I 1. x r 2. PDDr. S.Mertens M. Hummel SS Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 6

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1 PDD. S.Metens M. Hummel Theoetische Physik II Elektodynamik Blatt 6 SS I M 1. Halbunendliche Leiteschleife. Gegeben sei die abgebildete Leiteschleife aus zwei einseitig unendlichen (4Pkt.) Dähten und einem Halbkeis vom Radius. Beechnen Sie das magnetische Feld im Mittelpunkt M des Halbkeises. Lösung: Wi echnen das Magnetfeld mit Hilfe des Biot-Savat-Gesetzes aus. B(M) = Iµ Leite 3 I 1 y M x 2 2 Das Koodinatensystem sei so gewählt, dass de Punkt M bei = de Uspung ist. Dann gilt: 1. Anteil des magnetischen Feldes B1 (M), de vom obeen Daht hevogeufen wid. Mit gilt dl l d l =, = R und = e z Rdl B1 (M) = Iµ Leite,1 3 = Iµ R e z dl = Iµ l2 +R 23 R e z. Seite1von7

2 Theoetische Physik II Elektodynamik SS Anteil des magnetischen Feldes B2 (M), de vom unteen Daht hevogeufen wid. Mit dl l d l =, = R und = e z Rdl gilt B2 (M) = Iµ Leite,2 3 = Iµ R e z dl = Iµ l2 +R 23 R e z. 3. Anteil des magnetischen Feldes B3 (M), de vom halbkeisfömigen Dahtbogen hevogeufen wid. Mit Rsin ϕdϕ Rcos ϕ d l = Rcos ϕdϕ, = Rsin ϕ gilt und d l ( ) = e z R 2 dϕ B3 (M) = Iµ Leite,3 3 = Iµ π/2 e z dϕ = Iµ π/2 R 4R e z. Damit betägt das Gesamtfeld in M gleich B(M) = B1 (M) + B2 (M) + B3 (M) = µ I 4R ( ) e z. π 2. Homogen magnetisiete Kugel. Betachten Sie eine Kugel vom Radius R mit de Pemeabilität µ.sie seiiminneen homogenmagnetisiet. M = M e z Innehalb und außehalbdekugelseidiestomdichte j =. (a) Begünden Sie, waum fü das Magnetfeld H = φ m geschieben weden kann. Beechnen Sie das magnetische Potential φ m im Außenaum de Kugel. Seite2von7

3 Theoetische Physik II Elektodynamik SS 29 (b) (c) BeechnenSiedas Magnetfeld H außehalbund innehalbdekugel! Nehmen Sie an, dass die Magnetisieung M de Kugel duch eine Obeflächenstomdichte j hevogeufenwid.machen Siesich kla,dass diesevon defom (2Pkt.) j = α(θ)δ( R) eφ seinmuss.dückensie α(θ) duch M aus. (insgesamt 4 Pkt.) Lösung: (a) Innehalb und außehalbdekugel: j =. Maxwell-GleichungdeMagnetostatik:ot H =. H ist ein Gadientenfeld: H = φm. Mit = div B = µ div( M + H) folgt: φ m = div M.Die LösungdiesesPoblemsistlautVolesung: φ m ( ) = 1 d 3 M( ) Homogen magnetisietekugel,d.h. M = M e z : φ m ( ) = M d dz V K d 3 1 Wi wählen paallel zu Polaachse: V K d 3 1 R = 2π = 2π = R +1 2 d R dcos θ 1 ( cos θ ) 1/2 d ( + ) 2 d ( > ) = 3 R3 1 Aus d 1 dz = 1 z 2 = cos θ folgt:φ 2 m ( ) = 1 3 M R 3 cos θ. 2 Gesamtmoment de Kugel: m d 3 M( ) = 3 R3 M e z Es folgt das Dipolpotential: φ m ( ) = 1 m 3 Seite3von7

4 Theoetische Physik II Elektodynamik SS 29 (b) Beechnung von H außehalbdekugelwiebeimelektostatischendipolfeld: ( a b) = ( b ) a + ( a ) b + b ot a + a ot b H = φm = 1 ( m ) 3 = 1 ( m 1 ) = 1 ( (m ) 1 ) ( 1 = ) = 1 ( m ) 3 = 1 Damit gilt: H = 1 m d dz = 1 m 3 ( 3 ( m ) 5 m ) 3 ( 1 3 e z 3 4 z ) ( > R) Typisches Dipolfeld! im inneen de Kugel gilt: M = H (isotopes,lineaesmedium) H = M χ M e z ( < R) (c) Obeflächenstomdichte: Zylindesymmetie: j = α(θ)δ( R) α istunabhängig von φ. Plausibel: j eφ Kontolle: Fü das magnetische MomentdeKugelmuss m e z gelten: m = 1 d 3 ( j( )) 2 = 1 2 = R3 d 3 δ( R) dcos θαθ 2π +1 e θ dcos θαθ +1 = πr 3 dcos θαθ e z e z 2π dφ( e e φ ) q.e.d. Seite4von7

