Inhalt: Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016

Transkript

1 Inhalt: Einleitung Keplesche Gesetze Das Gavitationsgesetz Täge Masse und schwee Masse Potentielle Enegie de Gavitation Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 1

2 Liteatu M. Alonso, E. J. Finn: Physik; ditte Auflage; Oldenboug Velag, 000. Paul A. Tiple: Physik fü Wissenschaftle und Ingenieue; sechste Auflage; Spinge Spektum Velag, 009. Heing, Matin, Stohe: Physik fü Ingenieue; Spinge Velag, 01. Wolfgang Demtöde: Expeimentalphysik 1, Mechanik und Wäme; sechste Auflage, Spinge Velag, 013. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016

3 Einleitung Die Planetenbewegung hat Menschen schon lange beschäftigt. Die Giechen meinten die Ede sei de geometische Mittelpunkt des Univesums und dass sich die Himmelsköpe um die Ede dehten. De mittlee Abstand de Himmelsköpe zu Ede wude emittelt in folgende Reihenfolge: Mond, Meku, Venus, Sonne, Mas, Jupite, Satun. Hypothese: Die Planeten bescheiben konzentische Keise und die Ede ist im Mittelpunkt. Das stimmte abe nicht mit de Beobachtung übeein. Die Planetenbewegung wude imme komplexe. Die Giechen beschieben die Planetenbewegung elativ zu einem mit de Ede vebundenen Bezugsystem. Est im 16 Jahhundet wude diese Bescheibung evidiet. Nikolaus Kopenikus ( ): Planetenbewegung einschließlich de Ede elativ zu Sonne mit de Sonne als Mittelpunkt de Bewegung. Nach Kopenikus wa die Plantenanodnung folgende: Meku, Venus, Ede, Mas, Jupite und Satun. Dabei dehte sich de Mond um die Ede. E schlug als Bezugssystem eins vo was mit de Sonne vebunden wa. Die Sonne als gößte Köpe unsees Planetensystems fällt mit dem Schwepunkt des Systems zusammen. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 3

4 Keplesche Gesetze Deswegen wa die Wahl des Bezugspunktes echtfetigba. Dann hat man ein Inetialsystem voliegen. Tycho de Bahes ( ) hatte schon astonomische Messungen zu Analyse de Planetenbewegung duchgefüht, die Johannes Keple ( ) auch weite nutzte. Keplesche Gesetze: I: Die Planeten bescheiben elliptische Bahnen mit de Sonne im Bennpunkt. II: III: De Otsvekto jedes Planeten elativ zu Sonne übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen de Ellipse. Dieses Gesetz ist auch als Flächengesetz bekannt. Die Quadate de Umdehungspeioden sind de ditten Potenz des mittleen Abstands de Planeten von de Sonne popotional. (T k 3 mit) Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 4

5 Das Gavitationsgesetz Wechselwikung zwischen zwei Köpe: Gavitationsgesetz. Von Newton est zwanzig Jahe nach dem e es fomuliet hatte in seine Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica veöffentlicht. F 1 F m m' Das Flächengesetz ode II. Keplesche Gesetz besagt zunächst, dass die Kaft die mit de Gavitationswechselwikung veknüpft ist, eine Zentalkaft ist. Die Kaft wikt längs eine Vebindungslinie zwischen den wechselwikenden Köpen (z.b. Ede - Sonne). Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 5

6 Das Gavitationsgesetz: Beweis Flächengesetz Das Teilchen bewegt sich längs C. Zu Zeit t befindet es sich in A. Zu Zeit t + dt in B. Zu Zeit dt bescheibt de Radiusvekto OA die Fläche OAB mit d AB. OAB wid duch den Vekto da dagestellt. da 1 d Die Fläche die po Zeiteinheit von übestichen wid ist dann: da dt 1 d dt 1 v v :Geschwindigkeit Teilchen L O B A d C Wenn das Flächengesetz angewandt wid, dann übesteicht in gleiche Zeiten gleiche Flächen: d A dt const v const Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 6

7 Das Gavitationsgesetz: Beweis Flächengesetz De Dehimpuls L ist konstant: L p m( v ) const Das Flächengesetz besagt, dass de Dehimpuls des Teilchens konstant ist, was wiedeum bedeutet, dass die Kaft eine Zentalkaft ist (siehe Kapitel ). Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 7

