644 m 5606s s 7.6 km s (c) Die Bahngeschwindigkeit ist betächtlich: 7.6 Kilomete po Sekunde. Um solche Geschwindigkeiten zu eeichen ist eine Menge Enegie nötig. Jedes bisschen, dass man spaen kann, ist wetvoll. Nun deht sich die Ede in Richtung Osten (wenn wi von oben auf den Nodpol blicken im Gegenuhzeigesinn). Das bedeutet, dass das Space Shuttle ode die Raketen beim Stat beeits eine Anfangsgeschwindigkeit in Richtung Osten aufweisen. Es wäe elativ dumm diese atsache nicht auszunutzen, wenn man in den Weltaum eisen möchte. Indem man nach Osten statet, nutzt man also einfach diesen Statvoteil aus. Damit de Effekt möglichst goss ist, sollte man am Äquato (ode einigemassen nahe davon) staten, denn dot ist die Bahngeschwindigkeit um die Edachse am gössten, nämlich ca. 0.5 km s.

2 . Beechnung de Sonnenmasse (a) Fü die Bahngeschwindigkeit de Ede egibt sich: v π π m s 9806 m s 9.9 km s. (b) Eneut sogt die Gavitation zwischen einem seh massigen Zentalöpe (Sonne) und einem wesentlich leichteen Köpe (Ede) dafü sogt, dass de leichtee Köpe um den Zentalköpe keist. Wi staten also wiede bei de Himmelsgleichung : F G F Z G M S M E M E v Fomeln einsetzen M S v G Wete einsetzen m (9806 m s ) N m kg kg kg (c) Das Massenvehältnis zwischen Sonne und Ede betägt: M S kg M E kg Die Sonnenmasse ist etwa mal so goss wie die Edmasse!. De Mond alles übe unseen abanten (a) Fü das Massenvehältnis egibt sich M Ede kg M Mond kg Die Edmasse ist gut 8-mal so goss wie die Mondmasse. (b) Fü die Bahngeschwindigkeit des Mondes egibt sich: v π π 80000km s.0 km s.0 km s (c) Fü die Gavitation zwischen Mond und Ede folgt mit dam Newton schen Gavitationsgesetz: F G G MEde M Mond N m kg kg kg ( m) N N (d) De Otsfakto auf de Mondobefläche betägt: g Mond G M Mond R Mond N m kg kg (740000m).60 N kg.6 N kg

3 4. De Otsfakto auf de Obefläche des Planeten Mas R Mas 400km g M G M Mas R M N m kg kg (400000m).69 N kg.7 N kg g E g M 9.8 N kg.69 N kg.7 De gavitative Otsfakto auf dem Mas ist um den Fakto.7 kleine als dejenige auf de Ede. 5. Newtons Gedankenexpeiment Fü den Stein gilt beeits auf de Flugbahn diekt übe de Edobefläche die Himmelsgleichung. Alledings kennen wi diekt an de Edobefläche den Otsfakto g, sodass wi die Gewichtskaft diekt via F G m g ansetzen können, was die Angelegenheit wesentlich eleichtet: m v m g m v g... Fomeln einsetzen v g Wete einsetzen 9.8 N kg m m s 7.9 km s Diese Geschwindigkeit, mit de ein Objekt diekt übe de Obefläche eines Himmelköpes diesen umkeisen kann, bezeichnet man in de Astonomie als. kosmische Geschwindigkeit des Himmelköpes. Die. kosmische Geschwindigkeit de Ede betägt also etwa 8 km s. 6. GPS Global Positioning System Ausgangspunkt fü die Beechnung ist die Himmelsgleichung, denn die GPS-Satelliten keisen aufgund de Gavitation mit de Ede um diese. Fü die Umlaufszeit folgen wi daaus: m GPS v v ( ) π G ME m GPS Fomeln einsetzen m GPS v π links quadieen ( ) : ( )... Wete einsetzen (000000m) 8578s 7.98h 7.94h N m kg 4 kg

