Allgemeine Mechanik Musterlösung 3.

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1 Allgemeine Mechanik Mustelösung 3. HS 014 Pof. Thomas Gehmann Übung 1. Umlaufbahnen fü Zweiköpepobleme Die Bewegungsgleichung von zwei Köpen in einem zentalwikenem Kaftfel, U() = α/, lautet wie folgt: ( ), (1) µ E U() L µ wobei µ ie euziete Masse, U() as zentale Kaftpotential, e absolute Abstan zwischen en Köpen un L as Dehimpuls e beien Köpe ist. Fühe fü ie beien Fälle (a) E = 0 (b) E > 0 ie Integation ohne Einfüung e Winkelvaiablen φ mit Hilfe geeignete Vaiablensubstitutionen = (η) uch, um zunächst t(η) zu ehalten. Bestimme mit Hilfe e allgemeinen Lösungsfom e Umlaufbahnen x(η) un y(η). (a) Da E = 0 un U = α/, gilt Duch ie Vaiablensubstitutionen, (L.1) α µ L µ = L µα (1 + η ) = p (1 + η ), (L.) wobei p = L µα ehält man µp 3 η η (1 + ). (L.3) α 3 Die allgemeine Fom e Umlaufbahnen ist gegeben uch p = 1 + e cos φ, e = 1 + EL µα, (L.4) wobei e ie Exzentizität e Kuve ist. Fü E = 0 ehält man e = 1. Weite gilt fü katesische Kooinaten x = cos φ, y = sin φ, wenn ie x-achse paallel zu Hauptachse e Paabel ist. Daaufhin ehält man x = p = p p (1 + η ) = p (1 η ). (L.5) Fü y hat man ann uch y = x, y = pη. (L.6) Je nach Vaiablensubstitution sin auch anee Lösungen möglich. 1

2 (b) De zweite Fall wi analog zum esten gelöst. µ = E + α E L µ E µa α wobei a = α/e ist. Duch ie Vaiablensubstitution, = a(e cosh η 1), ( + a) a e, (L.7) (L.8) ehält man ann µa 3 α µa 3 (e cosh η 1)η = (e sinh η η). α (L.9) Nun gilt Dann ehält man a = p e 1 = α E. (L.10) ex = p = a(e 1) a(e cosh η 1) = ae(e cosh η). (L.11) Woaufhin x = a(e cosh η), y = a e 1 sinh η. (L.1) Übung. Reise zum Mas Die Sone Maine4 sollte in eine elliptischen Umlaufbahn, mit Peihel auf e Ee (E) un Aphel auf em Mas (M), von e Ee zum Mas fliegen (siehe Gaphik). Nehme an, ass sowohl ie Ee als auch e Mas in eine keisfömigen Umlaufbahn gegen en Uhzeigesinn um ie Sonne (S) keisen. Die entspechene Raii fü ie Umlaufbahnen e Ee un es Mas betagen abei jeweils = km un = km. Gavitative Effekte e Planeten auf ie Sone sin venachlässigba. Maine4 M θ S E (a) Bestimme Maine4 s potentielle un kinetische Enegie im Gavitationsfel e Sonne, wobei m ie Masse e Sone un M = kg ie Masse e Sonne ist.

3 (b) h = θ ist eine Konstante, wobei e Raius un θ e polae Winkel e Sone in ihe Sonnenumlaufbahn sin (siehe Gaphik). Bestimme ie Enegie e Sone in Abhängigkeit von h am Peihel ( minimal) un am Aphel ( maximal). Benutze as Pinzip e Enegieehaltung um h zu bestimmen. (c) Bestimme ie absolute Geschwinigkeit, v, e Sone am Peihel. () Angenommen ie Sone wi tangential un augenblicklich zu Sonnenumlaufbahn e Ee von e Ee abgeschossen. Bestimme ie absolute Anfangsgeschwinigkeit e Sone elativ zu Eobefläche, um ie beschiebene Umlaufbahn zu eeichen? (e) Mit welche absoluten Geschwinigkeit elativ zu Obefläche es Mas wi ie Sone ih Ziel eeichen? (f) Was ist ie Peioe von Maine4 s Umlaufbahn? (g) Wie lange auet ie Reise e Sone? (a) Maine4 wi nu uch ie Gavitationskaft e Sonne beeinflusst, eshalb haben wi E = mṙ + m θ GmM. (L.13) (b) Am Peihel un Aphel gelten jeweils ṙ = 0, = Enegieehaltung egibt sich ann un ṙ = 0, =. Aus e E = GmM + mh R M = GmM + mh RE. (L.14) Daaus folgt fü h, h = GMRM +. (L.15) (c) Da h = θ un ṙ = 0 am Peihel, gilt Daaus folgt h = ( θ) = v. GM v = ( + ). (L.16) (L.17) Un fü G = m 3 kg 1 s ehält man v = 3.885kms 1. () Da Maine4 tangential zu Sonnenumlaufbahn e Ee abgeschossen wi, wi folgene absolute Geschwinigkeit elativ zu Ee v benötigt: GM GM v = v v E = ( + ) 3kms 1. (L.18) (e) Analog wi ie absolute Ankunftsgeschwinigkeit beechnet: v = v GM GM v M = ( + ).7kms 1. (L.19) 3

