Der Lagrange- Formalismus

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1 Kapitel 8 De Lagange- Fomalismus 8.1 Eule-Lagange-Gleichung In de Quantenmechanik benutzt man oft den Hamilton-Opeato, um ein System zu bescheiben. Es ist abe auch möglich den Lagange- Fomalismus zu vewenden. In de klassischen Mechanik kann das gundlegende Gesetz mit Hilfe des Lagange-Fomalismus ausgedückt weden: F ma m dx = = V dt Die Lagange-Funktion wid definiet als L T V L q dq i { { ( i, ) i= 1,..., n dt kinetische potentielle Enegie Teilchenphysik 15

2 De Lagange-Fomalismus wobei q i die veallgemeineten Koodinaten sind und dq i /dt deen zeitliche Ableitungen. Das Pinzip de kleinsten Wikung: das System beitet sich zwischen de Zeit t 1 und t entlang eines Weges aus, entlang welchem die Wikung S minimal wid δs = wobei die Wikung als definiet wid. S Ldt 1 Diese Bedingung füht zu Eule-Lagange-Gleichung: t t d L dt dqi qi dt = i= 1,..., n 8. Lagange-Funktion in de elativistischen Feldtheoie Wi sind an de Bewegungsgleichung von Felden inteessiet. Ein Feld bescheibt ein kontinuieliches System mit unendlich vielen Feiheitsgaden, z.b. die Auslenkung eine klassischen Saite. 16 Teilchenphysik II&III, WS 1/-SS, Pof. A. Rubbia

3 Lagange-Funktion in de elativistischen Feldtheoie Das System wid duch das Feld beschieben, das eine Funktion des Otsvektos und de Zeit ist: xt, x = Das Feld besitzt unendlichviele Feiheitsgade, die mit Hilfe des Otsvektos x indiziet weden. D.h., wi esetzen die disketen Koodinaten q i und deen zeitlichen Ableitungen duch die kontinuielichen Funktionen (x ) und (x ) qi dqi dt ( x ) x 13,,, = (Beachte, dass wi nicht nu die zeitliche Ableitung des Feldes, sonden die vie unabhängigen Ableitungen betachten). Wi fühen die Lagange-Dichte L ein als eine Funktion des Feldes und dessen Ableitungen: ( ) L L, Die Wikung wid 3 S Ldt = dt d x L 4 = d x L wobei wi bemeken, dass de letzte Tem als ein kovaiantes Integal ausgedückt wid. Weil das 4-dimensionale Volumenelement d 4 x eine Invaiante de Loentz-Tansfomation ist, suchen wi eine Lagange-Dichte, die auch eine Invaiante ist. Es gilt, dass Teilchenphysik 17

4 De Lagange-Fomalismus die Invaianz de Lagange-Dichte eine hineichende Bedingung fü die Kovaianz de Theoie ist. (Andee Symmetien können auch in die Lagange-Funktion eingebaut weden, wie z.b. eine Eichinvaianz) Das Pinzip de kleinsten Wikung sagt voaus: = δs = 4 = + δ L dx δ = 4 dx + δ L δ L δ wobei das 4-dimensionale Integal übe ein Raumzeitvolumen Ω läuft. Wi bemeken, dass Ω 4 3 dx (...)= dx(...) wobei Ω die Raumzeitfläche ist, die das Raumzeitvolumen Ω umschliesst. Wi nehmen an, dass das Feld bestimmte Randbedingungen übe die Raumzeitfläche Ω efüllt, so dass δ Es folgt daaus, dass fü eine beliebige Ändeung des Feldes δ gilt Ω = übe die Raumzeitfläche Ω dx δ = 4 Ω 18 Teilchenphysik II&III, WS 1/-SS, Pof. A. Rubbia