5 Theoetische Physik II Elektodynamik SS 29 alsohabenwidieichtigeabhängigkeitfü j gefunden.wibestimmen α(θ) aus den Randbedingungen de Felde an de Kugelobefläche. aus dib B = folgtmit demgaußschen-kästchen füdienomalkomponenten: Hie: B 2n B 1n = B (R + + ) B (R + ) = Tangentialkomponenten: n = e ; t = e φ t n = e θ l1 = l2 = l( n t) = R θ( e θ ) Element de Stokes schen Fläche: F Andeeseits: d f = ddθ eφ R++ d f j = α(θ) θ R + d δ( R) = α(θ)r θ F d f j = R θ ( H θ (R + + ) H θ (R + ) ) F H θ (R + + ) H θ (R + ) = αθ Feldkomponenten aus Teil 1.: > R : φ m ( ) = m cos θ 2 > R : Somit: H θ = 1 θ φ m = m 3 H = H e z ; H = M e z e θ = H θ = M ( ) H θ (R + + ) H θ (R + ) = m d H = H(R + + ) l2 + H(R + ) l1 R 3 + M = 1 3 R3 M R 3 + M χ ( m 1 = M ) α(θ) = M Seite5von7

6 Theoetische Physik II Elektodynamik SS Magnetische Monopol. Betachten Sie die Bewegung eines elektisch geladenen Teilchens (Masse m, Ladung q e ) im Feld eines (hypothetischen) magnetischen Monopols (q m ) de Fom (a) (b) (c) B = µ q m 2 e. Finden Sie einen Ausduck fü die Beschleunigung des Teilchens und dücken Sie das Egebnisduch q e, q m, m, (seineposition) und v (seinegeschwindigkeit)aus. Zeigen Sie, dass de Betag de Geschwindigkeit v = v eine Konstante ist. Weisen Sie nach, dass de Vekto Q = m ( v) µ q e q m e eine Ehaltungsgöße ist. Wählen Sie danach das Kugelkoodinatensystem, in dem Q e z.beechnensieindiesemkoodinatensystem Q eϕ und zeigensiedamit,dass θ eine Ehaltungsgöße ist. Als Folge dessen bewegt sich die q e auf einem Keiskegel. Man kann soga zeigen, dass die Bahn eine Geodäte entspicht. Dies wude beeits 1896 von H. Poincaé beechnet. (insgesamt 3 Pkt.) Lösung: (a) F = m a = qe ( v B) = µ a = µ q e q m ( v ) m3 Hiebei wude e = benutzt. q e q m 2 ( v e ) (b) Aus (a) folgt a v also auch a v =.Mit a = v egibt sich: (c) = v v = 1 d 2dt ( v v) = 1 d 2dt ( v2 ) = 1 d 2dt (v2 ) = v dv dt. Damit folgt: dv dt =. Also istdebetagvon v eine Konstante. Q = m ( v v) +m( a) µ q e q m } {{ } = d dt Wi setzen das Resultat aus (a) ein und ehalten: Q = µ q e q m 3 ( ( v )) µ q e q m ( v ) 2ṙ. Seite6von7

7 Theoetische Physik II Elektodynamik SS 29 Den linken Tem scheiben wi mit de bac-cab-regel a ( b c) = b( a c) c( a b) um. Q = µ [ 1 q eq m 3(2 v ( v) ) v + ] d 2 dt ( ) Q = µ [ v q eq m e v e v + e ] 2( v) = 2 Damitist QeineKonstante.WiwählennundasKugelkoodinatensystemindem Q = Q e z gilt. Q e φ = Q( e z e φ ) = m( v) e φ µ q e q m Mit e z e φ = e e φ = folgt: m( v) e φ =. ( e e φ ) Nun dücken wi v mit Hilfe de Kugelkoodinaten aus. v = d dt = d dt ( e ) = ṙ e + θ e θ + φ e φ Damit egibt sich: v = 2 φ e θ + 2 θ e φ ( v) e φ = 2 θ =. Also folgt: θ =. Auf diesem Übungsblatt sind maximal 11 Punkte zu eeichen, Abgabe de esten beiden Aufgabenefolgtam Seite7von7