Experimentelle Physik II

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1 Expeimentelle Physik II Sommesemeste 08 Vladimi Dyakonov (Lehstuhl Expeimentelle Physik VI VL#4/5 07/ Tel. 0931/

2 Expeimentelle Physik II 8. Bandstuktu und Tanspoteigenschaften 8.1 Stöme in Bänden 8. Boltzmann-Gleichung 8.3 Elektische Leitfähigkeit in Metallen (evisited 8.4 Themoelektische Effekte 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld

3 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Zyklotonfequenz: Wi beechnen die Umlaufzeit T de Bandelektonen auf eine im k-raum geschlossenen Bahn: m e d v ( k dt [ ] = "e v ( k # B Geschwindigkeit de Kistallelektonen dk dt = ("e [# h k $( k % B ] dk = ("e [ h # k $( k % B ]dt = e h B ' &$( k & k *, dt ( + Integieen übe einen Umlauf und beachten, dass - v ( k = 1 " k h #( k dk " dk Bahn = ds # - Flächenelement in de Bahnebene dk Bahn = e h B % "#( k " k ( ' * dt & $

4 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld h eb 1 "#( k $$ & d k % d k Bahn T(", k ## = h $S " (", k ## eb $"( k ## = & dt B d k " d k Bahn = ds # dk Bahn k II dk " "( k " + d" Die Göße "S # "# gibt an, wie schnell die Fläche senkecht zum Magnetfeld wächst, wenn man die Enegie ändet. Die Umlauffequenz, die Zyklotonfequenz, fü Bandelektonen " c = # T = #eb & $S % ( + h ' $% *,1

5 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Zyklotonfequenz emöglicht die Bestimmung de Femifläche! Z.B. feie Elektonen: die Keise ds " = #kdk mit d" = h m kdk ehalten ds " d" = #m h damit " c = #eb h h #m = eb m Analog wid die Zyklotonmasse definiet: m c = h m ds " d" m c gibt die Enegieabhängigkeit de von de Umlaufbahn umschlossenen Fläche ( m*. Z.B. fü B=1T ehalten T=10-11 s. Umlaufzeit im k-raum ist gleich de Umlaufzeit im Otsaum!

6 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Fü ein Elekton im Magnetfeld: 1 Kinetische Impuls mv wid duch einen genealisieten Impuls esetzt p = mv + qa Kinetische Enegie: E kin. = 1 m v = 1 m ( p " qa = 1 m ( p + ea 3 Das Vektopotential ist definiet als: B ( = ot A ( = " # A ( 4 Einschänkung auf das Vektopotential (Coulomb-Eichung: div A ( = " # A ( = 0 5 Wi legen das feie Elektonengas als ungestötes System zugunde, das Magnetfeld ist damit eine (kleine Stöung. 6 Ähnliche Vogehensweise wie bei den Atomen im Magnetfeld (VL Atomphysik

7 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Wi legen das Magnetfeld in die z-richtung: B=(0,0,B A ( " 0% $ ' Fü das Vektopotential wählen wi: = B x % $ ' $ ( # 0& Test: " # A ( ' $x * % 0 ( % 0( = ' $ * ' * ' $y # Bx * ' * = ' * 0 ' * = B ' $ * & 0 & B & $z " # A ( = $ $x # 0 + $ $y # Bx + $ $z # 0 = 0 (A ist also quellfei p, A ( [ ] = 0 p und A vetauschen div B = 0, da divot A = " # " $ A ( = 0 Fü ein Elekton im Magnetfeld gibt es also ein modifiziete Hamiltonian: H^ = 1 m ( p + e A = 1 m ( p x + p y + p z + p y ebx + e B x = 1 m ( p x + p y + ebx ( + p z

8 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Da die z- und y-komponenten des Otsopeatos hie nicht vokommen, bleiben die WF in diesen Richtungen ebene Wellen (liegt an de Wahl de Eichung!!!. Wi wählen folgende WF: "( = e ik z z e ik y y " x (x Eigenwetgleichung: 1 $ # m "h #x + "ih # $ & % #y + ebx ' # ' " h & % ( #z eik z z e ikyy * x (x = Ee ik z z e ikyy * x (x ( $ & % " h m # #x + 1 m hk + ebx y duch Substitutionen % ' & " h m ( " hk z # #x + 1 m$ c x " x 0 m ' * x (x = E* x (x ( " c # eb m, x 0 # $ hk y m" c ( + hk z m ( * + x (x = E+ x (x ehalten: Die Sch.-Gl. bescheibt eine ebene Welle in z-richtung und die Bewegung eines hamonischen Oszillatos in x-richtung mit Eigenweten: E n Landau = (n + 1 h" c + h k z m