4 7. Die Vobeeitung de Fomelsammlung Keine bestimmten Lösungen. Ev. empfiehlt sich die Hinzunahme de folgenden Gleichung fü den von eine Nomalkaft heühenden Schweeeinduck g gefühlt in eine bestimmten Situation: F N m g gefühlt 8. Ede vs. Jupite (a) Fü den Fakto zwischen den Planetenmassen egibt sich: Jupite ist also gut 00-mal so massig wie die Ede! M J kg M E kg (b) Fü den gavitativen Otsfakto an de (alledings nicht stabilen) Obefläche von Jupite findet man: g J G M J R J N m kg kg ( m) 6.5 N kg 6. N kg Vegleichen wi dieses Resultat mit dem Otsfakto an de Edobefläche: g J g E 6.5 N kg 9.8 N kg De gavitative Otsfakto an de Jupiteobefläche ist also etwa.7-mal so goss wie bei de Ede. Es stellt sich alledings die Fage, ob man beim Gasplaneten Jupite übehaupt von eine ichtigen Obefläche spechen kann... (c) ypische Anwendung de Himmelsgleichung mit dem Jupite als keisenden und de Sonne als Zentalköpe (vgl. z.b. Aufgabe 6): M J v G MS M J v G M S G M S Fomeln einsetzen M J v π ( ) G M S : ( )... G M S Wete einsetzen G M S (7.4 0 m) N m.99 0 kg 0 kg s 96797h 40.d.049a.0Jahe Anmekung: atsächlich ist die Umlaufszeit ein knappes Jah gösse, weil die Jupitebahn nicht so pefekt keisfömig ist. 4

5 (d) Und gleich nochmals die Himmelsgleichung in de Anwendung. Nun keist Kallisto und Jupite ist de Zentalköpe. Und wi lösen diesmal nach auf: M K v G MJ M K v G M J G M J Fomeln einsetzen M K v π ( ) G M J : ( ) G M J... G MJ Wete einsetzen N m.90 0 kg 7 kg ( s) m 88000km km R-Hinweis: Wuzelechnen kann als Hochechnen umintepetiet weden, wie Sie in de Mathematik bald einmal efahen weden. Zu n-ten Wuzel gehöt de Exponent n. Es gilt also beispielsweise: 5 5 x x Fü die in diese Aufgabe vokommende. Wuzel können Sie im R also einfach hoch eingeben. Abe natülich besitzt de I-0X Po auch eine eigene aste fü beliebige Wuzeln. 9. Meteosat ein geostationäe Satellit (a) Geostationä heisst, Meteosat bewegt sich mit esp. übe einem Ot an de Edobefläche. De Mittelpunkt de Satellitenumlaufbahn muss zwangsläufig de Edmittelpunkt sein, denn die Gavitation zeigt dothin. ( Bei gleichfömigen Keisbewegungen ist die esultieende Kaft stets eine ins Zentum de Bahn zeigende Zentipetalkaft. ) Daaus folgt abe, dass de Ot auf de Edobefläche, übe dem sich ein geostationäe Satellit befinden kann, auf dem Äquato liegen muss, denn dies sind die einzigen Ote auf de Edobefläche, deen Keisbahnen als Zentum ebenfalls den Edmittelpunkt haben. (b) De Satellit keist um die Ede (Zentalköpe). Aus de Himmelsgleichung folgt: m v G ME m Fomeln einsetzen m v Weitee fomale Lösung wie in de Rechnung bei Aufgabe 8.(d). Damit folgt: G ME Wete einsetzen N m kg 4 kg (4 600s) Wi vegleichen das Resultat mit dem Edadius: m 45km 400km 45km R E 670km 6.6 5

6 Damit keist Meteosat tatsächlich echt weit oben. Sein Bahnadius ist knapp gösse als ein ganze Edumfang! Mit jedem beliebigen Ball können Sie sich demzufolge massstäblich leicht veanschaulichen, in welche Höhe sich geostationäe Satelliten etwa befinden: Rollen Sie den Ball einfach einmal ganz ab, dann haben Sie die ungefähe Distanz im ichtigen Gössenvehältnis zum Ball. Hie eine massstäbliche Skizze mit Ede, Mond und de Umlaufbahn von Meteosat: 6