8 Gavitationswechselwikung: Kaft in Abhängigkeit vom Ot Expeimentell bestimmt: Die Abhängigkeit von F zu wude duch Messungen bestimmt. Dabei waen die Vesuche nicht einfach, da die Gavitationswechselwikung eine schwache Wechselwikung ist und die Gavitationskaft seh klein ist, wenn die beteiligten Massen nicht goß sind ode wenn de Abstand seh klein ist. Die Vesuche egaben, dass die Gavitationskaft popotional zu 1/ ist. F mm' γ γ wude expeimentell bestimmt. γ 6, Nm kg - Die Gavitationswechselwikung zwischen zwei Köpen kann duch eine zentale Anziehungskaft beschieben weden, die den Massen diekt popotional und dem Quadat de Entfenung zwischen ihnen umgekeht popotional ist. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 8

9 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes (I) F mm' γ (I) Quelle:. Alonso, Finn Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 9

10 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes Ableitung des Kaftgesetzes nach Newton: Nach Keple ist die Bahn eines Planeten eine Ellipse. Ein Spezialfall eine Ellipse ist de Keis bei dem beide Bennpunkte im Mittelpunkt zusammenfallen. Die Kaft F ist eine Zentalkaft (zweites Keplesche Gesetz). v F v m m' F m mit v ω ω π T folgt: F mω 4π m T Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 10

11 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes F 4π m T 4π m 3 k ~ 1 Die Gavitationskaft muss um die Kepleschen Gesetze zu gehochen, zental und umgekeht popotional dem Quadat des Abstandes sein. Newton wollte die Richtigkeit de Gleichung übepüfen und dies tat e mit Hilfe de Daten de Zentipetalbeschleunigung des Mondes. E veglich die Zentipetalbeschleunigung des Mondes mit de Gavitationsbeschleunigung g 9,81 ms -. v a T 4π Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 11

12 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes Mit 3, m (Bahnadius) und T, s ist dann a, m/s g a 360 (60 ) Mit dem Radius R de Ede: R 6, m R 384 6,37 (60 ) g a R Innehalb de Genauigkeit de Beechnung sind die Beschleunigungen umgekeht popotional den Abständen de Punkte vom Edmittelpunkt. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 1

13 Gavitationswechselwikung: Beispiele Beziehung zwischen Gavitationsbeschleunigung und Masse de Ede Beechnung de Masse eines Planeten mit einem Satelliten. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 13

14 Täge Masse und schwee Masse Wenn wi annehmen, dass die Gavitation eine allgemeine Eigenschaft alle Aten de Mateie ist, dann ist die schwee Masse popotional zu tägen Masse: K schwee Masse täge Masse m m g M M F F' m m' Alle Köpe nahe de Edobefläche fallen mit de gleichen Beschleunigung. Dies ist ein Hinweis dafü, dass schwee Masse und täge Masse gleich sind. Es gilt: γ mm mg R g γ M R Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 14

15 Täge Masse und schwee Masse g γ M R M F m Die Beschleunigung g ist unabhängig von de Masse des fallenden Köpes, somit ist dann: M F' m' g m m g γ M R Wenn das Vehältnis beide Massen (täge und schwee) nicht gleich wäe, dann wäe die Beschleunigung g fü jeden Köpe veschieden. Eine Möglichkeit Massen zu messen ohne sie miteinande zu vegleichen, ist eine ditte Masse zu nehmen. Diese dient als Refeenz. Masse m sei von de Refeenzmasse M um entfent. Auch Masse m' sei um den gleichen Abstand von M entfent. Dann gilt: Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 15

16 Täge Masse und schwee Masse F Mm γ F' Mm' γ Das Vehältnis zwischen den beiden Käften F unf F' ist: F F' m m' Wenn wi Käfte vegleichen können ohne sie einzeln zu messen, dann elaubt uns die Gleichung oben, Massen zu messen ode auch sie miteinande zu vegleichen. Pinzip de Waage funktioniet wie oben beschieben, dabei ist M die Masse de Ede. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn die Massen gleich goß sind. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 16

17 Potentielle Enegie de Gavitation Die Gavitationswechselwikung hängt nu von de Entfenung ab und ist zental geichtet. Sie ist also eine konsevative Kaft. Wi vebinden deshalb mit ih eine potentielle Enegie de Gavitation. F mm' γ u m' F A v m u Die potentielle Enegie E p de Gavitation, die mit den Massen m und m' vebunden ist lautet somit: ( E P mm' ) γ Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 17

