Neunte Vorlesung: Die Kruskal-Metrik

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1 Neunte Volesung: Die Kuskal-Metik 9.1 Poblemstellung 9. Eigenzeit fei fallende Teilchen 9.3 Metik von Lemaite 9.4 Eddington-Finkelstein-Metik 9.5 Kuskal-Metik

2 9.1 Poblemstellung De metische Tenso hängt von de Wahl de Koodinaten ab. Eine bestimmte Wahl de Koodinaten kann zu singuläen metischen Koeffizienten fühen, wähend die Stuktu des betachteten Raumes keineswegs singulä sein muß. Beispiel: Das Wegelement ist singulä in x = 0. Die singuläe) Tansfomation ds := 1 x 3 d x + ỹ dỹ 9.1) xx, y) := 4 x, ỹx, y) := 3y ) 3, x 0, 9.) übefüht ds aus 9.1) in die bekannte Fom welche in x = 0 glatt fotgesetzt weden kann. ds = dx + dy, 9.3) Aufgabe 9.1. Veifizieen Sie 9.3). Eläuten Sie ein weitees solches Beispiel. Die Schwazschild-Metik aus den vegangenen Volesungen weist am Schwazschild- Radius ein ähnliches Vehalten auf. Mit den Koeffizienten g µν = g µν t,, ϕ, ϑ) aus 7.15) gilt zunächst fü = S, dann abe wiede fotsetzen!) det g µν ) µ,ν = det diag 1 S, 1 ) 1,, sin ϑ = 4 sin ϑ. 9.4) S Desweiteen gilt fü die dem Kümmungstenso zugeodnete Invaiante R µνκλ R µνκλ = 1 S ) Aufgabe 9.. Zeigen Sie, daß R µνκλ R µνκλ ein Riemann-Skala ist. Veifizieen Sie 9.5). Aus 9.4) und 9.5) schließen wi, daß die betachtete Raum-Zeit bei = 0, nicht abe bei = S singulä ist. Da R µνκλ R µνκλ ein Riemann-Skala ist, kann die Singulaität bei = 0 nicht duch eine Koodinatentansfomation beseitigt weden. Im folgenden betachten wi die Singulaität = 0 nicht meh. 9. Eigenzeit fei fallende Teilchen Wi setzen A = A) und B = B) aus 7.14) in die Bewegungsgleichung 8.1) fü die Radialkomponenten = τ) ein und ehalten ṙ Sµ + l Sl = F µ 3 9.6) mit dem Dehimpuls l aus 8.6) und de Integationskonstante µ aus 8.1). 91

3 Definition. Wi setzen V eff ) := Sµ + l Sl 3 9.7) als effektives Potential fü die Bewegung in de Schwazschild-Metik. Satz. Fü die Bewegung in de Schwazschild-Metik gilt de Enegiesatz mit de konstanten echten Seite aus 9.6). ṙ + V eff) = const 9.8) Asymptotisch dominiet de Newtonsche Tem Sµ. Fü kleine Radien wid das Zentifugalpotential wichtig, und schließlich dominiet de elativistische Tem Sl. l 3 Aufgabe 9.3. Diskutieen Sie gafisch das Vehalten veschiedene Lösungen von 9.8). Fü ein adial ins Zentum fallendes Teilchen ist l 0. Mit 7.19) und Aufgabe 8. ist dann V eff ) = Sµ = Mgc c = Mg. 9.9) Wi beechnen die Eigenzeit τ 1 eines von = 0 bis = S fallendes Teilchen, welches bei = 0 anfangs uht, d.h. es gelte mit 9.8) F c = V eff 0 ) = Sc ) Es ist dann eneut mit 9.8) τ 1 = S 0 dτ S d d = 0 d Mg Sc 0 S 1 = Mg S 0 S 0 d Mg 0 = 0 ds = Mg s d 0 0 S Mg. 9.11) 0 0 Analog könnten wi die Eigenzeit τ eines Teilchens beechnen, welches adial bis zum Zentum fällt. Beide Eigenzeiten sind endlich! Fü einen weit entfenten Beobachte hingegen benötigt das Teilchen bis zum Eeichen des Schwazschild-Radius S beeits eine unendlich lange Zeit vgl. 7.)). Die Zeitkoodinate t in de Schwazschild-Metik ist offenba nicht geeignet, um Eeignisse im Beeich S zu bescheiben. Da ein adial fei fallende Beobachte das Zentum in endliche Eigenzeit eeicht, sollten solche Eeignisse tatsächlich existieen. Wi lenen jetzt dei neue Koodinatensysteme kennen, um die Schwazschild-Metik sukzessive geeignet zu esetzen. Wi beschänken uns zunächst auf den Außenbeeich > S =. 9