7 0. Biefpost auf Utopia VII (a) Fü den Bahnadius de Entepise-Umlaufbahn ehalten wi: Die Umlaufzeit betägt: R U +h 640km+75km 55km 55000m h5min 45min 8700s Anmekung: Das sind dei signifikante Ziffen, denn die kleinste Einheit bei de uspünglichen Angabe waen Minuten, weshalb man fü die Zahl de signifikanten Ziffen die 45 betachten muss. Mittels Himmelsgleichung können wi aus Bahnadius und Umlaufzeit auf die Masse von Utopia VII schliessen (Entepise mit Masse m keist um Zentalköpe Utopia VII mit Masse M U ): m v G MU m v G M U G M U M U G Fomeln einsetzen m v π G Wete einsetzen (55000m) N m (8700s) kg.0 0 kg.0 0 kg Utopia VII ist demzufolge deutlich leichte als die Ede, abe de Planet ist ja auch ziemlich viel kleine. (b) Auch fü den Stein gilt die Himmelgleichung. Wi lösen sie nach Einsetzen von v π nach de Umlaufszeit auf (vgl. Aufgaben.(a), 6 und 8.(c): m v G M m Fomeln einsetzen etc. usw. R G M Wete einsetzen (640000m) N m.0 0 kg kg 5055s De Stein macht nu eine halbe Umundung und somit betägt seine Reisedaue vom Nod- zum Südpol: (c) Fü das Volumen des Planeten gilt: t 5055s 58s 4.min 4.min V R Damit scheibt man fü die Planetenmasse M U neu: M V R Diesen Ausduck fü M kann man an passende Stelle in die Rechnung unte (b) einsetzen: R G M R R π G R G G R Imme noch entspicht die Reisezeit des Steins nu eine halben Umlaufszeit, womit folgt: t π G 7

8 . Spin 4 ein Rotationswunde in den iefen des Weltaums (a) Wi möchten einen Zusammenhang zwischen Rotationszeit, Planetenadius R und Planetenmasse M aufstellen. Übe Spin 4 wissen wi, dass sich die gefühlten Otsfaktoan an Pol und Äquato um den Fakto 4 untescheiden, dass also gilt: gäquato 4 g Pol De Unteschied zwischen diesen gefühlten Otsfaktoen üht von de Planetenotation he und es gilt gemäss den Ausfühungen zu Aufgabe 4 in Seie 7: gäquato g Pol a Z 4 g Pol g Pol a Z a Z 4 g Pol Mit de letzten Gleichung lässt sich nun zielstebig weiteabeiten, indem wi estens die Gleichung fü den gavitativen Otsfakto an de Planetenobefläche vewenden (g Pol G M R ) und zweitens den Ausduck fü diezentipetalbeschleunigungamäquatoeinsetzen(a Z v R,amÄquato:BahnadiusPlanetenadius): G M 4 R 4 4 g Pol a Z Fomeln einsetzen v R G M R v v bezeichnet hie die Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf dem Äquato, de wegen de Eigenotation des Planeten um dessen Mittelpunkt keist. Dementspechend gilt v π R und es folgt: 4 G M R R M 6π R G (b) Fü das Volumen von Spin 4 egibt sich: Damit ehalten wi fü die Planetendichte: R G R Wete einsetzen 6π (40000m) N m ( s) kg kg kg V R (40000m) m M V kg kg kg m m m Zum Vegleich: Die Dichte de Ede betägt 550 kg m. Spin 4 ist also kla dichte als die Ede, was z.b. auf einen höheen Schwemetallanteil schliessen lässt. (c) Wi setzen die gemachten Rechnungen von hinten he zusammen: M V M {}}{ 6π R G R }{{} V 6π R G R G In diesem Endesultat fü die Dichte des Planeten taucht de Planetenadius R tatsächlich nicht meh auf! D.h., bei vogegebenem Vehältnis zwischen dem Otsfakto am Pol und demjenigen am Äquato hängt die Dichte nu noch von de Eigendehzeit des Planeten ab. In solchen Aufgaben zeigt sich die Stäke des fomalen Rechnens! 8