18 Potentielle Enegie de Gavitation Bingt man einen uhenden Köpe vom Punkt P 0 zum Punkt P, dann hängt die aufgewendete ode gewonnene Abeit nu vom Ot P ab. Dabei ist die wikende Kaft F eine konsevative, otsabhängige Kaft. Es gilt: v W F d m m' 1 γ d γ m m' 1 m' F A m u W γ m m' 1 Definition E P ( ) E P ( ) Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 18

19 Potentielle Enegie de Gavitation Nullpunkt de potentiellen Enegie: De Nullpunkt de potentiellen Enegie, ist duch die obee Gleichung (Folie vohe) nicht festgelegt, da nu die Diffeenz von E P duch die Gleichung definiet wid. Die untee Abbildung zeigt zwei Möglichkeiten zu Wahl des Nullpunktes de potentiellen Enegie a) E P (z0) ode b) E P ( )0. a) b) z E pot h m E P mgh 0 R 0 h E P1 0 m mm' E p ( R ) γ R mgr E p ( z 0 ) 0 E p ( ) 0 Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 19

20 Potentielle Enegie de Gavitation Nullpunkt de potentiellen Enegie: Man wählt fü den Nullpunkt des Koodinatensystems im Fall von Expeimenten bei denen die Schwekaft beteiligt ist mit F{0,0,mg} E P 0 fü z 0. Im Fall von Poblemen bei denen de Köpe ins Unendliche gelangt, wid E P ( ) 0 gesetzt. Daaus folgt: W P Fd Definition E P ( P ) E P ( ) Die potentielle Enegie im Punkt P ist die Abeit, die aufzuwenden ist, wenn de Massenpunkt von P ins Unendliche gebacht wid. b) 0 E pot R m E p ( mm' E p ( R ) γ R ) 0 mgr Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 0

21 Potentielle Enegie de Gavitation E p mm' γ Gesamtenegie des Systems aus zwei Teilchen, die de Gavitationswechselwikung unteliegen ist: E k + E p 1 mv + 1 m' v' mm' γ Fü ein System mit meheen Teilchen gilt: E i 1 m v i i + alle Paae mim γ ij j ' Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 1

22 Potentielle Enegie de Gavitation: Beweis Die Gavitationskaft ist: F s de p Richtungsableitung von E p F gadep ds Da die Kaft zental ist, hängt sie nu von ab: F dep mm' mit F γ u d Integation de potentiellen Enegie in goße Entfenung ( ): E 0 p de p d γ mm' γ mm' 1 de d p mm' γ potentielle Enegie de Gavitation des Systems bestehend aus m und m': γ mm' E p Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016

23 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Fü die gesamte Enegie des Systems gilt: E k + E p 1 mv mm' γ Wenn sich m im Keis um m' deht gilt: F N mv mm' γ m' m Somit ist die kinetische Enegie E k : E k 1 mv 1 mm' γ Die gesamte Enegie des Systems: γ mm' E Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 3

24 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Betachtet weden zwei Massen m und m'. Fü diese gilt: m' >> m. Also fällt m' mit dem Schwepunkt des Systems zusammen. Die Masse m' befindet sich in Ruhe im Schwepunkt (SP) mit v' 0. Quelle: Alonso, Finn Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 4

25 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Die gesamte Enegie des Systems ist negativ. E γ mm' Alle elliptische Bahnen ode gebundene Bahnen haben eine gesamte negative Enegie (E< 0), wenn die potentielle Enegie fü goße Entfenungen zu Null definiet wid. Gebundene Natu de Enegie heißt, dass die kinetische Enegie an igend einem Punkt de Bahn nicht auseicht, um das Teilchen ins Unendliche zu beföden. Seine kinetische Enegie wid in potentielle Enegie umgewandelt. In goße Entfenung gilt: E k 1 mv Wenn die gesamte Enegie E negativ ist, kann diese Gleichung nicht efüllt weden. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 5

26 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung v : Geschwindigkeit des Teilchens in goße Entfenung Ist die gesamte Enegie E > 0, kann das Teilchen das Unendliche eeichen und noch kinetische Enegie haben. Dann gilt: E 1 mv v E / m Wenn m weit von m' ist, hat es die Enegie wie oben beschieben. Nähet sich m an m' veliet es an potentielle Enegie (Enegie wid negative), seine kinetische Enegie wid göße, bis sie beim Punkt de gößten Annäheung den höchsten Wet eeicht hat. De Wet hängt vom Dehimpuls des Teilchens ab. Anschließend beginnt sich das Teilchen zu entfenen und veliet kinetische Enegie und eeicht in seh goße Entfenung v. Die Bahn ist eine Hypebel. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 6

