Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Newtonsche Mechanik, Keplerproblem - Lösungen

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1 Physi Depatment Technische Univesität München Matthias Eibl Blatt Feienus Theoetische Mechani 9 Newtonsche Mechani, Keplepoblem - en Aufgaben fü Montag Heleitungen zu Volesung Zeigen Sie die in de Volesung ausgelassenen Zwischenschitte:. U = du d e Komponentenweise Betachtung von U liefet: U x = du d x = du d x x + y + z = du d Analog fü y und z Komponente egibt sich: U U/ x = U/ y = du d U/ z du x = x + y + z d = du d e x. d du d e = d U t 3. d = e = ṙ e + e = ṙ e + φ e φ, e e φ = du d e = ṙ e e + φ e e φ du d = = du d e = ṙ e + φ e φ = d du d m + m = M R R + µ 3

2 Setze ein: = R m M = R + m M 4. m + m = m R + m M R + m M + m R m M R m M = m R R+ m M R + m M R + m m MM + m R R m M R m M R + m m MM = m + m R m m m + m R + MM = MR R + µ d MR d R = sowie l = d µ = 4 d MR R = M R R = + R R = R= = 5. d µ = µ + = µ = µ U e = µ = } {{ } e = l z = l = xẏ ẋy = φ 5 ẋ = ṙ cos φ φ sin φ ẏ = ṙ sin φ + φ cos φ xẏ ẋy = cos φṙ sin φ + φ cos φ ṙ cos φ φ sin φ sin φ = φ cos φ + φ sin φ = φ = l 6. µ = µṙ + l µ 6 µ = µṙ e + φ e φ = µṙ + φ = µṙ + l µ 7. Bestimmen Sie das Vehältnis von inetische und potentielle Enegie fü ein hamonisches Potential und ein /-Potential hamonisches Potential: U = n = T = U / Potential: U = n = T = U 8. det x,y,z,θ,φ = sin θ 7

3 det x, y, z, θ, ϕ = sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ sin θ = sin θ Kuze Fagen. Ist folgendes Kaftfeld onsevativ? F = x + y, yz, 4xz T Nein, Rotation ungleich Null: F = y, 4z, T. Wie lautet das Potential zu folgenden Kaftfeld? F = y z 3 6xz, xyz 3, 3xyz 6x z T φ = 3x z xy z 3 3. Eine schiefe Ebene liegt austaiet auf eine Waage mit Neigungswinel α. Auf ih befindet sich, igendwie befestigt, eine Masse m. Die Waage zeigt ih Gewicht. Die Befestigung wid nun gelöst, die Masse gleitet eibungsfei die schiefe Ebene hinab. Ändet sich die Anzeige de Waage? Im Gleichgewicht ist die Gewichtsaft de Masse gleich de Gegenaft die die Waage ezeugt. Die Gewichtsaft teilt sich in Nomalaft senecht zu Obefläche de schiefen Ebene und in die Haftaft paallel zu schiefen Ebene auf. Sobald die Masse zu gleiten beginnt, ist die esultieende Kaft nu noch die Nomalaft auf die schiefe Ebene. De Anteil de Nomalaft paallel zu Gegenaft de Waage ist geade um cos α leine. Die Waage zeigt also wenige Gewicht an. De Extemfall wäe de feie Fall. Die Masse hat dann eine Nomalaft auf die Ebene und ezeugt somit eine Gegenaft zu Waage. 4. Von einem Tum wid ein Stein eibungsfei fallen gelassen. De Tum befinde sich auf nödlichen Halbugel. Wo fällt de Stein hin? Wie hängt die Lage und Höhe des Tums vom Aufteffot des Steins zusammen? Qualitative Antwoten De Stein fällt nach Osten. Jehöhe de Tum ist, umso weite fällt de Stein und wid auch weite abgelengt. Je nähe de Tum am Äquato steht umso göße ist die Ablenung. Diese Ablenung wid duch die Coiolisaft beschieben und esultiet aus de Dehimpulsehaltung. De Betag de Coiolisaft hängt von de Ändeung des Dehadiuses um die Edotationsachse ab. Je göße diese Ändeung ist, umso göße ist die Geschwindigeit des Steins, also auch dessen Ablenung. 3