5 Lagange-Funktion des skalaen Klein-Godon Felds ode = elativistische Eule Lagange Gleichung Im Allgemeinen kann man meh als ein Feld betachten. Wenn wi n Felde i betachten, wid die Lagange-Funktion so ausgedückt = L L i, i i 1,..., n und wi ehalten n Eule-Lagange-Gleichungen i = i 8.3 Lagange-Funktion des skalaen Klein-Godon Felds Wi betachten ein einziges skalaes Feld x x, x = Wi suchen eine invaiante Lagange-Funktion, die eine Funktion des Feldes und dessen Ableitungen ist: ( ) L L, Teilchenphysik 19

6 De Lagange-Fomalismus Wi scheiben als Ansatz: L KG 1 1 = ( ) m 1 1 = ( ) m Wi beechnen: 1 = m = m und = 1 ( ) =! Beachte die Lage des Index. De Beweis ist de folgende: wi betachten die veschiedenen : 1 [( ) ( )...]= = = und = ( ) [( ) ( ) ( 1) ( 1)...]= 1 = usw Teilchenphysik II&III, WS 1/-SS, Pof. A. Rubbia

7 Lagange-Funktion de Diac-Gleichung Wegen de Eule-Lagange-Gleichung gilt = m = ( ) ok! 8.4 Lagange-Funktion de Diac- Gleichung Wi betachten ein Spinofeld ψ and die folgende Lagange-Funktion L Diac iψγ ψ mψψ Die beiden Spinoen ψund ψ weden als zwei unabhängige Felde betachtet, d.h. wi benutzen zweimal die Eule-Lagange-Gleichung: = und = iγ ψ mψ iγ ψ mψ = ok! ψ ψ und = iψγ und = mψ i ( ψγ ) mψ = ok! ψ ψ 8.5 Invaianzeigenschaft de Lagange- Funktion Wi einnen uns an das Theoem von Nöthe (Emmy Nöthe, 1917): Teilchenphysik 131

8 De Lagange-Fomalismus Wenn die Lagange-Funktion invaiant ist unte eine kontinuielichen Tansfomationguppe, dann gibt es einen ehaltenen Stom des Feldes. Man spicht von Invaianz de Lagange-Funktion unte de Guppe. Die Invaianzeigenschaften de Lagange-Funktion eine Theoie sind fundamental. Wi betachten als Beispiel die Invaianz unte Tanslation. Bei eine infinitesimalen Tanslation ändet sich de Raumzeitvekto so Die Ändeung de Lagange-Funktion ist gleich Wi bemeken, dass wi nu die Ändeung des Feldes betachten, weil wi annehmen, dass die Lagange-Funktion nicht explizit von x abhängt. Es gilt δ = δa x x +δa δl= δ + δ ( ) = Aus de Eule-Lagange-Gleichung ( ) = δ a und δ δ x = 13 Teilchenphysik II&III, WS 1/-SS, Pof. A. Rubbia

9 Invaianzeigenschaft de Lagange-Funktion folgt δl= δ L + = δ = δ Wi können die Ändeung de Lagange-Funktion auch bezüglich de Raumzeitkoodinaten ausdücken: Wenn wi die zwei Gleichungen vegleichen, ehalten wi d.h., wi haben einen ehaltenen Stom gefunden: δ a wobei T de Enegie-Impuls-Tenso des Feldes ist. Enegie des Feldes: Die T Komponente entspicht de Hamilton- Dichte H: δl= L δa = L δa δ x ( ) δ L δa = = L ( ) T wobei T δ L H L T = ( L ) Teilchenphysik 133

10 De Lagange-Fomalismus De Hamilton-Opeato ist gleich 3 3 H = d xh = d xt Wenn wi diese Gleichungen mit dem klassischen Analog vegleichen, können wi die kanonische Impuls-Dichte des Feldes definieen Π L ( ) Mit diese Definition gilt H( pq, )= p dq L dt T = Π( ) L Impuls des Feldes: Die T i Komponenten entspechen dem vom Feld getagenen Impuls: 3 3 Pi d xti = d x i i 3 = dxπ i = 13,, 134 Teilchenphysik II&III, WS 1/-SS, Pof. A. Rubbia