4 (f) Aus em itten Kepleschen Gesetz folgt (g) Die Reisezeit e Sone betägt ann T/ = 0.7 Jahe. T = TE ( + ) 3R 3 E T 1.43 Jahe. (L.0) Übung 3. Supenova in einem Zweistensystem Zwei Stene mit jeweilige Masse M un m, sepaiet uch eine Distanz, otieen in keisfömigen Umlaufbahnen um ihen gemeinsamen Schwepunkt (MS), wobei beie Stene als punktfömige Objekte angenommen ween können. In eine Supenovaexplosion veliet e Sten e Masse M eine Masse M. Die Explosion geschieht plötzlich, ist sphäisch-symmetisch un übt abei wee Reaktionskäfte auf as Übebleibsel e Supenova noch auf en aneen Sten aus. Zeige, ass as Sten-Supenovaübebleibsel- System im Falle von, M < M + m, () nach e Explosion gebunen ist. Die untee Gaphik zeigt as System unmittelba nach e Explosion, wobei sich nun e MS mit eine Geschwinigkeit v fotbewegt. 1 1 ω M M m ω ω MS v Hinweis: Emittel ie potentielle un kinetische Enegie e zwei Köpe in em Masseschwepunktssystem nach e Explosion, benutzte T + V < 0 als Beingung fü ein gebunenes System. Es gilt, 1 + =, 1 = m M + m, = M M + m. (L.1) Vo e Explosion bewegen sich ie Stene in keisfömigen Umlaufbahnen mit Winkelgeschwinigkeit ω, ahe haben wi oe M 1 ω = GMm ω = m ω = GMm, (L.) G(M + m) 3. (L.3) 4

5 Betachtung e potentiellen Enegie V sowie kinetischen Enegie T egibt ann im neuen Massenschwepunktsystem: V = T = (M M)( 1ω) ) G(M M)m) + (m)( ω) ) T 0, (L.4) (L.5) mit T 0 gleich e kinetischen Enegie auf Gun e Bewegung es MS nach e Explosion. Die Geschwinigkeit es MS nach e Explosion wi bestimmt uch (M M + m)v = m ω (M M) 1 ω = 1 ω M. (L.6) Duch ie Konfiguation e Stene vo e Explosion weiss man, ass m ω M 1 ω = 0. (L.7) Deshalb hat man G(M M) T + V = m + 1 (M M)( 1ω) + 1 m( ω) 1 (M M + m) ( M) (M M + m) ( 1ω) (L.8) = GMm + 1 M( 1ω) + 1 m( ω) + Gm M 1 M( 1ω) ( M) ( 1 ω) (M M + m) = GMm + Gm M 1 M( 1ω) ( M) ( 1 ω) (M M + m) (L.9) (L.30) = 1 M 1ω + 1 ω M 1 M( 1ω) ( M) ( 1 ω) (M M + m) (L.31) = 1 1ω [ ( M) 1 ] M M + 1 M + (M M + m) (L.3) = 1 ω ( M M m)( M M). (M M + m) (L.33) (L.34) Die Beingung, ass as neue System gebunen ist, lautet T + V < 0, i.e. M < M + m, M < M, (L.35) oe Da M < M benötigt man M > M + m, M > M. (L.36) M < M + m. (L.37) 5