9 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Eine ebene Welle in z-richtung + Bewegung eines Oszillatos in x- Richtung: B k y B=0 (π/l Z k x Enegieehaltung: h k x m + h k y m + h k z m = (n + 1 h" c + h k z m n=3 n= n=1 k y B>0 k x feie Wellen Landau-Quantisieung k x + k y = (n + 1 m" c h aus Ch. Kittel Landau-Keise (in D

10 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Im Magnetfeld kondensieen sich alle Komponenten de Wellenvektoen auf Zylindeobeflächen im k-raum, auf den sog. Landau-Röhen. k z B Wie goß ist die Besetzung (Entatung g de Landau-Röhen in de k xy -Ebene? Wi beechnen die Fläche zwischen zwei Niveaus: "(k x + k y n +1 # "(k x + k y n = m"$ c h - n -unabhängig, d.h. alle Zwischenflächen sind gleich goß. g = m"# c h = ml # c $ " ' "h & % L (

11 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Eine Ehöhung des Magnetfelds füht zu eine Enegieehöhung des Systems, d.h. zu eine Magnetisieung -> Landau-Diamagnetismus! E B=0 B>0 E n +1 k Z sei fest; Wi nehmen an, de obee Block wäe bei B=0 nu patiell gefüllt. Wi definieen den Paamete x: E " x h" c E n x " E # $ E n De Block fängt bei de Enegie h" c E n"1 E n " h# c an. Die Besetzung des obeen Blocks N: Mittlee Enegie de Elektonen im unteen Block entspicht dem Landau-Niveau E n-1. Im voll gefüllten Block ist die Enegieehöhung duch das B-Feld gleich de Enegieabsenkung. Inteessant sind also nu die patiell gefüllte Blöcke... N = g % E " # E n # h$ ( c ' * & = g % x ( ' 1+ * h$ c & h$ c

12 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Mittlee Enegie des obeen Blocks: % E " # E n # h$ ( c ' * U B= 0 & (x = N = g % x ( % ' 1+ * + E " # x & h$ c # h$ ( c ' * & 4 = g % E + E "x " # x # x # h$ ( c ' * & h$ c h$ c 4 Mittelwet übe alle möglichen x (entspicht einem mittleen k Z : h" c U B= 0 = 1 U B= 0 $ (xdx = g & h" c E % + E x % ( ' # h" c # x # x h" c # h" c h" c 4 + =... = g & * E % # h" c ( + ' 3 * Nun schalten wi das Magnetfeld an: U B>0 (x = N " E n = g $ x ' & 1+ " E * + x % h# c ( = g $ E * + E x * + x + x ' & % h# c h# c ( (

13 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld Mittlee Enegie des obeen Blocks im Magnetfeld: U B>0 = g % E " # h$ ( c ' * & 6 Die mittlee Enegiediffeenz: "U = U B>0 # U B= 0 = gh$ c 1 Die gesamte Enegiediffeenz unte Beücksichtigung de Zustände in k Z -Richtung, sowie de Spinentatung: "U(B = # k F $ L # "U = k FLgh% c 1$ = Vk Fe B 4$ m Die Enegiediffeenz ist positiv, d.h. wi haben es mit Diamagnetismus zu tun. Die magnetische Suszeptibilität kann ebenfalls beechnet weden: " = µ M 0 B = # µ 0 $ %U - diamagnetische Landau-Suszeptibilität V $B

14 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld 1 Die Physik wid duch die Zustandsdichte an de Femikante bestimmt: g(e F Vaiiet man das B-Feld, so weden die Landau-Niveaus peiodisch duch die Femikante stoßen, d.h. Oszillation von g(e F und de Suszeptibilität: k x + k y = (n + 1 eb h De Haas-van Alphen-Effekt 3 Abstand benachbate Landau-Niveaus: (n + 1 = h e (k x + k y 1 B = h m ehm (k x + k y 1 B " = h k x m + h k % y $ # m ' ( m & he ( 1 B = m he ( " E F h k % $ Z '( 1 # m & B

15 8.5 Bandelektonen im Magnetfeld De Haas-van Alphen-Effekt Fläche im k-raum S k senkecht zum Magnetfeld fü vesch. Feldstäken: S k = " k ( x + k y = "(n + 1 eb(n h S k = "(n eb(n +1 h Die Diffeenz de Kehwete des Magnetfelds: Ag χ # " 1 & % ( = $ B' 1 B(n +1 1 B(n =... = e* h + 1 S k 1/Β aus Ashcoft/Memin Die Queschnitte duch die Femifläche: S k = "k F = "( 3" n 3 = e" $ S k " # 1 ' & = e* % B( h h # 1 $ % 1 ( ' & B * Schwingungspeioden entspechen Extemalbahnen!