4 5. Ein Edsatellit bewegt sich auf eine Keisbahn mit de Fequenz ω. Bestimmen Sie den Radius de Keisbahn als Funtion von ω mit dem 3. Kepleschen Gesetz: T = 4π GM E + m S a3 4π a 3 GM E Fü welchen Radius egibt sich eine geostationäe Bahn? Gößenodnung ist auseichend, G = m3 6,7 g s, M E = 5,974 4 g T = π 3 = GM E ω ω Geostationä heißt, de Satellit befindet sich imme übe dem gleichen Ot. Fü eine Umdehung muss e also 4 h benötigen: ω = π T, T = 4h = s = 4, 7 m 3 Bewegung im -dim Potential Ein Köpe de Masse m füht eine eindimensionale Bewegung im Potential Ux aus. Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichung mẍ = F xt duch Integation auf die Fom m x t t = x E Ux 8 gebacht weden ann. mẍ = F xt d ẋ F = du mẋ + U = :=E=const mẋ + U = E ẋ = ± mẋẍ = du Tennung de Vaiablen: = m E U = m E U m d ẋ = du wähle + t t = t t = x m x E U Konet sei das hamonische Potential Ux = x gegeben. Bestimmen Sie tx und daaus xt. Hinweis: x = acsin x 4

5 t t = m subst.: z = x = x E U m m E E x = E x x E x = E x E x m x E x dz m z = acsin E x E m t t = acsin E x ϕ xt = sin m t t + ϕ = x acsin E E x :=ϕ Bestimmen Sie mit dem obigen Potential die Umehpunte x, x mit x = x = und beechnen Sie die Peiode m x T = 9 E Ux de Bewegung. Kommt Ihnen das beannt vo? x Umehpunt bedeutet E in = E = U mit Ux = x E egibt sich x = de andeen Seite x = x = m x T = = x E Ux E. Das Integal fü die Peiode lässt sich somit beechnen. m acsin E x = } {{ } = π acsin E x = } {{ } = π m = π und auf fü die Schwingungsdaue im hamonischen Oszilato wissen wi beeits: T = π ω = π m 4 Mond im Feld eines Gasplaneten Ein puntfömige Mond de Masse m bewege sich im Feld eines dünnen Gasplaneten mit seh geinge Dichte ρ, Masse M m und Radius R. Wi nehmen veeinfachend an, die Dichte des Gasplaneten im Innen sei onstant fü < R: wobei Θx die Heavyside-Funtion ist. ρ = ρ ΘR Zeigen Sie ausgehend vom Egebnis de Volesung fü das Gavitationspotential eine beliebigen Massendichteveteilung ρ U = Gm d 3 x ρ x x duch explizites Ausfühen de Winelintegation, dass mit eine ugelsymmetischen Massendichteveteilung ρ = ρ fü das Gavitationspotential gilt: U = 4πGm V dss ρs + dssρs 5

6 ρ s = { ρ fü s R, s = x fü s R Wi bauchen noch einen Ausduc fü den Abstand des Pobeöpes zum Massenelement s. Diesen ehalten wi duch Anwendung des Kosinussatzes: Dies in obige Fomel eingesetzt egibt: π U = Gm dϕ s = s + s cos θ π dθ sin θ Mit de Substituion η = cos θ ehält man fü das Integal übe θ: π dss ρs s + s cos θ [ dθ sin θs + s cos θ / = dηs + sη / = s + ] sη s = = s + s s = s { / fü > s s + s = /s fü < s Dies eingesetzt egibt das Egebnis: U = 4πGm dss ρs + dssρs Beechnen Sie mit de angegebenen Massendichteveteilung das Gavitationspotential fü < R und fü > R und sizzieen Sie das Egebnis. Die Massendichteveteilung lautet ρ = ρ ΘR damit egibt sich fü das Potential: U = 4πGm dss ρ ΘR + dssρ ΘR Falls > R fällt de zweite Summand wegen ΘR = Θ< = weg. Wi betachten das Integal also einmal fü > R und fü < R:. Fall > R: U = 4πGm dss [ R ρ ΘR = 4πGm [ ] R = 4πGm 3 s3 ρ = 4 3 πρ R 3 Gm = Gm M =V ρ =M ] dss ρ ΘR + dss ρ ΘR = R Θ>= = Θ<= 6