4 9.3 Metik von Lemaite Lemaite, 1933) Wi fühen die Zeitkoodinate ct, t) = ct + + ln + 9.1) sowie die Radialkoodinate [ R, ct ) := R ct ) 3 ] 3 bzw. 3 = R ct ) 3 ein. Man geht wie folgt vo: Aus 9.1) folgt nach Diffeenzieen + + c dt d + + d ) 9.13) Aus 9.13) ehalten wi Hiein setzen wi 9.14) ein: d dr 1 d + ) + ) d { 1 + } d d ) dr c dt = 3 3 d bzw. dr = c dt + d. 9.15) + { d { } + 1 d 1 1 d } + 1 d 9.16) d 1. Mit den Dastellungen 9.14) und 9.16) püft man nun c dt dr = 1 ) c dt d 1 Aufgabe 9.4. Veifizieen Sie 9.17). Aus de Schwazschild-Metik 7.15) ehalten wi schließlich. 9.17) mit = R, ct ) aus 9.13). ds = c dt dr dϑ + sin ϑ dϕ ) 9.18) Definition. Die Fom 9.18) heißt Lemaitesche Metik. Mit de Wahl de Koodinaten R und T gehen wi in das Bezugsystem übe, in welchem das adial fei fallende Teilchen uht, d.h. die Koodinatenzeit T ist gleichzeitig die Eigenzeit dieses Teilchens. Die Metik ist singulä in = 0 und egulä in =. 93

5 9.4 Eddington-Finkelstein-Metik Eddington, 194; Finkelstein, 1958) Die explizite Ausfühung alle folgenden Rechnungen vebleibt als Übung. Auch hie beschänken wi uns auf den Außenbeeich > S =. Wi fühen die edadiete Zeit v ein gemäß cv = ct + + ln ) ln). 9.19) Es ist dann Wi bemeken, daß c dv d 1 T := 1 0 d ) 9.1) die Zeit ist, welche das adial fei fallende Teilchen zum Zuücklegen de Stecke von 0 bis 1 benötigt. Mit 9.0) folgt unmittelba 1 ) c dv c ddv = 1 ) c dt d 1, 9.) so daß die Schwazschild-Metik übefüht wid in ds = 1 ) c dv c ddv dϑ + sin ϑ dϕ ). 9.3) Definition. Die Fom 9.3) heißt Eddington-Finkelstein-Metik. Die Metik ist wiede singulä in = 0 und egulä in =. Aufgabe 9.5. Fühen Sie die Rechnungen zu diesem Abschnitt explizit duch. 9.5 Kuskal-Metik Wi fühen die avanciete Zeit u ein gemäß cu = ct ln ) + ln), cv u) = + 4a ln ) 4a ln). 9.4) Die zweite Zeile folgt aus 9.19). Diffeentiation und Einsetzen von 9.0) liefen c du = c dt d 1 = c dv d 1 bzw. d = ) 1 c dv du). 9.5) Die Eddington-Finkelstein-Metik 9.3) scheibt sich dann in de Fom ds = 1 ) c dudv dϑ + sin ϑ dϕ ). 9.6) Duch die anschließenden Koodinatentansfomationen v := e cv 4a, u := e uc 4a 9.7) 94

6 sowie z := 1 v u ), w := 1 v + u ) 9.8) ehalten wi ds = 33 mit de Radiuskoodinate = w, z). Definition. Die Fom 9.9) heißt Kuskal-Metik. e dw dz ) dϑ + sin ϑ dϕ ) 9.9) Aufgabe 9.6. Fühen Sie die Rechnungen zu diesem Abschnitt explizit duch. Aufgabe 9.7. Fühen Sie sämtliche Rechnungen fü den Innenaum < S = aus. 95

7 Aufgaben zu neunten Volesung 9.1 Veifizieen Sie 9.3). Eläuten Sie ein weitees solches Beispiel. 9. Zeigen Sie, daß R µνκλ R µνκλ ein Riemann-Skala ist. Veifizieen Sie 9.5). 9.3 Diskutieen Sie gafisch das Vehalten veschiedene Lösungen von 9.8). 9.4 Veifizieen Sie 9.17). 9.5 Fühen Sie die Rechnungen zu Abschnitt 9.4 explizit duch. 9.6 Fühen Sie die Rechnungen zu Abschnitt 9.5 explizit duch. 9.7 Fühen Sie sämtliche Rechnungen fü den Innenaum < S = aus. 97