27 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Ist die gesamte Enegie E 0, dann uht das Teilchen im Unendlichen und v 0. Die Bahn ist zwa offen, bescheibt abe eine Paabel. Das Teilchen mit Masse m wid mit eine Anfangsgeschwindigkeit auf m' losgelassen, dabei sind seine kinetische- und potentielle Enegie gleich goß (wie abgestimmt). Diese Egebnisse sind wichtig, um beispielsweise Satelliten in eine Umlaufbahn zu bingen, ohne dass sie gleich wiede duch die Gavitation angezogen weden und abstüzen. E k 1 mm + Ep mv0 γ R + h Die Bahn des Satelliten wid eine Ellipse, Hypebel ode Paabel je nach dem ob E < 0, E > 0 ode E 0 ist. Ist die Enegie zu geing, schneidet die Ellipse die Ede und de Satellit stüzt ab. Sonst bescheibt de Satellit eine geschlossene Bahn ode e entfent sich von de Ede je nach dem wie die Wete von v 0 und h sind. Quelle: Alonso, Finn Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 7

28 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung v k : v p : Geschwindigkeit die ein Köpe mindestens haben muss, um die Ede zu umkeisen. m' v k γ R v Fluchtgeschwindigkeit die ein Köpe haben muss, um das Gavitationsfeld de Ede zu velassen. γ m' R p v k v : v Geschwindigkeit die de Köpe haben muss, um sich vom Sonnensystem zu entfenen. γ m' Quelle: Stöcke; Taschenbuch de Physik : Abstand zwischen Ede und Sonne. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 8

29 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Die gleiche Übelegungen gelten bei de Bewegung vom Mond um die Ede. Im allgemeinen wid ein Mechanismus zu Lenkung de Bahn des Satelliten benötigt, um die Bahn nach dem Abschuss koigieen zu können. Man beachte, dass die Hypebel zwei Zweige besitzt (Abbildung): Bei eine Abstoßung ist E >0 und es gibt keine gebundenen Bahnen. Bahn von m unte Abstoßung m' Bahn von m unte Anziehung Mittelpunkt de Kaft E > 0 E < 0 1 C 1 C E mv + E mv Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 9

30 Stöungen de Planetenbewegungen Beücksichtigt man die Beeinflussung de anden Himmelsköpe auf das Sonnensystem und die Planeten innehalb des Sonnensystems, dann müssen die äußeen wikenden Käfte auf das nicht isoliete System mitbestimmt weden. Somit sind die Bahnen keine eine Ellipsen. Diese Stöungen auf die Bewegung de Planeten des Sonnensystems kann man mit Hilfe de Himmelsmechanik seh genau beechnen. Effekt 1: Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse de Ellipse deht sich langsam um den Bennpunkt, in dem sich die Sonne befindet. Diese Effekt heißt Peiheldehung. Effekt : Peiodische Schwankung de Exzentizität de elliptischen Bahn. Beide Effekte sind seh langsam. Bei de Peiheldehung ist ihe Peiode 10 5 Jahe (1 Bogenminuten po Jahhundet in de Peihelbewegung). Diese Effekte sind abe zum Teil veantwotlich fü Klimaändeungen de Ede. Dies wude bei Untesuchungen de Edkuste von Geophysiken nachgewiesen. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 30

31 Stöungen de Planetenbewegungen Quelle: Alonso, Finn Effekt 1: Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse de Ellipse deht sich langsam um den Bennpunkt, in dem sich die Sonne befindet. Diese Effekt heißt Peiheldehung. Effekt : Peiodische Schwankung de Exzentizität de elliptischen Bahn. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 31

32 Gavitationswechselwikung: Beispiele Beispiel: Fluchtgeschwinigkeit eines Köpes: Mindestgeschwindigkeit, mit de ein Köpe von de Ede abgefeuet weden muss, um die unendliche Weite zu eeichen. Beispiel: Geschwindigkeit eines Köpes, de im Abstand vom Mittelpunkt de Ede losgelassen wid, wenn e auf die Edobefläche auftifft. Pof. D.-Ing. Babaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; Physik, WS 015/016 3