7 . Fall < R: Beide Teme müssen beücsichtigt weden: U = 4πGm = 4πGm dss ρ ΘR + dss ρ + Θ>= R dssρ ΘR dssρ ΘR + dssρ ΘR R Θ>= = Θ<= [ = 4πGm ρ 3 s3 + R ] [ s = 4πGm ρ ] [ R = 4πGm ρ 3 + R ] [ = 4πGm ρ 6 + R] = 4 3 πgm ρ R 3[ R ] [ = GMm R R 3 3 ] R Wi önnen noch uz die Stetigeit des Potenials am Übegang = R übepüfen: fü > R: UR = G mm R [ ] R fü < R: UR = GMm R 3 3 R = G mm R Das Potential ist also stetig. Fü den Beeich < R egibt sich eine Abhängigeit und fü den Beeich < R eine Abhängigeit. Damit önnen wi das Potential sizzieen: ] U = { GMm [ G mm R 3 3 R fü < R fü > R Bestimmen Sie die auf den Mond de Masse m wiende Gavitationsaft fü < R und > R und sizzieen Sie das Egebnis. Die Kaft egibt sich aus dem Gadienten des Potentials: F = U = du d e Wi untescheiden wiede zwischen beiden Beeichen: fü < R : fü > R : F = Gm M R 3 e F = Gm M e Und stellen fest, dass auch die Kaft stetig ist an de Stelle = R. Somit önnen wi den Betag de Kaft sizzieen: 7

8 Die Kaft nimmt mit dem Abstand zu, solange sich de Mond im Inneen des Gasplaneten befindet, da die auf ihn wiende Masse zunimmt. Sobald e außehalb de Gaswole ist, spüt e den Gasplaneten wie eine Puntmasse und die Kaft fällt wie gewohnt mit ab. Die Kaft wit zum Zentum, also in negative Richtung. De Mond befinde sich nun zu eine Zeit t = am Ot = < R, ϕ =, θ = π in Ruhe. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf unte de Annahme, dass wegen de geingen Dichte Reibungseffete venachlässigba sind. Lösen Sie die Bewegungsgleichungen. Was fü eine Bewegung füht de Mond aus? De Mond ist in Ruhe, d.h. e hat einen Dehimpuls. Die Bewegung efolgt somit ausschließlich in adiale Richtung. Die Bewegung findet außedem nu im Inneen des Gasplaneten statt, da de Anfangspunt im Inneen liegt. Ausgehend von de Bewgungsgleichung egibt sich damit: m = F = Gm M }{{ R 3 = a } :=a = e, = ṙ e + e = ṙ e + ϕ e ϕ, = e + ṙ ϕ e ϕ + ṙ ϕ e ϕ + ϕ e ϕ = ϕ e + ṙ ϕ + ϕ e ϕ da Dehimpuls Null folgt: ϕ, ϕ = m + a = + a m = + ω = t = A cosωt + ϕ ṙt = A sinωt + ϕ An Anfangsbedingungen anpassen =, ṙ = : ṙ = A sin + ϕ ϕ = = A cos = A A = t = cosωt mit ω = a m Dies entspicht eine hamonischen Schwingung. Die Kaft ist linea zu Auslenung, das Potential hamonisch. Die Koplungsonstante ist dabei mit a = Gm M R gegeben. 3 8